Давайте попробуем такой простой пример, который нам просто нужен для многих задач, мы это попробуем сделать. Ну вот у нас 2 пластины есть заряженные. Это вот, скажем, q1, это вот q2. Вот. Вот такое вот расположение. Ну и потенциалы пусть будут φ1, а здесь будет φ2. Тогда, а кстати, между прочим, это вот, вот это вот произведение — это и есть dq. То есть нужно взять интеграл, то есть нужно умножить 1/2... значит, энергия такого конденсатора будет равняться 1/2, да? Ну, нужно что сделать — нужно взять φ1 × ∫dq — по всей пластинке первой потенциал постоянен, поэтому мы за знак интеграла вытаскиваем, получается φ1 × dq ну, по первой пластинке, ну как бы вот по первой пластинке. Плюс такая же, такое же выражение для второй пластинки. Тоже будет, прошу прощения, что-то не то написал. Такой интеграл по второй пластине, это будет тоже вот ∫dq, но взятый по второй пластине. Ну понятно, что эти интегралы — это просто заряды полные. Один из них — вот, вот этот вот — равняется просто q1, а вот этот интеграл равняется q2. Давайте вспомним, что обычно нас интересует случай, когда q1 и q2 не произвольные, а когда у нас вот такое вот соотношение есть: q = q1 = −q2. Ну видно, что здесь получается. В конце концов, если это принять, то получается 1/2, а здесь будет q, * (φ1 − φ2). Вот такая формула. А это есть разность потенциалов между обкладками, это есть U, да? Вот мы получили эту формулу: 1/2 qU. А если еще вспомнить, что у нас есть вот такое определение ёмкости: C = q / U — это определение ёмкости конденсатора, то тогда здесь можно разные другие формулы написать. Это будет C × U в 2 / 2. Это вот то, что мы сегодня вот эту формулу писали. Вот видите, она в системе, они все имеют один и тот же вид. Ну ещё можно, ещё одну формулу написать. Это будет q в 2 / 2C — вот такая вот формула выражает энергию взаимодействия. Ну теперь мы попробуем вот то, что у нас получилось — придать всему этому несколько иную интерпретацию. Я хочу поставить такой вопрос: где сидит эта энергия? Где она располагается? Где она локализована? И возможны 2 варианта, да, ответ – 2 возможных варианта. Энергия локализована там, где есть заряды. Ну вот там же в формулу входят заряды. И потенциалы обкладок, да? Вот такая интерпретация возможна. А второй вариант — энергия сидит в поле. Она сидит не на обкладках, а вот в этом пространстве между обкладками. Давайте попробуем сделать маленький расчет, чтобы вот, скажем, оправдать вот такой второй вот подход. Ну как это нужно сделать? Ну, ну вот давайте вот так сделаем. Значит, вот энергия, возьмем, ну например, возьмем эту формулу. Возьмем плоский конденсатор и попробуем к нему применить. Плоский конденсатор — у нас такой тест-объект, очень простые формулы для него, и мы эти формулы получаем в частном виде, но потом уже мы говорим, что вот эти формулы работают и в общем виде. Вот сейчас мы для плоского конденсатора получим эту формулу. Значит, W W = 1/2 C × U в 2. Значит, можно это так перерисовать, это 1/2, а C — это есть S / 4πd, а U в 2 — что такое U в 2? Это, можно сказать, напряженность поля E в 2 × d в 2. Ну потому что U для плоского конденсатора, в котором однородное поле, равняется E × d. Ну вот так эту формулу перерисовать можно. Ну и получается здесь, тут d сокращается и получается, что здесь E в 2 / 8π. Ну вот давайте для полного счастья предположим, что конденсатор был заполнен диэлектриком. Тогда что изменится в этой формуле? Ну еще ε появится, если диэлектрик, то еще вот здесь ε появится. Если заполнен конденсатор однородным диэлектриком. Тогда здесь получится вот такое вот выражение, останется S × d. Что такое S × d? S × d — это объём конденсатора. Значит, S × d — это есть объём конденсатора. Как видите, в этой задаче при написании этих формул мы пренебрегаем полем рассеяния. Считаем, что оно всё локализовано здесь, это некое приближение, и здесь как бы ничего плохого не возникает, мы теорему о циркуляции не применяем. Помните, я вам говорил, что вот такое представление, что в конденсаторе всё, в плоском конденсаторе всё поле сидит вот здесь, – оно нехорошее представление. Почему? Вы помните почему? Потому что, если бы это было так, то была бы нарушена теорема о циркуляции. То есть обход по какому-нибудь вот такому контуру давал бы нам ненулевую работу. Ну а вот в этой задаче это нестрашно оказывается — вот такая вот формула. Так смотрите, пожалуйста, значит, если вот здесь объём пространства, в котором есть электрическое поле, он умножается вот на такое вот выражение, и получается энергия, запасённая в конденсаторе. Вот это выражение называется объёмной плотностью электрической энергии. W, ну, скажем, с индексом э = ε × E в 2 / 8π, его можно интерпретировать как объёмная плотность электрической энергии. Если мы представляем, что энергия сидит вот во всем этом пространстве как-то, и не на пластинах, а в объёме, который занят, где есть электрическое поле. И вот вопрос такой: а что же правильно-то? А ответ: вот в рамках электростатики — это тождественное преобразование. Можно и так, и так, и тут нет возможности выбрать правильный результат. Ну вот, забегая вперед, я скажу, что современная физика стоит на второй позиции. Энергия локализована не там, где есть заряды, а в пространстве, где есть электрическое поле, в общем случае, электромагнитное поле. Электрические магнитные поля обладают свойствами материальных тел. Здесь мы это пока не чувствуем, потому что, повторяю, в рамках электростатики, вот это выражение, ну скажем, вот это, ну вот такое выражение, допустим, оно, здесь заряды и ёмкость стоит в знаменателе, а ёмкость зависит от конфигурации пластин, от расположения пластин. Вот это выражение и вот это выражение, которое мы сейчас только получили, они как бы подразумевают разные интерпретации. Согласно одному выражению, энергия сидит на обкладках, а согласно второму, она сидит между обкладками. Так вот современная физика принимает вторую концепцию. Мы к этому ещё много раз вернёмся. Но вот пока вот немножко забегаю вперед. Значит, вот такой вопрос есть об энергии. Теперь, это вот в частном случае. А в общем случае – электрическая энергия может быть представлена, как интеграл по всему объёму от W электрическая × dV. Эту формулу, конечно, доказывать мы не будем, но это справедливо и в общем виде, при любой конфигурации поля, при любой системе зарядов, которые составляют это поле.
