Un'atleta di ginnastica ritmica deve lanciare la sua palla in aria e, mentre la palla è in aria, compiere delle evoluzioni a terra, cioè dei giri su se stessa. Per compiere questi giri impiega 2 secondi, deve capire come lanciare la palla affinché questa rimanga in aria per tutto questo tempo. Allora, iniziamo schematizzando il problema. Inizialmente ho la ginnasta con la palla in mano che verrà lanciata ad una certa velocità iniziale verticale. Fisso una quota, la quota 0, che è quella relativa alla posizione della palla, e vado avanti nel mio problema. Nella seconda posizione la ballerina starà compiendo i suoi giri e la palla sarà arrivata alla sua quota massima, che chiamiamo y_max. Nella terza posizione, la ballerina avrà finito di compiere i suoi giri e la palla le sarà tornata nelle mani. Fisso, poi, un sistema di riferimento verticale y. Prima di tutto, devo capire di che moto si sta muovendo la palla. La palla lanciata in aria è un corpo, libero di muoversi nell'aria, e tutti questi corpi vengono detti gravi. Tutti i gravi sono soggetti a una stessa accelerazione, che viene detta accelerazione di gravità, e si indica con la lettera g. Quest'accelerazione ha un valore costante di 9,8 m/s² e quindi, essendo costante, produrrà un moto uniformemente accelerato. Quest'accelerazione è rivolta verso il basso e quindi, rispetto al sistema di riferimento, che ho preso nel mio problema, sarà negativa. Posso, quindi, dividere il problema in due parti. La prima parte 1, che durerà un tempo t_1, ed è la parte di salita della palla. La palla arriverà alla quota massima, ci arriverà con una velocità che diventa nulla perché poi la palla inizia a ridiscendere. La discesa sarà la parte 2 e durerà un tempo t_2. Io so che il tempo t_1 e il tempo t_2 deve essere uguale al tempo totale che è 2 secondi. Andiamo, allora, a scrivere le equazioni orarie della palla nel tratto 1 e nel tratto 2. Nel primo tratto, la y di t, moto uniformemente accelerato, può essere scritto come un termine dovuto all'accelerazione di gravità, quindi -1/2 g per t², più il termine dovuto alla velocità iniziale con cui viene lanciata la pallina, quindi v_in per t, più un termine dovuto alla quota iniziale, per come ho preso il sistema l'ho posto a quota 0, quindi non devo aggiungere nulla. Nel secondo tratto, y di t, sarà sempre dato da una parte dovuta all'accelerazione, più una parte dovuta alla velocità iniziale ma la velocità iniziale è quella che il corpo ha a quota massima, quindi nulla, più il termine della quota iniziale. Parto dalla quota massima y_max. A questo punto analizzo ogni singolo tratto. Nel primo tratto io conosco qualcosa relativo all'inizio dell'osservazione, dove ho la velocità iniziale, e qualcosa relativo alla fine dell'osservazione. Alla fine dell'osservazione so, per esempio, che la velocità è nulla quindi posso ricavare la velocità dalla legge oraria, derivando, e porlo uguale a 0. Per cui la velocità, in funzione del tempo, sarà la derivata di y rispetto al tempo e sarà quindi uguale a - g per t più v_in Se vado a porre la velocità uguale a 0 è perché io sto proprio calcolando il tempo t_1, quindi: 0 uguale a - g per t_1 più v_in. e questo mi darà un tempo t_1 pari a v_in fratto g. Ora passo alla parte II. Nella parte II conosco le situazioni iniziali che, però, sono quelle che ho appena discusso qua, e qualcosa sulla situazione finale. Infatti so che quando, diciamo, è passato un tempo t_2 la palla raggiunge la quota y uguale a 0. Allora, andiamo a porre y uguale a 0 nell'equazione II e sostituiamo al tempo il tempo t_2 più y_max uguale a 0. Allora, a questo punto il tempo t_2 verrà uguale alla y_max per 2 fratto g sotto radice. Allora, qua dentro ho un'incognita, che è la y_max. La y_max, però, la posso ricavare dal primo tratto. Infatti, il tempo t_1 è esattamente il tempo in cui arrivo alla quota massima per cui posso sostituirlo dentro all'equazione 1 dicendo che l' y del t_max è esattamente l' y_max e allora questo sarà uguale a -1/2 g per t_1² più v_in t_1 Di conseguenza, avendo qua trovato il t_1, y_max è uguale a -1/2 g per v_in² fratto g² più v_in² fratto g; quindi ho 1/2 v_in² fratto g. Questa y_max la posso mettere dentro all'espressione di t_2 ottenendo, per t_2, v_in fratto g. Ora posso andare a completare l'equazione iniziale che avevo scritto qua andando a sostituire il valore di t_1 e il valore di t_2. A questo punto ottengo t_tot uguale a t_1 più t_2 quindi v_in fratto g più v_in fratto g, quindi 2v_in fratto g, di conseguenza la v_in è g per v_tot fratto 2, che è 9,8 m/s. Posso, poi, sostituire questa velocità iniziale dentro alla quota massima per ottenere un numero e ottengo y_max uguale a 4,9 m. L'altezza, di circa 5 m, è facilmente raggiungibile, la velocità iniziale di 9,8 è un numero abbastanza elevato quindi, forse, la ballerina dovrebbe, cercare di imaprare a fare i giri un po' più velocemente in modo da poter abbassare il valore della velocità iniziale.
