Вторая ситуация в перекрёстных выборках, которая приводит к явлению эндогенности. Представим себе, что мы хотим оценить модель в форме А: yi = β1 + β2xi + β3di + εi. Ну, скажем, мы хотим понять, как зарплата зависит от стажа работы и способостей работника. И в этой модели мы предполагаем, что εi никак не связано ни со стажем работника, ни с его способностями. То есть мы предполагаем, что Cov(xi, εi) = 0, Cov(di, εi) = 0. Ну, конечно, стаж как-то связан со способностями, этого мы не исключаем, поэтому Cov(xi, di) не равна 0. Но проблема состоит в том, что мы di, способности, не наблюдаем. Если стаж, — эти данные мы можем посмотреть, скажем, в трудовой книжке, — то величину di мы никак оценить, ну напрямую она никак явно не оценивается. Соответственно, в этой ситуации у нас возникнет не менее правильная, чем предыдущая форма записи, другая форма записи Б. Если я просто в уравнение модели включу β3di в ошибку, ну то есть я представлю модель в виде yi = β1 + β2xi + ui, и в это ui будет входить старая ошибка εi и также β3di, то в этой форме записи модели у наc будет эндогенность, а именно: Cov(xi, ui) = Cov(xi, β3di + εi). И поскольку есть связь между x и d, то поэтому эта ковариация не будет равна 0. Соответственно, если я буду оценивать эту форму записи с помощью метода наименьших квадратов, β2 с крышкой, которое я получу, оно не будет совпадать с тем β2, которое я хочу оценить. И давайте увидим это на простом примере. Рассмотрим последствия невключения какого-нибудь регрессора при оценке модели. Итак, предположим, что yi = 2 + 3xi ‒ 2di + εi. И предположим, что в этой форме записи модели никакой эндогенности нет. То есть предполагаем, что Cov (xi, εi) = 0, Cov (di, εi) = 0, ну и также известно про эти регрессоры x и d, известно, что дисперсия одного равна дисперсии другого и пускай, скажем, равна 9; дисперсия случайной составляющей εi равна 1; и Cov(xi, di) — это регрессора, между ними корреляция допускается, это никак не противоречит необходимым условиям для выполнения хороших статистических свойств оценок, — минус шести. Тогда, соответственно, если я буду применять метод наименьших квадратов и оценивать модель yi равно β1 с крышкой плюс β2 с крышкой xi плюс β3 с крышкой di, то при оценивании такой модели в силу наших хороших свойств я получу, что предел по вероятности β2 с крышкой равен β2. То есть с увеличением количества наблюдений, я получу в пределе именно 3. Однако представим себе теперь, что оценить такую регрессию я не могу, потому что di, — по этой переменной у меня просто нет данных, — то есть такая идеальная ситуация невозможна. Что произойдёт, если я буду оценивать модель: yi с крышечкой равняется β1 с крышечкой плюс β2 с крышечкой xi? То есть раз просто нет переменной, ну и, соответственно, в регрессию её и не включу. Но в этой ситуации β2 с крышечкой равно выборочной ковариации между y и x делить на выборочную дисперсию x. И мы уже выясняли, что по закону больших чисел в пределе, при n, стремящемся к бесконечности, мы получаем настоящую ковариацию между между xi и yi делить на настоящую дисперсию xi. Ну давайте подставим. Ковариация xi, мы можем подставить вместо yi выражение для него, получим: 2 +3xi ‒ 2di + εi, делённое на дисперсию xi. xi с εi не связано, двойка тоже никак не влияет на ковариацию, остаётся 3 дисперсии xi минус 2 помножить на ковариацию xi и di делить на дисперсию xi. Или получается: 3 минус 2 помножить на ковариацию xi и di, деленное на дисперсию xi. Соответственно, мы получаем, что даже при большом количестве наблюдений оценка методом наименьших квадратов вовсе не стремится к тройке, вот этому числу перед xi, а стремится к другому числу, ну в данном случае, при данной дисперсии и данной ковариации, у нас получается 3 минус 2 помножить на минус 6, делённое на 9. И получается 3 плюс 4, ну сокращаем на 3, получаем 3 плюс 4/3, получается 4 и 1/3. То есть мы видим, что в данном случае при большом количестве наблюдений метод наименьших квадратов будет завышать нам значение β2 в этой форме представления модели. И снова небольшой итог решения задачи. Мы хотим оценить модель yi = β1 + β2xi + β3di + εi, но не наблюдаем регрессор di. То есть что мы хотим получить? Мы хотим получить коэффициент β2, который по смыслу что показывает? Он по смыслу показывает, насколько в среднем растёт yi при росте xi на единичку и при фиксированном di. Ну то есть если у нас xi — это стаж, то мы смотрим, насколько растёт зарплата при росте стажа там на один год и при фиксированных способностях работника. Однако если мы просто будем с помощью метода наименьших квадратов оценивать модель без пропущенного регрессора, а пропускать мы его вынужденны, потому что у нас его просто нет, то мы получим оценки методом наименьших квадратов в модели yi с крышкой равно β1 с крышкой плюс β2 с крышкой на xi. И вот это β2 с крышкой, полученное методом наименьших квадратов, оно не будет похоже на настоящее β2 даже при большом количестве наблюдений, а именно: по смыслу β2 с крышкой будет показывать, насколько в среднем растёт yi, если сравнить двух работников с разным стажем. Но у работников с разным стажем у среднестатистических, у них в среднем разные способности из-за того, что стаж связан со способностями. И получается, что эта оценка методом наименьших квадратов оказывается смещённой и несостоятельной, то есть не совсем то, что нас интересует.
