Hola. Ahora vamos a hablar sobre el producto cruz. you vimos el producto punto en donde fundamentalmente lo que buscamos es obtener las componentes paralelas de, de dos vectores para multiplicar sus es, esas componentes, ¿no? Las magnitudes de esas componentes, y que el resultado de dos, eh, en este caso es un escalar. Para el producto cruz es otra eh, operación vectorial que el resultado de multiplicar, de hacer la operación del producto cruz a dos vectores nos resulta otro, un tercer vector, un nuevo vector. Por eso también al producto cruz, a diferencia del producto punto que se le puede conocer como producto escalar, al producto cruz se le puede conocer también como producto vectorial. Eh, y, gráficamente lo que, que estamos haciendo es que, eh, al obtener el producto cruz entre el vector A y B, lo que hacemos es que descomponemos en componente eh, horizontal de B y en componente perpendicular de B respecto de A, y únicamente nos quedamos con la componente eh, vertical. Por eso el, el producto cruz está basado o se compone por el seno de ángulo entre A y B, a diferencia del producto punto que eh, se representa, o se compone a partir del coseno del ángulo entre A y B. Por definición, el producto cruz, la magnitud del producto cruz es la magnitud de A por la magnitud de B por el seno del ángulo entre ellos. Pero, recordemos que además de una magnitud, para representar un vector necesitamos una dirección. Por lo tanto, eh, el resultado de A cruz B es vectorial. Y, como en el caso anterior habíamos visto que A punto B es igual a B punto A, porque estábamos hablando de magnitudes, en este caso de vectores A cruz B va a ser igual a menos B cruz A. Y veámoslo sencillo con regla de la mano derecha. Si yo tengo el vector eh, i, quiero hacer el producto cruz con j, lo que pongo es i cruz j, o sea, si quieren pongan la mano extendida completamente en dirección de i y cierren la mano, cruz en dirección del segundo vector, del, del, del vector que está de la, en la derecha de la cruz, ¿verdad?, del operador. Y el pulgar les va a dar el, la dirección del vector resultante, en este caso k. Pero por el contrario, si yo hago primero j, primero pongo la mano en dirección del primer vector cruz i, si se fijan, la dirección es menos k. Por lo, por lo tanto, al aplicar la regla de la mano derecha para ver con vectores unitarios las, los resultados, las direcciones de los vectores, se compone esta tabla en donde los, para vectores eh, unitarios iguales, en la misma dirección, los productos cruz son 0, ¿verdad? ¿Por qué? Porque i cruz i tienen la misma dirección. O sea, el seno de 0 es 0. Y, por el contrario, cuando los vectores son diferentes, el seno de 90 grados es 1, y entonces aplicamos la regla de la mano derecha, i cruz j es k, i cruz k es menos j, j cruz i es menos k, j cruz k es menos i, y así sucesivamente eh, para toda la tabla. Yo les recomiendo que eh, practiquen. Y en el caso del producto punto, cuando ustedes hacían A punto B que multiplicaban cada uno de los términos, la componente x por la x de B y la, la, la x por la y de B, la x por la z, van a hacer exactamente lo mismo para el producto cruz y después de reagrupar términos van a llegar a que A cruz B es igual a, a y, bueno, a lo que está aquí expresado. Yo espero que ustedes trabajen y que lleguen a la misma, a la misma expresión, y ese sería el, la definición completa del producto cruz. Pero como acabamos de ver, A cruz B es un vector que vamos de A a B, y, es comple, en este caso, eh, se representa el vector que sale del, del, del dibujo como la punta de la flecha contra el vector que se mete al dibujo que sería la, la cola de la flecha, o, o las plumas de la flecha que sería B cruz A. Representado en el plano, en este caso, el vector k se ve que sería i, cruz j y k, ¿verdad?, en dirección de ustedes. Y haciendo un, un ejercicio, un ejemplo, consideremos los mismos, los mismos vectores del producto punto A y B eh, y, pero, para sacar el producto cruz necesitamos primero sus magnitudes y, en este caso vemos el ángulo eh, que hay entre ellos y sabemos que hay 90 grados, y el ángulo que hace la vertical respecto del vector B, pues se puede obtener como la tangente inversa del componente opuesto sobre la yacente que es 2 sobre 2, y el ángulo que hace el vector A, eh, respecto de la eh, horizontal en este caso o también en la tangente inversa de su componente y sobre su componente x en un tercio. Vemos que el ángulo teta, eh, volvemos a comprobar que es 153 punto 4 grados y multiplicando este ángulo por las magnitudes de los vectores y, comprobamos que A B seno de teta es 4. Ese sería el valor de eh, la magnitud del producto cruz. Y, eh, también, gráficamente el producto cruz lo que representa es el área que se, que forman eh, el, del paralelogramo que se forma por estos vectores. En este caso es lo que está representado ese, ese especie de rombo que, ese rombo que se forma por los vectores que son las líneas negras y las líneas azules. Esa área tiene unidades de cuatro unidades cuadradas. Y si nos vamos por la, por la otra definición, que son complementarias de hecho, vamos a tener que sacar los componentes de cada uno de los vectores y multiplicar. Y como vemos eh, al final de cuentas sobreviven las, las, las, los productos cruces de componentes eh, en, de 90 grados. Y en este caso vemos que, eh, queda 6 por i cruz j más 2 por menos j cruz menos j. Apliquen la regla de la mano derecha, practiquen mucho, y van a darse cuenta que A cruz B es 4 k. Entonces, la magnitud del vector es 4, como you vimos en el ejemplo anterior, pero su dirección es en dirección k. En este caso estamos hablando de dos vectores en el plano x y por lo tanto su, el vector, eh, producto eh, o el pro, o el resultado de su producto cruz es un vector que está en el plan, eh, en el eje z que es perpendicular al plano x y, ¿verdad? Y en este caso el ángulo lo podemos sacar cómo, como la magnitud de A cruz B, que sabemos que es 4, y el seno inverso de la magnitud de a cruz b, sobre la magnitud de A por B, y vemos que ese ángulo es 26 punto 6 grados. Aquí tengan mucho ojo. ¿Por qué? Por identidades trigonométricas. El, el producto punto se utiliza, es más utilizado para sacar ángulos entre vectores, porque en la función coseno es positiva en el primer cuadrante y negativa en el segundo cuadrante. Quiere decir que para un producto punto eh, negativo, estamos hablando de un ángulo mayor a 90 grados pero la función seno sí es positiva tanto en el primer cuadrante como en el segundo cuadrante, por lo tanto al sacar el seno inverso de, de, de un ángulo el resultado siempre nos va a dar el ángulo eh, agudo, o sea, el ángulo menor a 90 grados. Por eso nosotros tenemos que estar muy atentos a esto, a este, a este dato y restar eh, 180 menos 26 ¿para qué?, 26 punto 6 en este caso. ¿Para qué? Para obtener 153 punto 4 grados que es equivalente al ángulo entre A y B que obtuvimos también por el método del producto punto.
