Задача о движении волчка Лагранжа с постоянным углом нутации

Loading...

来自 Moscow Institute of Physics and Technology 的课程

Динамика

9 个评分

Moscow Institute of Physics and Technology

Динамика

9 个评分

В курсе рассматриваются: кинематика точки и твёрдого тела (причём с разных точек зрения предлагается рассмотреть проблему ориентации твердого тела), классические задачи динамики механических систем и динамики твердого тела, элементы небесной механики, движение систем переменного состава, теория удара, дифференциальные уравнения аналитической динамики. В курсе представлены все традиционные разделы теоретической механики, однако особое внимание уделено рассмотрению наиболее содержательных и ценных для теории и приложений разделов динамики и методов аналитической механики; статика изучается как раздел динамики, а в разделе кинематики подробно вводятся необходимые для раздела динамики понятия и математический аппарат.

从本节课中

Движение динамически симметричного тела с неподвижной точкой в поле тяжести

Случай Лагранжа. Первые интегралы. Общее решение12:53

Задача о движении волчка Лагранжа с постоянным углом нутации3:09

与讲师见面

Притыкин Дмитрий Аркадьевич
кандидат физико-математических наук, доцент
кафедра теоретической механики МФТИ

Давайте докажем, что при движении волчка Лагранжа с постоянным углом нутации волчок

совершает регулярную прецессию.

По условию Θ с точкой — 0, так как угол константа.

Значит, что угол нутации с течением времени не меняется,

Давайте напомним, как выглядет волчок Лагранжа.

Это динамически симметричное тело с неподвижной точкой, которое вращается

вокруг оси симметрии с угловой скоростью φ с точкой вокруг неподвижной в пространстве

оси с угловой скорость ψ сточкой, и угол между этими осями Θ.

Мы знаем, что в случае волчка Лагранжа выполняется закон сохранения

полной механической энергии.

В углах Эйлера выглядят следующим образом,

если для точки O у нас известен тензор инерции в главных осях.

Закон сохранения энергии выглядит как A * (ѱ с точкой

в квадрате * sin² Θ

+ Θ с точкой в квадрате

+ Cr²

+ 2mgl cosΘ,

и так как это первый интеграл в нашей задаче, то это равно константе h.

Кроме того, для случая Лагранжа r — это также константа.

Давайте учтем, что r — константа,

Θ с точкой — 0, Θ — константа, масса g и l,

где l — это расстояние от неподвижной точки до центра масс — это тоже константа.

Поэтому мы приходим к следующему соотношению,

что A Θ с точкой

в квадрате sin² Θ — это некая константа, C0.

sin Θ — константа, A — константа, получаем,

что ψ с точкой — константа.

Теперь вспомним, как выписывается выражение для r через углы Эйлера.

r = ψ с точкой cosΘ + φ с точкой.

Что мы знаем?

Что cosΘ — константа, ψ с точкой — константа, r — константа,

отсюда получаем, что φ с точкой — также константа.

Что такое регулярная прецессия?

Регулярная прецессия — это когда вращение волчка происходит с постоянными

угловыми скоростями вокруг оси симметрии и вокруг неподвижной в пространстве оси.

При этом угол между ними должен быть постоянный.

У нас все эти условия выполнены.

Угол между осями постоянный, и угловые скорости также постоянны.

Таким образом мы доказали, что если при движении волчка Лагранжа угол Θ не

меняется, значит волчок Лагранжа совершает регулярную прецессию.

Спасибо за внимание.

Задача решена.

探索我们的目录

免费加入并获得个性化推荐、更新和优惠。

Coursera 致力于普及全世界最好的教育，它与全球一流大学和机构合作提供在线课程。

© 2018 Coursera Inc. 保留所有权利。

通过 App Store 下载

通过 Google Play 获取