Вторая ситуация в перекрёстных выборках, которая приводит к явлению эндогенности.
Представим себе,
что мы хотим оценить модель в форме А: yi = β1 + β2xi + β3di + εi.
Ну, скажем, мы хотим понять,
как зарплата зависит от стажа работы и способостей работника.
И в этой модели мы предполагаем, что εi никак не связано ни со
стажем работника, ни с его способностями.
То есть мы предполагаем, что Cov(xi, εi) = 0, Cov(di, εi) = 0.
Ну, конечно, стаж как-то связан со способностями,
этого мы не исключаем, поэтому Cov(xi, di) не равна 0.
Но проблема состоит в том, что мы di, способности, не наблюдаем.
Если стаж, — эти данные мы можем посмотреть, скажем, в трудовой книжке,
— то величину di мы никак оценить, ну напрямую она никак явно не оценивается.
Соответственно, в этой ситуации у нас возникнет не менее правильная,
чем предыдущая форма записи, другая форма записи Б.
Если я просто в уравнение модели включу β3di в ошибку,
ну то есть я представлю модель в виде yi = β1 + β2xi + ui,
и в это ui будет входить старая ошибка εi и также β3di,
то в этой форме записи модели у наc будет эндогенность,
а именно: Cov(xi,
ui) = Cov(xi, β3di + εi).
И поскольку есть связь между x и d, то поэтому эта ковариация не будет равна 0.
Соответственно, если я буду оценивать эту форму записи с
помощью метода наименьших квадратов, β2 с крышкой, которое я получу,
оно не будет совпадать с тем β2, которое я хочу оценить.
И давайте увидим это на простом примере.
Рассмотрим последствия невключения какого-нибудь регрессора при оценке
модели.
Итак, предположим,
что yi = 2 + 3xi ‒ 2di + εi.
И предположим, что в этой форме записи модели никакой эндогенности нет.
То есть предполагаем, что Cov (xi, εi) = 0,
Cov (di, εi) = 0,
ну и также известно про эти регрессоры x и d, известно,
что дисперсия одного равна дисперсии другого и пускай,
скажем, равна 9; дисперсия случайной составляющей
εi равна 1; и Cov(xi, di) — это регрессора,
между ними корреляция допускается, это никак не противоречит необходимым условиям
для выполнения хороших статистических свойств оценок, — минус шести.
Тогда, соответственно,
если я буду применять метод наименьших квадратов
и оценивать
модель yi равно
β1 с крышкой плюс β2 с крышкой xi плюс β3 с крышкой di,
то при оценивании такой модели в силу наших хороших
свойств я получу, что предел по вероятности β2 с крышкой равен β2.
То есть с увеличением количества наблюдений, я получу в пределе именно 3.
Однако представим себе теперь, что оценить такую регрессию я не могу,
потому что di, — по этой переменной у меня просто нет данных,
— то есть такая идеальная ситуация невозможна.
Что произойдёт, если я буду оценивать модель: yi с
крышечкой равняется β1 с крышечкой плюс β2 с крышечкой xi?
То есть раз просто нет переменной, ну и, соответственно,
в регрессию её и не включу.
Но в этой ситуации β2 с крышечкой равно выборочной
ковариации между y и x делить на выборочную дисперсию x.
И мы уже выясняли, что по закону больших чисел в пределе,
при n, стремящемся к бесконечности, мы получаем настоящую ковариацию между
между xi и yi делить на настоящую дисперсию xi.
Ну давайте подставим.
Ковариация xi,
мы можем подставить вместо yi выражение для него,
получим: 2 +3xi ‒ 2di + εi,
делённое на дисперсию xi.
xi с
εi не связано, двойка тоже никак не влияет на ковариацию,
остаётся 3 дисперсии xi
минус 2 помножить на ковариацию
xi и di делить на дисперсию xi.
Или получается: 3
минус 2 помножить на ковариацию xi и di,
деленное на дисперсию xi.
Соответственно, мы получаем, что даже при большом количестве наблюдений
оценка методом наименьших квадратов вовсе не стремится к тройке,
вот этому числу перед xi, а стремится к другому числу, ну в данном случае,
при данной дисперсии и данной ковариации, у нас получается 3 минус 2
помножить на минус 6, делённое на 9.
И получается 3 плюс 4,
ну сокращаем на 3,
получаем 3 плюс 4/3, получается 4 и 1/3.
То есть мы видим,
что в данном случае при большом количестве наблюдений метод наименьших квадратов
будет завышать нам значение β2 в этой форме представления модели.
И снова небольшой итог решения задачи.
Мы хотим оценить модель yi = β1 + β2xi + β3di + εi, но не наблюдаем регрессор di.
То есть что мы хотим получить?
Мы хотим получить коэффициент β2, который по смыслу что показывает?
Он по смыслу показывает,
насколько в среднем растёт yi при росте xi на единичку и при фиксированном di.
Ну то есть если у нас xi — это стаж, то мы смотрим, насколько растёт
зарплата при росте стажа там на один год и при фиксированных способностях работника.
Однако если мы просто будем с помощью метода наименьших квадратов оценивать
модель без пропущенного регрессора, а пропускать мы его вынужденны,
потому что у нас его просто нет, то мы получим оценки методом наименьших
квадратов в модели yi с крышкой равно β1 с крышкой плюс β2 с крышкой на xi.
И вот это β2 с крышкой, полученное методом наименьших квадратов,
оно не будет похоже на настоящее β2 даже при большом количестве наблюдений,
а именно: по смыслу β2 с крышкой будет показывать, насколько в среднем растёт yi,
если сравнить двух работников с разным стажем.
Но у работников с разным стажем у среднестатистических,
у них в среднем разные способности из-за того, что стаж связан со способностями.
И получается, что эта оценка методом наименьших квадратов оказывается
смещённой и несостоятельной, то есть не совсем то, что нас интересует.
