Эконометрика – наука, позволяющая исследовать закономерности в реальных данных. К концу курса мы научимся отвечать на два вопроса. Как одна переменная, y, зависит от другой переменной, x? Как спрогнозировать переменную y? Мы будем подробно изучать линейные регрессионные модели, рассмотрим наиболее частые отклонения от предпосылок классической линейной регрессии. Изучим базовые модели (логит и пробит) для качественных зависимых переменных. Наряду с теоретической основой мы будем работать с реальными данными, используя статистический пакет R. Необходимые знания: Теория вероятностей и математическая статистика. Линейная алгебра опционально.
3.1.4. Дамми-переменные. Разные зависимости для подвыборок
Loading...
来自 National Research University Higher School of Economics 的课程
Эконометрика (Econometrics)
316 个评分
从本节课中
Дамми-переменные, сравнение вложенных моделей
Дамми для дам и не только :)
与讲师见面
Boris DemeshevSenior Lecturer
Department of Applied Economics
Дамми-переменные – это переменные самого простого типа.
Если объясняющая переменная принимает значение 1 или 0,
то она называется дамми-переменной, это очень просто.
Ну, например, если в данных надо закодировать пол респондента, то можно,
например, мужчинам поставить 1, женщинам – 0, и соответственно получить,
что вот у нас дамми-переменная male i-тая, она обозначает пол индивида,
попавшего в опрос.
Это может быть все, что угодно, стало ли, например,
предприятие банкротом или не стало.
Примеров дамми-переменных можно привести много,
но по сути своей дамми-переменная – это всего лишь переменная,
которая принимает всего 2 значения: либо 0, либо 1, другие значения исключены.
С помощью дамми-переменных очень легко, оказывается,
можно описывать разные модели в виде одной модели,
расписывать разные модели, соотносящиеся для разных частей выборки.
Давайте разберем простой пример, чтобы это понять.
К примеру, у нас есть некая базовая модель.
Мы смотрим, как зарплата зависит от опыта работы и уровня образования.
Зарплата равна β₁ плюс β₂ на опыт работы (exper_i), плюс β_3 на количество лет обучения,
плюс случайная непрогнозируемая составляющая. В этой модели пол
никак не учитывается, то есть мы предполагаем, что при равном опыте и при
равном образовании зарплата определяется вот этой случайной составляющей ε,
и то есть в среднем при равном опыте и при равном образовании зарплаты равны.
Это у нас будет базовая модель.
А теперь что произойдет,
если мы рассмотрим немножко другой пример регрессии,
куда мы включим в качестве объясняющих переменных переменную male i-тое,
которая равна 1 для мужчины, 0 – для женщины, для определенности.
Соответственно, что произойдет?
Это одно уравнение для всей выборки,
но его можно упростить для мужчин, поскольку для мужчин male равно 1,
переменная, и для женщин, для женщин переменная male будет равна 0.
Соответственно, для мужчин мы получаем, что заработная плата i-того
индивида – это (β₁ + β_4), потому что β_4 умножилось на 1,
плюс β₂ на exper_i, плюс β_3 на educ_i, плюс случайная составляющая,
а для женщин получается другое уравнение,
а именно wage_i = β₁ + β₂ exper_i + β_3 educ_i + ε_i.
Это означает, что смысл коэффициента β_4 состоит в том,
на сколько при одинаковом уровне обучения и стажа
работы отличается зарплата у мужчин и женщин.
Если β_4 отрицательно, значит при прочих равных зарплата у женщин выше,
если β_4 положительно, то при прочих равных зарплата у мужчин выше.
То есть, таким образом, что мы получили?
С помощью одного уравнения с дамми-переменной мы фактически описали
две разных модели, одна из которых относится к подвыборке мужчин
нашей выборки и вторая модель относится к подвыборке женщин.
В предыдущем примере зависимость, тем не менее, влияния опыта
работы на зарплату у мужчин и женщин было одинаковое.
С помощью дамми-переменных легко реализовать ситуацию, где мы предполагаем,
что опыт работы по-разному влияет на заработную плату у мужчин и заработную
плату у женщин.
А именно, если в наше уравнение модели, помимо, собственно, переменной male,
включить переменную male помножить на experience, то что мы получим?
Мы получим, что для мужчин, у них male равно 1, для них уравнение превратится
в зарплата wage_i = (β₁ + β_4) + (β₂ + β_5)exper_i + β_3 educ_i + ε_i
wage_i = (β₁ + β_4) + (β₂ + β_5)exper_i + β_3 educ_i + ε_i
а для женщин аналогичное уравнение будет иметь
базовый вид: wage_i = β₁ + β₂ exper_i + β_3 educ_i + ε_i.
Соответственно, каков смысл вот этих коэффициентов, β_4 и β_5?
β_5 показывает, на сколько год дополнительного
опыта работы у мужчин вносит другой вклад,
нежели год дополнительной работы у женщин.
β_4 показывает, соответственно, свободную составляющую,
то есть свободный член, насколько отличается составляющая,
коэффициент не при experience и не при education.
Таким образом, мы с помощью дамми-переменных можем посмотреть,
а правда ли, что стаж у мужчин и женщин по-разному влияет на заработную плату.
Для этого, например, достаточно проверить гипотезу о том, что коэффициент β_5 равно 0.
Рассмотрим еще один пример, как включить дамми-переменную.
Если я поставлю дамми-переменную β_4 male_i
+ β_5 male_i educ_i + ε_i, то что это означает?
Это означает, что для мужчин модель имеет вид wage_i = (β₁ +
β_4) + β₂ exper_i + (β_3 + β_5) educ_i + ε_i,
а для женщин модель имеет вид wage_i = β₁ + β₂experi + β_3 educ_i + ε_i.
Это означает, что β_5 показывает, насколько год,
дополнительный год обучения, по-разному влияет у мужчин и женщин.
Например, если β_5 меньше 0, это означает, что дополнительный год
обучения для женщин больше увеличивает заработную плату, чем для мужчин.
Если β_5 положительно, то, соответственно, дополнительный год обучения сильнее
увеличивает заработную плату мужчин, нежели заработную плату женщин.
И, наконец, можно скомбинировать два предыдущих примера в один,
включить еще больше переменных в нашу модель, то есть включить
β_3 educ_i + β_4 male_i + β_5 male_i educ_i
+ β_6 male_i exper_i + ε_i, и тогда мы предполагаем,
что модели для мужчин и женщин фактически могут отличаться произвольным образом.
Свой свободный коэффициент β₁ у женщин, который у мужчин – β₁ + β_4,
свой коэффициент при experience, у женщин это β₂, у мужчин – β₂ + β_6.
Соответственно, β6 показывает, насколько по-разному опыт работы влияет, и, наконец,
точно также коэффициент при education у женщин – β_3, у мужчин другой – β_3 + β_5.
β_5 показывает, насколько отличается.
Таким образом, мы видим, что с помощью дамми-переменных мы можем фактически
построить по-разному отличающиеся модели для двух частей выборки.
Мы можем предположить, что модели на двух частях выборки отличаются только
свободными коэффициентами, коэффициентами при какой-нибудь переменной,
всеми возможными коэффициентами.
Все это можно реализовать легко с помощью дамми-переменных.
Бывает так, что какая-нибудь факторная,
качественная переменная принимает не два значения,
мужчина/ женщина или предприятие банкрот/ не банкрот, а принимает много значений.
Например, если вы исследуете что-то во времени, то у вас может быть важен сезон,
а сезон может принимать 4 значения: зима, весна, лето и осень.
Как это реализовать с помощью циферок?
С помощью цифр это реализуется следующим образом.
Выбирается один сезон за базовый.
Вот сейчас у нас зима, поэтому будем считать, что базовый сезон – это зима.
И, соответственно, мы вводим 3 дамми-переменных,
каждая дамми-переменная по-прежнему принимает значение 1 или 0.
Мы вводим переменную «весна», которая равна 1, если весна соответствует
наблюдению, и 0 иначе; переменная «лето», которая принимает значение 1,
если это наблюдений летнее, и 0 иначе; и переменная «осень»,
которая равна 1, если наблюдение осеннее, и 0 иначе.
То есть у нас каждая переменная,
мы каждому наблюдению сопоставим 3 новых переменных: весна, лето и осень.
Если наблюдение зимнее,
то все 3 переменные новые будут равны нулю, если переменная, если,
вернее, наблюдение осеннее, то весна равна 1, остальные две дамми-переменные – 0.
Ну, например, если летнее наблюдение, то летнее дамми – 1, остальные
дамми-переменные две по нулям, ну, и, соответственно, для осени то же самое.
Если наблюдение осеннее, то дамми-переменная осень равна 1,
а остальные две дамми-переменные равны нулю.
При таком способе введения дамми-переменных можно понять,
что означает каждый коэффициент, и это легко сделать на примере.
К примеру, исследователь интересуется объемом спроса на мороженое в
зависимости от цены средней в киоске и сезона, в котором, значит,
к которому относится наблюдение.
Ну вот, в такой простой модели величина спроса на мороженое равна β₁ + β₂ price_i
+ β_3 vesna_i + β_4 leto_i + β_5 osen_i + ε_i.
Соответственно, если наблюдение относится к зиме,
то модель для этой части выборки, для зимних наблюдений превращается в совсем
простую: icecream_i = β₁ + β₂ price_i + ε_i.
Для весны соответствующее уравнение
упрощается до (β₁ + β_3) + β₂ price_i + ε_i.
Соответственно, в чем смысл коэффициента β_3?
β_3 показывает разницу в спросе на мороженое между весной и зимой.
Мы, наверное, ожидаем, что β_3 будет больше 0, и,
соответственно, хотя вдруг, каким-то странным образом может оказаться меньше,
но тем не менее, мы ожидаем, что β_3 будет больше, и, соответственно,
по смыслу β_3 – это насколько спрос на мороженое весной больше,
чем спрос на мороженое зимой при той же самой цене,
при фиксированной переменной price.
Аналогично для лета уравнение упростится до icecream_i = (β₁ + β_4) + β₂ price_i + ε_i.
Соответственно, β_4 показывает, насколько лето отличается от зимы.
И аналогично для осени, β_5 будет показывать,
насколько осень отличается от зимы, то есть коэффициенты β_3, β_4,
β_5 сравнивают соответствующий сезон с базовым, который мы выбрали для сравнения.
Очень частая ошибка, которая бывает, есть у новичков,
которую хотелось бы избежать, это то, что включают дамми-переменные
на все значения факторной переменной и константу в регрессию.
То есть включают и дамми-переменную на весну, и на зиму, и на лето,
и на осень или включают дамми-переменную и male, и female,
то есть включают и переменную, которая равна 1 для мужчин, а для женщин – 0,
и включают переменную female, которая равна 1 для женщин и 0 для мужчин.
Это ошибка!
Надо включить либо ту, либо другую.
Неважно какую, уравнение для отдельных подвыборок получится
совершенно одинаковым, неважно, какую вы включите, но если вы включите обе,
то у вас возникнет жесткая линейная зависимость между регрессорами,
а именно переменная male + переменная female всегда будет равняться единичке.
И, соответственно, невозможно будет получить
однозначные оценки метода наименьших квадратов в этом случае.
Это связано с тем, что нарушена наша восьмая предпосылка.
Мы говорили, что с вероятностью 1 среди регрессоров нет линейно зависимых.
Если включить дамми-переменных слишком много на каждое возможное значение
факторной переменной, то эта предпосылка о независимости регрессоров будет нарушена.
Вот у нас male + female = 1, это зависимость между регрессорами.
Tак делать нельзя, просто мы включаем дамми-переменных на одну меньше,
чем значений потенциальной факторной переменной.
Если сезонов 4, то дамми-переменных мы включим 3.
