В течение жизни мы постоянно взаимодействуем с другими людьми. Маленькие дети, пытаясь добиться того, чтобы родители купили понравившуюся конфетку, часто шантажируют родителей своими слезами. Принимая решение заплакать, ребенок рискует — он не знает, как поведут себя папа с мамой. В чуть более взрослом возрасте абитуриенты, выбирающие вуз, принимают сложное решение о том, в какие университеты подать документы. Ошибка может стоить дорого: при неправильной стратегии можно оказаться в слабом университете или вообще остаться без заветного студенческого билета. Окончив вуз, юноши и девушки начинают искать работу. Перед интервью с работодателем они штудируют статьи в интернете о том, что можно и чего нельзя говорить на интервью, — они пытаются найти наилучшую стратегию своего поведения, исходя из ожиданий компании, в которую они устраиваются. Все эти ситуации объединяет то, что решения, которые принимают одни люди, оказывают влияние на других людей. Такие взаимодействия называются стратегическими. Именно их изучает теория игр. Чтобы проанализировать ту или иную реальную жизненную ситуацию стратегического взаимодействия и найти оптимальный вариант поведения в ней, необходимо сделать две вещи. Во-первых, необходимо формально записать ситуацию на языке теории игр, то есть создать модель (игру). Во-вторых, после того как модель (игра) составлена, ее необходимо решить. Этому мы будем учиться в течение курса. Мы разберем основные виды игр (одновременные и последовательные, с совершенной и несовершенной информацией, коалиционные и некоалиционные), приведем способы их решения и обсудим их на многочисленных примерах. Курс будет интересен желающим разобраться в том, как конкурируют друг с другом несколько компаний и можно ли гарантированно выиграть в шашки, есть ли смысл угрожать на переговорах и с кем стоит объединяться в коалиции в парламенте. FAQ В: Требуется ли предварительная подготовка для прохождения курса? О: Курс является базовым, поэтому он не требует специальной подготовки. Для его успешного освоения достаточно уверенных знаний курса математики в объеме школьной программы. В одном-двух примерах могут пригодиться знания начал математического анализа (дифференцирование функций одной переменной, необходимое условие экстремума) и знания начал теории вероятностей (понятие математического ожидания случайной величины). В: Что требуется для успешного окончания курса? О: Итоговая оценка за курс складывается из результатов 10 оцениваемых тестов. Для успешного окончания курса необходимо дать не менее 80 % правильных ответов на каждый из этих тестов.
Решение модели
Loading...
来自 National Research University Higher School of Economics 的课程
Теория игр (Game Theory)
653 个评分
从本节课中
Модель Хотеллинга — Даунса и модель Курно
Дорогие слушатели, приветствуем вас на четвертой неделе курса! Многих из вас наверняка интересует вопрос о том, где применить знания, полученные на курсе по теории игр, в реальной жизни. Материал четвертой недели частично даст на него ответ. Мы поговорим о политической конкуренции кандидатов во время предвыборной кампании и экономической конкуренции фирм на рынках с несколькими производителями. На следующих неделях мы поговорим и о других примерах использования теории игр в жизни.
与讲师见面
Dmitry DagaevAssociate Professor, Deputy Vice Rector
Department of Higher Mathematics
[ЗАСТАВКА] Давайте модель решать.
В качестве концепции решения снова будем использовать концепцию равновесия по Нэшу.
Итак, мы ищем равновесный профиль q1; q2.
Давайте сначала, как и в случае с моделью Даунса,
обсудим несколько примеров.
Предположим, что первая фирма произвела 0,2 единицы продукции,
вторая фирма произвела 0,3 единицы продукции.
Тогда прибыли фирм будут соответственно равны 0,1 и 0,15.
Будет ли это равновесием в этой модели?
Ответ — нет.
Легко проверить, что при фиксированной стратегии второй фирмы
первой фирме будет выгодно увеличить свой выпуск,
например, на 0,1, и тогда ее прибыль вырастет до 0,12.
Значит, мы предъявили стратегию первой фирмы,
которая позволяет улучшить ее платеж, и таким образом,
наш первоначальный профиль 0,2; 0,3 не
является равновесием по Нэшу в этой модели.
Второй фирме, вообще говоря,
в этой игре было бы выгодно изменить свою стратегию и увеличить свой выпуск.
То есть и второй фирме, возможно, было бы выгодно отклониться.
Ну отклонение одного игрока — выгодного — уже достаточно для того,
чтобы сказать, что профиль не является равновесием по Нэшу.
Давайте теперь рассмотрим другой профиль.
Предположим, что обе фирмы выпустили по 0,4 единицы товара.
Тогда прибыли фирм (их несложно посчитать) будут равны 0,08.
Является ли такой профиль равновесием?
Снова нет.
Но на этот раз чтобы увеличить свой платеж,
фирме нужно уменьшить свой выпуск.
Например, если первая фирма уменьшит свой выпуск на 0,1,
то есть произведет 0,3 единицы товара вместо 0,4,
то тогда ее прибыль вырастет до 0,09 вместо 0,08.
Точно такое же отклонение возможно и у второй фирмы при
фиксированной стратегии первой фирмы.
Это означает, что профиль 0,4; 0,4 не является равновесием по Нэшу.
Можно рассмотреть еще один пример.
Давайте теперь представим, что одна фирма производит существенно больше другой.
Пусть первая фирма производит 0,6, а вторая фирма — 0,1.
Тогда прибыль первой фирмы — 0,18, прибыль второй фирмы — 0,03.
Является ли равновесием такой профиль?
Снова нет.
Теперь первая фирма может чуть-чуть уменьшить свой выпуск,
например, на 0,1, и тогда ее прибыль вырастет до 0,2.
А вторая фирма, наоборот, может увеличить свой выпуск на 0,1,
и тогда ее прибыль вырастет до 0,04.
Итак, в этих примерах, которые мы только что разобрали,
происходит примерно следующее: если обе фирмы производят мало,
то тогда каждой из этих фирм выгодно чуть-чуть увеличить выпуск.
Цена, которую потребители готовы платить за
товар, пока еще достаточно большая.
Если обе фирмы производят много, то тогда эта цена уже маленькая,
и каждой фирме выгодно чуть-чуть снизить свой выпуск.
Поэтому можно сделать предположение,
что равновесие находится где-то посередине.
И на самом деле если посмотреть на форму прибыли,
что такое здесь прибыль фирмы?
Это произведение цены,
которая в нашем случае это 1 минус суммарный выпуск на рынке,
то есть (1 − q1 − q2), умноженная на выпуск фирмы.
Если мы говорим о первой фирме, то это q1.
Соответственно, прибыль фирмы — это квадратичная функция по ее выпуску.
Причем графиком этой функции является парабола с рожками вниз.
И это означает, что прибыль фирмы в какой-то точке находится в оптимуме,
а по разные стороны от этой точки — ниже.
Причем с одной стороны, если пока выпуск маленький,
эта прибыль увеличивается, а с другой стороны, когда выпуск стал уже
достаточно большим, эта прибыль начинает уменьшаться.
То есть в равновесии каждая фирма должна найти свой оптимальный выпуск.
Будем называть его q со звездочкой.
В этом выпуске эффект от увеличения вот этого
выпуска будет совпадать с эффектом влияния снижения рыночной цены.
То есть фирма будет...
То есть выигрыш фирмы от того, что она начинает производить больше,
будет равен сокращению доходов от того,
что уменьшится цена на рынке в результате увеличения выпуска.
Вот в такой ситуации и будет равновесие.
Давайте его и попробуем найти.
Решим задачу максимизации прибыли для каждой из двух фирм.
Как выглядит прибыль каждой фирмы?
Мы ее уже записывали.
Прибыль первой фирмы — это квадратичная функция по параметру q1.
q1 находится в руках у первой фирмы.
Она изменяет значение этого параметра так, чтобы выбрать оптимальное значение.
При этом выпуск второй фирмы первая фирма воспринимает как заданный, как константу.
Поэтому первая фирма находит вершину
вот этой параболы с рожками вниз.
В этой вершине выпуск первой фирмы будет оптимальным,
но он будет зависеть от выпуска второй фирмы — от параметра q2.
На графике на вашем экране представлены графики различных функций
прибыли первой фирмы при различных параметрах q2,
то есть при различных выборах производства второй фирмы.
Мы видим, что оптимальный выпуск первой фирмы, вообще говоря, убывает по q2.
То есть чем больше выпускает вторая фирма,
тем первой фирме выгодно меньше производить.
Вершинки парабол у нас смещаются влево при росте параметра q2.
Координаты вершинки параболы — это (1 − q2) / 2.
То есть оптимальный выпуск первой фирмы q1* — это как раз (1 − q2) / 2.
Вот такая зависимость оптимального выпуска первой фирмы
от выпуска второй фирмы называется «кривой реакции» первой фирмы на выпуск второй.
При этом нужно понимать, что оптимальный
выпуск первой фирмы зависит от этого q2.
То есть если бы первая фирма знала, что вторая фирма выпустит q2,
то тогда первая фирма приняла бы решение о выпуске (1 − q2)
/ 2 единиц продукции.
Итак, мы нашли зависимость q1* от q2.
Чем больше q2,
тем первой фирме выгодно производить меньше товара.
То есть первая фирма за каждую следующую единицу продукции получает меньше,
ну а значит, соответственно, ей выгодно производить меньше товара.
Для второй фирмы точно так же:
оптимальный выпуск — это (1 − q1) / 2.
Здесь снова есть отрицательная зависимость оптимального
выпуска второй фирмы от выпуска первой фирмы.
Чем больше выпускает первая фирма, тем второй фирме выгодно выпускать меньше.
Это кривая реакции второй фирмы на выпуск первой фирмы.
И в равновесии обе фирмы должны играть свои оптимальные стратегии.
То есть и первая фирма должна играть оптимально в ответ на стратегию
второй фирмы,
и вторая фирма должна играть оптимально в ответ на стратегию первой фирмы.
Это означает, что в равновесии должны выполняться
одновременно 2 условия: и выпуск первой фирмы должен
быть оптимальным (то есть это не просто q1, а q1*), и выпуск
второй фирмы должен быть оптимальным (то есть это не просто q2, а q2*).
И это означает, что у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными.
q1* — это (1 − q2* ) / 2 q2*
— это (1 − q1*) / 2.
Каждая фирма играет оптимальную стратегию,
поэтому мы вместо q2 и q1 в правых частях соответственно подставили q2* и q1*.
Решая эту несложную систему уравнений, мы получаем,
что q1* = 1/3, q2* = 1/3.
Выпуск обеих фирм в равновесии одинаков, что,
в общем, логично, потому что фирмы ничем не отличались друг от друга.
Все параметры модели были для этих фирм одинаковыми.
Давайте теперь обсудим немножко это равновесие.
Что означает, что в равновесии выпуск обеих фирм равен 1/3?
Это означает, что, с одной стороны,
если вторая фирма выпускает 1/3 продукции,
то тогда и первой фирме выгодно выпускать 1/3.
И наоборот, если первая фирма выпускает 1/3 единиц продукции,
то и второй фирме выгодно выпускать 1/3.
Вот этот вот профиль называется равновесием Курно.
То есть это на самом деле просто равновесие Нэша в модели Курно.
Если бы мы рассмотрели какой-то другой профиль — например,
профиль, в котором фирмы производили мало продукции, то,
как мы уже раньше сказали, одной из фирм было бы выгодно отклониться,
произвести больше, и этот профиль не был бы равновесием.
Если бы обе фирмы производили много, то этот профиль тоже не был бы равновесием.
Каждой из фирм при фиксированной стратегии другой фирмы
было бы выгодно уменьшить свой выпуск.
То есть на самом деле те предположения,
которые мы сделали в начале, они подтверждаются.
Зная кривую реакции, мы можем проверить,
что при очень маленьких q1 и q2 выгодно свой выпуск увеличить.
Если q1 меньше 1/3, то тогда второй фирме
выгодно произвести больше 1/3, то есть увеличить свой выпуск.
И наоборот, если q2 меньше 1/3,
то первой фирме выгодно увеличить свой выпуск и произвести больше 1/3.
Если, наоборот, q1 больше 1/3, то тогда второй фирме (снова смотрим
на кривую реакции) выгодно уменьшить свое производство и произвести поменьше 1/3.
То же самое верно и для второй фирмы.
[ЗАСТАВКА]
