Давайте докажем, что при движении волчка Лагранжа с постоянным углом нутации волчок
совершает регулярную прецессию.
По условию Θ с точкой — 0, так как угол константа.
Значит, что угол нутации с течением времени не меняется,
Давайте напомним, как выглядет волчок Лагранжа.
Это динамически симметричное тело с неподвижной точкой, которое вращается
вокруг оси симметрии с угловой скоростью φ с точкой вокруг неподвижной в пространстве
оси с угловой скорость ψ сточкой, и угол между этими осями Θ.
Мы знаем, что в случае волчка Лагранжа выполняется закон сохранения
полной механической энергии.
В углах Эйлера выглядят следующим образом,
если для точки O у нас известен тензор инерции в главных осях.
Закон сохранения энергии выглядит как A * (ѱ с точкой
в квадрате * sin² Θ
+ Θ с точкой в квадрате
+ Cr²
+ 2mgl cosΘ,
и так как это первый интеграл в нашей задаче, то это равно константе h.
Кроме того, для случая Лагранжа r — это также константа.
Давайте учтем, что r — константа,
Θ с точкой — 0, Θ — константа, масса g и l,
где l — это расстояние от неподвижной точки до центра масс — это тоже константа.
Поэтому мы приходим к следующему соотношению,
что A Θ с точкой
в квадрате sin² Θ — это некая константа, C0.
sin Θ — константа, A — константа, получаем,
что ψ с точкой — константа.
Теперь вспомним, как выписывается выражение для r через углы Эйлера.
r = ψ с точкой cosΘ + φ с точкой.
Что мы знаем?
Что cosΘ — константа, ψ с точкой — константа, r — константа,
отсюда получаем, что φ с точкой — также константа.
Что такое регулярная прецессия?
Регулярная прецессия — это когда вращение волчка происходит с постоянными
угловыми скоростями вокруг оси симметрии и вокруг неподвижной в пространстве оси.
При этом угол между ними должен быть постоянный.
У нас все эти условия выполнены.
Угол между осями постоянный, и угловые скорости также постоянны.
Таким образом мы доказали, что если при движении волчка Лагранжа угол Θ не
меняется, значит волчок Лагранжа совершает регулярную прецессию.
Спасибо за внимание.
Задача решена.