Parliamo di accelerazione tangente e accelerazione normale. Sappiamo che la velocità v può essere scritta, vettorialmente, come v per il versore u_t cioè la velocità, in generale, è tangente alla traiettoria ed avrà un certo modulo v minuscolo, v. L'accelerazione a ⃗ è, a sua volta, la derivata prima della velocità, v , tutto vettoriale Ora, se noi andiamo a sostituire questa, v che si può chiamare rappresentazione intrinseca della velocità, all'interno dell'espressione dell'accelerazione, a =(dv )/dt, abbiamo la derivata del prodotto tra due termini. Entrambi, in generale, sono variabili nel senso che la velocità v può variare in modulo, cioè il tachimetro può andare in senso orario, antiorario, aumentare la velocità in senso stretto, oppure può variare la sua direzione, o verso, nel senso che io posso sterzare verso destra, verso sinistra e quindi il prodotto fa sì che la sua derivata si debba scomporre in due termini: la derivata del primo per il secondo non derivato, quindi (dv/dt)*u_t, più un secondo termine che è la derivata del secondo per il primo non derivato, quindi scrivo prima il primo, v, e poi la derivata del secondo u_t Questo c i dice che l'accelerazione vettoriale consta di due termini. Il primo termine vediamo che avrà un certo modulo, di dv/dt, e una certa direzione, o verso, data dal versore u_t. Quindi questo primo termine è diretto come il versore u_t cioè tangente alla traiettoria, quindi questo primo termine lo chiamiamo accelerazione tangente, a_t, e sarà, punto per punto, tangente alla traiettoria. Il secondo termine avrà un certo modulo, una certa direzione, o verso, e la direzione/verso è data dalla derivata del versore. Ora sappiamo che i vettori che non possono cambiare modulo, ma solo direzione/verso, come i versori, avranno una derivata che è sempre perpendicolare al versore stesso nel senso che, se la coda è qui, la tengo ferma nella mia mano, e la punta è qui, e metto un fumogeno sulla punta, a questo punto, se io posso solo ruotare, perché non posso allungare o accorciare il vettore, la rotazione mi dà una derivata, diretta come la striscia del fumogeno, che è, appunto, perpendicolare al vettore stesso. Se ruoto in questo senso, è perpendicolare in questa direzione, se ruoto nell'altro senso, è perpendicolare nell'altra direzione. E quindi il versore perpendicolare a u_t, sappiamo essere u_n, versore normale alla traiettoria, e quindi questa componente dell'accelerazione, ora non ci addentriamo sul modulo, almeno possiamo dire che la direzione/verso di questa seconda componente dell'accelerazione è normale, cioè è perpendicolare alla traiettoria punto per punto. Vediamo di capire meglio cosa vuol dire questo. Facciamo due esempi per poter analizzare separatamente i due contributi. Iniziamo con il primo, cioè vogliamo analizzare il contributo di accelerazione tangente, cioè tangenziale alla traiettoria, e quindi, per un momento, cerchiamo di dimenticarci del secondo. Come facciamo? Per annullare il secondo contributo dovremo considerare una traiettoria rettilinea, con un moto rettilineo, perché, nel moto rettilineo, la traiettoria, essendo dritta, avrà un versore tangente che non ruota mai e quindi esiste solo l'accelerazione tangente al più. E quindi in un moto rettilineo ma, in generale, non uniforme, possiamo avere un caso, come il primo che disegno, in cui l'accelerazione tangenziale, a_t, è diretta come u_t, quindi se mettiamo un'ascissa curvilinea sopra alla traiettoria diretta verso destra, quindi la nostra linea γ, gamma, è questa traiettoria verso destra, possiamo avere un primo caso dove la velocità aumenta in modulo, ad esempio abbiamo una prima velocità, che è questa, piccola, poi una seconda velocità, che diventa più grande, una terza velocità, che diventa ancora più grande, e quindi abbiamo, ad esempio, un automobile, che percorre un tratto rettilineo accelerando, in senso stretto, allora, ni questo caso, lungo il moto rettilineo, l'accelerazione tangenziale, parallela alla velocità, è positiva nel senso che accelerazione tangenziale a_t è di dv/dt, ed è positiva e quindi il modulo aumenta. Potremmo fare un secondo caso qui dove, invece, partiamo lungo la traiettoria rettilinea, lungo il rettilineo, con l'automobile, ad alta velocità, che man mano rallenta, per fermarsi, ad esempio c'è un ostacolo, quindi la velocità prima è grande, poi la velocità diventa più piccola e poi più piccola ancora. Allora, in questo caso, l'accelerazione tangenziale, a_t, è la derivata della velocità scalare e quindi è negativa, nel senso che sto fermandomi E quindi, nel primo caso, a_t=dv/dt>0, l'accelerazione tangenziale, a_t è diretta come u_t, ha stessa direzione e stesso verso. Nel secondo caso, a_t=dv/dt<0, invece, l'accelerazione tangenziale, a_t ha stessa direzione ma verso opposto. Quindi, andiamo a recuperare quello che abbiamo scritto nel Formulario Nell'accelerazione tangenziale, a_t sappiamo che, in cinematica scalare, l'accelerazione, vista lungo la traiettoria, cioè in funzione dell'ascissa curvilinea, l'accelerazione era la derivata prima della velocità, quindi derivata seconda dell'ascissa curvilinea, ora scopriamo che questa, in realtà, è solo una componente dell'accelerazione totale, a, cioè è l'accelerazione tangenziale, a_t e, quindi, modifichiamo questa formula, mettendo un pedice t per dire che l'accelerazione, vista come derivata prima della velocità scalare e derivata seconda dell'ascissa curvilinea è, in realtà, l'accelerazione tangenziale, a_t, cioè la componente, lungo la traiettoria, dell'accelerazione vettoriale Adesso vediamo, invece, la seconda componente, accelerazione normale, a_n. Per osservare, in dettaglio, questa seconda componente, dimentichiamoci della prima. Come facciamo? Prendiamo un moto dove non c'è accelerazione tangenziale. Come si fa? Basta considerare un moto a velocità costante, per cui la derivata prima della velocità, in modulo, è nulla. Velocità costante in modulo vuol dire moto uniforme. Moto uniforme possiamo scegliere una traiettoria qualsiasi ma imponiamo una velocità costante in modulo, quindi, ad esempio, prendiamo in questo punto una velocità fatta così, v, in quest'altro punto un'altra velocità, sempre tangente alla traiettoria, ma con la stessa lunghezza, quindi ha ruotato ma ha la stessa lunghezza, e poi qua, ancora una volta, un'altra velocità di uguale lunghezza. Allora, in questo caso, l'accelerazione normale ci indica che cosa? Ci indica in che direzione è orientato lo sterzo di un automobile, cioè mentre l'accelerazione tangente ci dice come varia il tachimetro, nell'accelerazione normale possiamo indicare come varia, com'è orientato il volante, nel senso che la derivata della velocità, in questo primo tratto, è diretta come il limite del rapporto incrementale ∆v/∆t, quindi sarà diretto perpendicolare alla traiettoria, quindi ni questa direzione, e quindi questa è l'accelerazione normale, a_n, in questo altro caso questa è l'accelerazione normale, a_n quindi nel primo tratto il volante è orientato verso destra, nel secondo tratto il volante è orientato verso sinistra, e in questo tratto centrale, dove la traiettoria è abbastanza rettilinea, l'accelerazione normale, a_n è nulla, nel senso che non sto sterzando né verso destra né verso sinistra.
