Эконометрика – наука, позволяющая исследовать закономерности в реальных данных. К концу курса мы научимся отвечать на два вопроса. Как одна переменная, y, зависит от другой переменной, x? Как спрогнозировать переменную y? Мы будем подробно изучать линейные регрессионные модели, рассмотрим наиболее частые отклонения от предпосылок классической линейной регрессии. Изучим базовые модели (логит и пробит) для качественных зависимых переменных. Наряду с теоретической основой мы будем работать с реальными данными, используя статистический пакет R. Необходимые знания: Теория вероятностей и математическая статистика. Линейная алгебра опционально.
9.1.4. Пропущенная объясняющая переменная [+доска]
Loading...
来自 National Research University Higher School of Economics 的课程
Эконометрика (Econometrics)
319 个评分
从本节课中
Эндогенность
Проблема, которую можно найти почти во всех исследованиях :)
与讲师见面
Boris DemeshevSenior Lecturer
Department of Applied Economics
Вторая ситуация в перекрёстных выборках, которая приводит к явлению эндогенности.
Представим себе,
что мы хотим оценить модель в форме А: yi = β1 + β2xi + β3di + εi.
Ну, скажем, мы хотим понять,
как зарплата зависит от стажа работы и способостей работника.
И в этой модели мы предполагаем, что εi никак не связано ни со
стажем работника, ни с его способностями.
То есть мы предполагаем, что Cov(xi, εi) = 0, Cov(di, εi) = 0.
Ну, конечно, стаж как-то связан со способностями,
этого мы не исключаем, поэтому Cov(xi, di) не равна 0.
Но проблема состоит в том, что мы di, способности, не наблюдаем.
Если стаж, — эти данные мы можем посмотреть, скажем, в трудовой книжке,
— то величину di мы никак оценить, ну напрямую она никак явно не оценивается.
Соответственно, в этой ситуации у нас возникнет не менее правильная,
чем предыдущая форма записи, другая форма записи Б.
Если я просто в уравнение модели включу β3di в ошибку,
ну то есть я представлю модель в виде yi = β1 + β2xi + ui,
и в это ui будет входить старая ошибка εi и также β3di,
то в этой форме записи модели у наc будет эндогенность,
а именно: Cov(xi,
ui) = Cov(xi, β3di + εi).
И поскольку есть связь между x и d, то поэтому эта ковариация не будет равна 0.
Соответственно, если я буду оценивать эту форму записи с
помощью метода наименьших квадратов, β2 с крышкой, которое я получу,
оно не будет совпадать с тем β2, которое я хочу оценить.
И давайте увидим это на простом примере.
Рассмотрим последствия невключения какого-нибудь регрессора при оценке
модели.
Итак, предположим,
что yi = 2 + 3xi ‒ 2di + εi.
И предположим, что в этой форме записи модели никакой эндогенности нет.
То есть предполагаем, что Cov (xi, εi) = 0,
Cov (di, εi) = 0,
ну и также известно про эти регрессоры x и d, известно,
что дисперсия одного равна дисперсии другого и пускай,
скажем, равна 9; дисперсия случайной составляющей
εi равна 1; и Cov(xi, di) — это регрессора,
между ними корреляция допускается, это никак не противоречит необходимым условиям
для выполнения хороших статистических свойств оценок, — минус шести.
Тогда, соответственно,
если я буду применять метод наименьших квадратов
и оценивать
модель yi равно
β1 с крышкой плюс β2 с крышкой xi плюс β3 с крышкой di,
то при оценивании такой модели в силу наших хороших
свойств я получу, что предел по вероятности β2 с крышкой равен β2.
То есть с увеличением количества наблюдений, я получу в пределе именно 3.
Однако представим себе теперь, что оценить такую регрессию я не могу,
потому что di, — по этой переменной у меня просто нет данных,
— то есть такая идеальная ситуация невозможна.
Что произойдёт, если я буду оценивать модель: yi с
крышечкой равняется β1 с крышечкой плюс β2 с крышечкой xi?
То есть раз просто нет переменной, ну и, соответственно,
в регрессию её и не включу.
Но в этой ситуации β2 с крышечкой равно выборочной
ковариации между y и x делить на выборочную дисперсию x.
И мы уже выясняли, что по закону больших чисел в пределе,
при n, стремящемся к бесконечности, мы получаем настоящую ковариацию между
между xi и yi делить на настоящую дисперсию xi.
Ну давайте подставим.
Ковариация xi,
мы можем подставить вместо yi выражение для него,
получим: 2 +3xi ‒ 2di + εi,
делённое на дисперсию xi.
xi с
εi не связано, двойка тоже никак не влияет на ковариацию,
остаётся 3 дисперсии xi
минус 2 помножить на ковариацию
xi и di делить на дисперсию xi.
Или получается: 3
минус 2 помножить на ковариацию xi и di,
деленное на дисперсию xi.
Соответственно, мы получаем, что даже при большом количестве наблюдений
оценка методом наименьших квадратов вовсе не стремится к тройке,
вот этому числу перед xi, а стремится к другому числу, ну в данном случае,
при данной дисперсии и данной ковариации, у нас получается 3 минус 2
помножить на минус 6, делённое на 9.
И получается 3 плюс 4,
ну сокращаем на 3,
получаем 3 плюс 4/3, получается 4 и 1/3.
То есть мы видим,
что в данном случае при большом количестве наблюдений метод наименьших квадратов
будет завышать нам значение β2 в этой форме представления модели.
И снова небольшой итог решения задачи.
Мы хотим оценить модель yi = β1 + β2xi + β3di + εi, но не наблюдаем регрессор di.
То есть что мы хотим получить?
Мы хотим получить коэффициент β2, который по смыслу что показывает?
Он по смыслу показывает,
насколько в среднем растёт yi при росте xi на единичку и при фиксированном di.
Ну то есть если у нас xi — это стаж, то мы смотрим, насколько растёт
зарплата при росте стажа там на один год и при фиксированных способностях работника.
Однако если мы просто будем с помощью метода наименьших квадратов оценивать
модель без пропущенного регрессора, а пропускать мы его вынужденны,
потому что у нас его просто нет, то мы получим оценки методом наименьших
квадратов в модели yi с крышкой равно β1 с крышкой плюс β2 с крышкой на xi.
И вот это β2 с крышкой, полученное методом наименьших квадратов,
оно не будет похоже на настоящее β2 даже при большом количестве наблюдений,
а именно: по смыслу β2 с крышкой будет показывать, насколько в среднем растёт yi,
если сравнить двух работников с разным стажем.
Но у работников с разным стажем у среднестатистических,
у них в среднем разные способности из-за того, что стаж связан со способностями.
И получается, что эта оценка методом наименьших квадратов оказывается
смещённой и несостоятельной, то есть не совсем то, что нас интересует.
