Studiamo il moto uniformemente accelerato. È un moto molto importante perché si ritrova in molti fenomeni naturali, ad esempio il moto di caduta libera di un oggetto, in assenza di attrito, è un moto uniformemente accelerato. Allora diciamo che l'accelerazione a di t, è una costante, la possiamo chiamare a_0. ed esprime il tasso di variazione della velocità. Quindi, se facciamo un grafico della velocità in funzione del tempo, essa varierà linearmente. Consideriamo, ad esempio, un'accelerazione positiva, quindi il corpo accelera e aumenta la sua velocità. Partiamo da una velocità all'istante iniziale t = 0 non nulla, ad esempio positiva. Prendiamo questo come v_0, positivo, l'accelerazione positiva fa sì che la velocità continui ad aumentare nel tempo, linearmente, perché accelerazione costante vuol dire la velocità cresce nel tempo, proporzionalmente al tempo stesso. Allora, il grafico della velocità che abbiamo disegnato lo possiamo esprimere con un'equazione. v di t uguale a v_0 più a_0 per t. Notiamo l'analogia con il moto uniforme dove, in quel caso, è la posizione che cresce linearmente nel tempo e, in questo caso, è la velocità che cresce linearmente nel tempo. Ora possiamo, dalla velocità, con un processo di integrazione, calcolare l'ascissa curvilinea nel tempo cioè la legge oraria, S di t. S di t sarà pari alla posizione di partenza S_0 più l'integrale nel tempo, della velocità. Quindi integrale di v di t in dt. Facciamo questo sia con i calcoli, sia graficamente. Integriamo tra due istanti di tempo che possono essere l'istante iniziale 0 e un istante generico t. Graficamente, questo sappiamo voler dire fare il calcolo dell'area sottesa dalla curva, l'integrale della velocità è l'area della velocità tra il grafico stesso della velocità e l'asse orizzontale del tempo e questi due estremi, l'istante di tempo iniziale t = 0 e l'istante di tempo finale, generico t. Allora lo scrivo anche qua, nella parte bassa dell'integrale l'istante iniziale 0, nella parte alta l'istante finale t. Ora dobbiamo sostituire la prima equazione nella seconda, quindi la velocità è fatta di due termini, una costante e un termine che è proporzionale al tempo. Allora lo sostituiamo all'interno dell'integrale quindi è uguale a S_0 più l'integrale della somma è la somma degli integrali, quindi spezzo in due, integrale da 0 a t della prima parte, v_0 per dt più integrale della seconda parte, da 0 a t di a_0 per t in dt. E quindi arriviamo al risultato finale. È S_0 più v_0 è una costante quindi la posso portare fuori dall'integrale, v_0, l'integrale del tempo vuol dire quanto tempo totale è passato da 0 a t, quindi t, più a_0 è un'altra costante, la posso portare fuori, l'integrale di t in dt fa t^2 per un mezzo, quindi un mezzo lo porto fuori subito, t^2 tra 0 e t quindi proprio t^2. Eccolo qua. Quindi questa è la legge oraria di un moto uniformemente accelerato: posizione iniziale più velocità iniziale per tempo più un mezzo per accelerazione per il tempo al quadrato. Vediamo questo anche graficamente. L'area la possiamo spezzare in due parti. Taglio qui, attorno a v_0 e possiamo evidenziare questa prima parte, chiamarla A_1, l'area di questo rettangolo, e poi possiamo evidenziare una seconda parte, il triangolo, qua sopra, questo lo chiamiamo A_2 e vediamo che infatti A_1, il rettangolo, ha una base pari a t e un'altezza pari a v_0 e lo ritroviamo qua: esattamente questo è A_1 Base, il tempo, e altezza, v_0. Il secondo è un triangolo, quindi base per altezza diviso 2, eccolo qua, A_2. La base è ancora il tempo, è uno di questi due tempi al quadrato, l'altezza cos'è? Abbiamo una retta qui, l'accelerazione per tempo, quindi a_0 per t è l'altezza di questo; un altro tempo è la base, quindi base per altezza diviso 2 e, infine, bisogna aggiungere la costante. Ora disegniamola, questa Legge Oraria, qua sotto, se questo è il mio Diagramma Orario, la mia ascissa curvilinea e questo è sempre l'asse del tempo. Scegliamo, per disegnare il grafico, una costante, ad esempio S_0 la possiamo scegliere negativa, quindi qua, a sinistra, in basso, S_0 negativo, la velocità iniziale v_0 l'abbiamo già scelta prima positiva, questo vuol dire che abbiamo una pendenza positiva di partenza, quindi qua la indico tratteggiata così, v_0 positiva, e poi l'accelerazione l'abbiamo già scelta prima positiva e questo fa sì che il grafico salga, come una parabola, con la concavità positiva, dapprima con questa pendenza iniziale, v_0, e poi con una pendenza sempre maggiore perché la velocità aumenta. Notiamo, per concludere, come, per ottenere la legge oraria, a partire dal dato noto accelerazione costante, abbiamo dovuto aggiungere due informazioni cioè abbiamo dovuto conoscere la velocità iniziale del corpo e abbiamo dovuto conoscere la posizione, l'ascissa curvilinea iniziale del corpo, queste due informazioni, che abbiamo rivisto anche qua, sul grafico, come velocità iniziale e posizione iniziale. Questo perché ogni volta che facciamo un'integrazione dell'accelerazione alla velocità e poi dalla velocità alla legge oraria, dobbiamo conoscere le condizioni iniziali, velocità e posizione.
