К сожалению, коэффициенты процесса
скользящего среднего плохо интерпретируемы.
Что означает 2ε(t- 1) + 3ε(t- 2) совершенно непонятно.
И для интерпретации используют так называемую автокорреляционную
функцию процесса: ρk или Corr(Yt,
Yt- k) — эта функция называется автокорреляционной функцией процесса.
По смыслу для стационарного процесса с нормально распределенными
игриками ρk показывает, насколько в среднем изменится сегодняшний Y,
если Y k-периодов назад, то есть Yt- k, вырос на 1.
Давайте на примере того же самого МА (2 )-процесса, процесса скользящего среднего
порядка 2, посчитаем и проинтерпретируем автокорреляционную функцию на этот раз.
Значит, нас интересует ρk, то есть это Corr (корреляция)
между Yt и Y k-периодов назад.
Сначала мы заметим какие-то общие соображения,
как считать автокорреляционную функцию для любого процесса.
По определению корреляции: Corr(Yt,
Yt- k) это есть Cov(Yt,
Yt- k), деленная на корень из произведения
дисперсий: Var(Yt) * Var(Yt- k).
Однако у нас стационарный процесс.
Здесь мы пользуемся тем, что процесс стационарный,
а именно – у него дисперсии одинаковые.
Var(Yt) = Var (Yt -k).
Ну, соответственно, раз эти две дисперсии равны, то корень из них просто
равен — одной из них, любой — Cov(Yt,
Yt- k) в числителе так и остается, а в знаменателе корень из произведения
двух одинаковых чисел дает просто первое из этих чисел.
И, соответственно, мы договорились, что вот это — это автоковариационная
функция — это γk, а это дисперсия или γ0.
Соответственно, мы получили, что ρk, на самом деле, автокорреляционная функция.
Это просто отмасштабированная автоковариационная.
Я напомню предыдущие результаты.
В предыдущем упражнении мы выяснили, что γk = 14ς квадрат,
если k = 0, это дисперсия; - 3ς квадрат,
если k = 1;- 2ς квадрат,
если k = 2 и 0 при больших значениях k, а именно больше либо равным 3.
Исходя из общей формулы, мы получаем,
что ρ0 — это и есть γ0 на γ0,
это всегда 1 для любого процесса,
поэтому это неинтересный показатель, а вот остальные уже более интересные.
ρ1— это есть γ1/γ0,
в нашем случае мы получаем- 3/14.
ρ2 — это есть γ2/γ0,
это есть - 2/14.
И, соответственно, ρ3 = ρ4 =...
= 0.
Соответственно, мы можем проинтерпретировать эти коэффициенты.
Что означает ρ1?
Он означает, что если нам известно,
что Yt-1 (вчерашний Y) вырос на одну
единицу, то это приводит к тому,
что в среднем Yt падает на 3/14.
Это мы можем проинтерпретировать ρ1.
Ну и, соответственно, ρ2 мы интерпретируем аналогично.
Если известно, что Yt- 2 (то есть позавчерашнее значение
Y) оказалось, скажем, больше среднего на 1,
то есть по сравнению с каким-то средним значением выросло на одну единицу,
то мы можем сделать вывод,
что Yt в среднем упадет на 2/14.
Это мы интерпретируем вот этот коэффициент.
Ну а, соответственно, ρ3, ρ4 и так далее интерпретируется следующим образом,
что информация о значении Yt- 3 она уже не несет никакой
информации о текущем Yt и, в частности, бесполезна при прогнозировании.
А вот предыдущие два значения они нам важны.
