Дамми-переменные – это переменные самого простого типа.
Если объясняющая переменная принимает значение 1 или 0,
то она называется дамми-переменной, это очень просто.
Ну, например, если в данных надо закодировать пол респондента, то можно,
например, мужчинам поставить 1, женщинам – 0, и соответственно получить,
что вот у нас дамми-переменная male i-тая, она обозначает пол индивида,
попавшего в опрос.
Это может быть все, что угодно, стало ли, например,
предприятие банкротом или не стало.
Примеров дамми-переменных можно привести много,
но по сути своей дамми-переменная – это всего лишь переменная,
которая принимает всего 2 значения: либо 0, либо 1, другие значения исключены.
С помощью дамми-переменных очень легко, оказывается,
можно описывать разные модели в виде одной модели,
расписывать разные модели, соотносящиеся для разных частей выборки.
Давайте разберем простой пример, чтобы это понять.
К примеру, у нас есть некая базовая модель.
Мы смотрим, как зарплата зависит от опыта работы и уровня образования.
Зарплата равна β₁ плюс β₂ на опыт работы (exper_i), плюс β_3 на количество лет обучения,
плюс случайная непрогнозируемая составляющая. В этой модели пол
никак не учитывается, то есть мы предполагаем, что при равном опыте и при
равном образовании зарплата определяется вот этой случайной составляющей ε,
и то есть в среднем при равном опыте и при равном образовании зарплаты равны.
Это у нас будет базовая модель.
А теперь что произойдет,
если мы рассмотрим немножко другой пример регрессии,
куда мы включим в качестве объясняющих переменных переменную male i-тое,
которая равна 1 для мужчины, 0 – для женщины, для определенности.
Соответственно, что произойдет?
Это одно уравнение для всей выборки,
но его можно упростить для мужчин, поскольку для мужчин male равно 1,
переменная, и для женщин, для женщин переменная male будет равна 0.
Соответственно, для мужчин мы получаем, что заработная плата i-того
индивида – это (β₁ + β_4), потому что β_4 умножилось на 1,
плюс β₂ на exper_i, плюс β_3 на educ_i, плюс случайная составляющая,
а для женщин получается другое уравнение,
а именно wage_i = β₁ + β₂ exper_i + β_3 educ_i + ε_i.
Это означает, что смысл коэффициента β_4 состоит в том,
на сколько при одинаковом уровне обучения и стажа
работы отличается зарплата у мужчин и женщин.
Если β_4 отрицательно, значит при прочих равных зарплата у женщин выше,
если β_4 положительно, то при прочих равных зарплата у мужчин выше.
То есть, таким образом, что мы получили?
С помощью одного уравнения с дамми-переменной мы фактически описали
две разных модели, одна из которых относится к подвыборке мужчин
нашей выборки и вторая модель относится к подвыборке женщин.
В предыдущем примере зависимость, тем не менее, влияния опыта
работы на зарплату у мужчин и женщин было одинаковое.
С помощью дамми-переменных легко реализовать ситуацию, где мы предполагаем,
что опыт работы по-разному влияет на заработную плату у мужчин и заработную
плату у женщин.
А именно, если в наше уравнение модели, помимо, собственно, переменной male,
включить переменную male помножить на experience, то что мы получим?
Мы получим, что для мужчин, у них male равно 1, для них уравнение превратится
в зарплата wage_i = (β₁ + β_4) + (β₂ + β_5)exper_i + β_3 educ_i + ε_i
wage_i = (β₁ + β_4) + (β₂ + β_5)exper_i + β_3 educ_i + ε_i
а для женщин аналогичное уравнение будет иметь
базовый вид: wage_i = β₁ + β₂ exper_i + β_3 educ_i + ε_i.
Соответственно, каков смысл вот этих коэффициентов, β_4 и β_5?
β_5 показывает, на сколько год дополнительного
опыта работы у мужчин вносит другой вклад,
нежели год дополнительной работы у женщин.
β_4 показывает, соответственно, свободную составляющую,
то есть свободный член, насколько отличается составляющая,
коэффициент не при experience и не при education.
Таким образом, мы с помощью дамми-переменных можем посмотреть,
а правда ли, что стаж у мужчин и женщин по-разному влияет на заработную плату.
Для этого, например, достаточно проверить гипотезу о том, что коэффициент β_5 равно 0.
Рассмотрим еще один пример, как включить дамми-переменную.
Если я поставлю дамми-переменную β_4 male_i
+ β_5 male_i educ_i + ε_i, то что это означает?
Это означает, что для мужчин модель имеет вид wage_i = (β₁ +
β_4) + β₂ exper_i + (β_3 + β_5) educ_i + ε_i,
а для женщин модель имеет вид wage_i = β₁ + β₂experi + β_3 educ_i + ε_i.
Это означает, что β_5 показывает, насколько год,
дополнительный год обучения, по-разному влияет у мужчин и женщин.
Например, если β_5 меньше 0, это означает, что дополнительный год
обучения для женщин больше увеличивает заработную плату, чем для мужчин.
Если β_5 положительно, то, соответственно, дополнительный год обучения сильнее
увеличивает заработную плату мужчин, нежели заработную плату женщин.
И, наконец, можно скомбинировать два предыдущих примера в один,
включить еще больше переменных в нашу модель, то есть включить
β_3 educ_i + β_4 male_i + β_5 male_i educ_i
+ β_6 male_i exper_i + ε_i, и тогда мы предполагаем,
что модели для мужчин и женщин фактически могут отличаться произвольным образом.
Свой свободный коэффициент β₁ у женщин, который у мужчин – β₁ + β_4,
свой коэффициент при experience, у женщин это β₂, у мужчин – β₂ + β_6.
Соответственно, β6 показывает, насколько по-разному опыт работы влияет, и, наконец,
точно также коэффициент при education у женщин – β_3, у мужчин другой – β_3 + β_5.
β_5 показывает, насколько отличается.
Таким образом, мы видим, что с помощью дамми-переменных мы можем фактически
построить по-разному отличающиеся модели для двух частей выборки.
Мы можем предположить, что модели на двух частях выборки отличаются только
свободными коэффициентами, коэффициентами при какой-нибудь переменной,
всеми возможными коэффициентами.
Все это можно реализовать легко с помощью дамми-переменных.
Бывает так, что какая-нибудь факторная,
качественная переменная принимает не два значения,
мужчина/ женщина или предприятие банкрот/ не банкрот, а принимает много значений.
Например, если вы исследуете что-то во времени, то у вас может быть важен сезон,
а сезон может принимать 4 значения: зима, весна, лето и осень.
Как это реализовать с помощью циферок?
С помощью цифр это реализуется следующим образом.
Выбирается один сезон за базовый.
Вот сейчас у нас зима, поэтому будем считать, что базовый сезон – это зима.
И, соответственно, мы вводим 3 дамми-переменных,
каждая дамми-переменная по-прежнему принимает значение 1 или 0.
Мы вводим переменную «весна», которая равна 1, если весна соответствует
наблюдению, и 0 иначе; переменная «лето», которая принимает значение 1,
если это наблюдений летнее, и 0 иначе; и переменная «осень»,
которая равна 1, если наблюдение осеннее, и 0 иначе.
То есть у нас каждая переменная,
мы каждому наблюдению сопоставим 3 новых переменных: весна, лето и осень.
Если наблюдение зимнее,
то все 3 переменные новые будут равны нулю, если переменная, если,
вернее, наблюдение осеннее, то весна равна 1, остальные две дамми-переменные – 0.
Ну, например, если летнее наблюдение, то летнее дамми – 1, остальные
дамми-переменные две по нулям, ну, и, соответственно, для осени то же самое.
Если наблюдение осеннее, то дамми-переменная осень равна 1,
а остальные две дамми-переменные равны нулю.
При таком способе введения дамми-переменных можно понять,
что означает каждый коэффициент, и это легко сделать на примере.
К примеру, исследователь интересуется объемом спроса на мороженое в
зависимости от цены средней в киоске и сезона, в котором, значит,
к которому относится наблюдение.
Ну вот, в такой простой модели величина спроса на мороженое равна β₁ + β₂ price_i
+ β_3 vesna_i + β_4 leto_i + β_5 osen_i + ε_i.
Соответственно, если наблюдение относится к зиме,
то модель для этой части выборки, для зимних наблюдений превращается в совсем
простую: icecream_i = β₁ + β₂ price_i + ε_i.
Для весны соответствующее уравнение
упрощается до (β₁ + β_3) + β₂ price_i + ε_i.
Соответственно, в чем смысл коэффициента β_3?
β_3 показывает разницу в спросе на мороженое между весной и зимой.
Мы, наверное, ожидаем, что β_3 будет больше 0, и,
соответственно, хотя вдруг, каким-то странным образом может оказаться меньше,
но тем не менее, мы ожидаем, что β_3 будет больше, и, соответственно,
по смыслу β_3 – это насколько спрос на мороженое весной больше,
чем спрос на мороженое зимой при той же самой цене,
при фиксированной переменной price.
Аналогично для лета уравнение упростится до icecream_i = (β₁ + β_4) + β₂ price_i + ε_i.
Соответственно, β_4 показывает, насколько лето отличается от зимы.
И аналогично для осени, β_5 будет показывать,
насколько осень отличается от зимы, то есть коэффициенты β_3, β_4,
β_5 сравнивают соответствующий сезон с базовым, который мы выбрали для сравнения.
Очень частая ошибка, которая бывает, есть у новичков,
которую хотелось бы избежать, это то, что включают дамми-переменные
на все значения факторной переменной и константу в регрессию.
То есть включают и дамми-переменную на весну, и на зиму, и на лето,
и на осень или включают дамми-переменную и male, и female,
то есть включают и переменную, которая равна 1 для мужчин, а для женщин – 0,
и включают переменную female, которая равна 1 для женщин и 0 для мужчин.
Это ошибка!
Надо включить либо ту, либо другую.
Неважно какую, уравнение для отдельных подвыборок получится
совершенно одинаковым, неважно, какую вы включите, но если вы включите обе,
то у вас возникнет жесткая линейная зависимость между регрессорами,
а именно переменная male + переменная female всегда будет равняться единичке.
И, соответственно, невозможно будет получить
однозначные оценки метода наименьших квадратов в этом случае.
Это связано с тем, что нарушена наша восьмая предпосылка.
Мы говорили, что с вероятностью 1 среди регрессоров нет линейно зависимых.
Если включить дамми-переменных слишком много на каждое возможное значение
факторной переменной, то эта предпосылка о независимости регрессоров будет нарушена.
Вот у нас male + female = 1, это зависимость между регрессорами.
Tак делать нельзя, просто мы включаем дамми-переменных на одну меньше,
чем значений потенциальной факторной переменной.
Если сезонов 4, то дамми-переменных мы включим 3.
