Este curso provee al estudiante con conceptos y herramientas matemáticas para modelar problemas en física, que al aplicar podrá enfrentar con éxito los cursos de física universitarios. Así pues, la filosofía de este curso consiste en cubrir temas conceptuales relativos a la Física y desarrollar tu capacidad de aprender y aplicarlos en tu vida profesional. El curso se aborda en dos fases a través de las cuales el alumno: - Aprenderá a aplicar el cálculo diferencial e integral para interpretar y modelar la cinemática de una partícula en una dimensión, - Aprenderá el manejo de cantidades físicas vectoriales en forma gráfica y analítica en dos y tres dimensiones.
Producto cruz
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Conceptos y Herramientas para la Física Universitaria
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Producto cruz
En este módulo estudiamos el producto cruz (o producto vectorial) y su interpretación gráfica, así como algunas aplicaciones en la física.
与讲师见面
Dr. Genaro Zavala EnríquezDirector del Departamento de Física
Departamento de Física, Escuela de Ingeniería y Tecnologías de Información
Ing. Rodolfo Fernández de Lara HadadProfesor del Departamento de Física
Departamento de Física, Escuela de Ingeniería y Tecnologías de Información
Ing. José Rodrigo Salmón FolguerasProfesor del Departamento de Física
Departamento de Física, Escuela de Ingeniería y Tecnologías de Información
Hola.
Ahora vamos a hablar sobre el producto cruz.
you vimos el producto punto en
donde fundamentalmente lo que buscamos es obtener
las componentes paralelas de, de dos vectores
para multiplicar sus es, esas componentes, ¿no?
Las magnitudes de esas componentes, y que el resultado de dos, eh, en este caso
es un escalar. Para el producto cruz es otra eh,
operación vectorial que el resultado de multiplicar, de hacer la operación del
producto cruz a dos vectores nos resulta otro, un tercer vector, un nuevo vector.
Por eso también al producto cruz, a
diferencia del producto punto que se le puede
conocer como producto escalar, al producto cruz
se le puede conocer también como producto vectorial.
Eh, y, gráficamente lo que, que estamos haciendo es que, eh,
al obtener el producto cruz entre el vector A y B, lo que hacemos es
que descomponemos en componente eh, horizontal
de B y en componente perpendicular de
B respecto de A, y únicamente nos quedamos con la componente eh, vertical.
Por eso el, el producto cruz está basado o se compone
por el seno de ángulo entre A y B, a diferencia del producto punto que eh,
se representa, o se compone a partir del coseno del ángulo entre A y B.
Por definición, el producto cruz, la magnitud del producto cruz es la magnitud
de A por la magnitud de B por el seno del ángulo entre ellos.
Pero, recordemos que además de una magnitud,
para representar un vector necesitamos una dirección.
Por lo tanto, eh, el resultado de A cruz B es vectorial.
Y, como en el caso anterior habíamos visto que A
punto B es igual a B punto A, porque estábamos
hablando de magnitudes, en este caso de vectores A cruz
B va a ser igual a menos B cruz A.
Y veámoslo sencillo con regla de la mano derecha.
Si yo tengo el vector eh, i, quiero hacer
el producto cruz con j, lo que pongo es i cruz j,
o sea, si quieren pongan la mano extendida completamente en dirección de i
y cierren la mano, cruz en dirección del segundo vector, del, del,
del vector que está de la, en la derecha de la cruz, ¿verdad?,
del operador.
Y el pulgar les va a dar el, la dirección del vector resultante,
en este caso k.
Pero por el contrario, si yo hago primero j, primero pongo la mano en dirección
del primer vector cruz i, si se fijan, la dirección es menos k.
Por lo, por lo tanto, al aplicar la regla de la mano derecha para ver con vectores
unitarios las, los resultados, las direcciones de los vectores,
se compone esta tabla en donde los, para vectores
eh, unitarios iguales, en la misma
dirección, los productos cruz son 0, ¿verdad?
¿Por qué?
Porque i cruz i tienen la misma dirección.
O sea, el seno de 0 es 0. Y, por el contrario, cuando los vectores
son diferentes, el seno de 90 grados es 1, y entonces aplicamos la regla de la
mano derecha, i cruz j es k, i cruz k es menos j, j cruz i es menos k, j cruz
k es menos i, y así sucesivamente eh, para toda la tabla.
Yo les recomiendo que eh, practiquen.
Y en el caso del producto punto, cuando ustedes hacían A punto B que
multiplicaban cada uno de los términos, la componente x por la x de B
y la, la, la x por la y de B, la x por la
z, van a hacer exactamente lo mismo para el producto cruz y después de reagrupar
términos van a llegar a que A cruz B es
igual a, a y, bueno, a lo que está aquí expresado.
Yo espero que ustedes trabajen y que lleguen a la misma, a
la misma expresión, y ese sería el, la definición completa del producto cruz.
Pero como acabamos de ver, A cruz B es un vector que vamos de A a B,
y, es comple, en este caso, eh, se representa el vector que sale del,
del, del dibujo como la punta de la flecha contra el vector que se mete al dibujo que
sería la, la cola de la flecha, o, o las plumas de la flecha que sería B cruz A.
Representado en el plano, en este caso, el vector k
se ve que sería i, cruz j y k, ¿verdad?,
en dirección de ustedes. Y haciendo
un, un ejercicio, un ejemplo, consideremos los mismos,
los mismos vectores del producto punto A y
B eh, y, pero, para sacar el producto
cruz necesitamos primero sus magnitudes y, en este caso
vemos el ángulo eh, que hay entre ellos y sabemos que hay 90 grados, y el
ángulo que hace la vertical respecto del vector
B, pues se puede obtener como la tangente inversa
del componente opuesto sobre la yacente que es 2 sobre 2,
y el ángulo que hace el vector A, eh, respecto de
la eh, horizontal en este caso o también en la tangente
inversa de su componente y sobre su componente x en un tercio.
Vemos que el ángulo teta, eh, volvemos a comprobar que es 153 punto 4
grados y multiplicando este ángulo por las magnitudes de los vectores y,
comprobamos que A B seno de teta es 4.
Ese sería el valor de eh, la magnitud del producto cruz.
Y, eh, también, gráficamente el producto cruz lo que representa es el área que
se, que forman eh, el, del paralelogramo que se forma por estos vectores.
En este caso es lo que está representado ese, ese especie
de rombo que, ese rombo que se forma por los vectores
que son las líneas negras y las líneas azules.
Esa área tiene unidades de cuatro unidades cuadradas.
Y si nos vamos por la, por
la otra definición, que son complementarias de hecho,
vamos a tener que sacar los componentes de cada uno de los vectores y multiplicar.
Y como vemos eh, al final de cuentas sobreviven
las, las, las, los productos cruces de componentes eh,
en, de 90 grados.
Y en este caso vemos que, eh, queda 6 por i cruz j más 2 por menos j cruz menos j.
Apliquen la regla de la mano derecha, practiquen mucho, y
van a darse cuenta que A cruz B es 4 k.
Entonces, la magnitud del vector es 4, como you vimos
en el ejemplo anterior, pero su dirección es en dirección k.
En este caso estamos hablando de dos vectores en el plano x y por lo
tanto su, el vector, eh, producto eh, o el
pro, o el resultado de su producto cruz es un
vector que está en el plan, eh, en el
eje z que es perpendicular al plano x y, ¿verdad?
Y en este caso el ángulo lo podemos sacar cómo, como la
magnitud de A cruz B, que sabemos que es 4, y el seno
inverso de la magnitud de a cruz b, sobre la magnitud de
A por B, y vemos que ese ángulo es 26 punto 6 grados.
Aquí tengan mucho ojo. ¿Por qué?
Por identidades trigonométricas.
El, el producto punto se utiliza, es
más utilizado para sacar ángulos entre vectores, porque
en la función coseno es positiva en el
primer cuadrante y negativa en el segundo cuadrante.
Quiere decir que para un producto punto eh, negativo, estamos
hablando de un ángulo mayor a 90 grados pero la función
seno sí es positiva tanto en el primer cuadrante como en
el segundo cuadrante, por lo tanto al sacar el seno inverso de,
de, de un ángulo el resultado siempre nos va a dar
el ángulo eh, agudo, o sea, el ángulo menor a 90 grados.
Por eso nosotros tenemos que estar muy atentos a esto,
a este, a este dato y restar eh, 180 menos
26 ¿para qué?, 26 punto 6 en este caso.
¿Para qué?
Para obtener 153 punto 4 grados que es equivalente al ángulo entre A y B que
obtuvimos también por el método del producto punto.
