En el primer vídeo hemos introducido el concepto de función primitiva
o antiderivada, que nos ha permitido
introducir el concepto de integral indefinida.
En este segundo vídeo, vamos a profundizar en
este concepto y vamos a estudiar algunas de las
propiedades simples de la integral indefinida que nos
permitirán calcular primitivas de un gran número de funciones.
Igual que pasaba
con las derivadas, el cálculo de antiderivadas de algunas
funciones, es especialmente sencillo y no necesita cálculos adicionales.
Estas integrales reciben el nombre de integrales inmediatas,
y también serán objeto de estudio en este vídeo.
Vamos pues a empezar.
La primera regla hace referencia al cálculo
de la integral indefinida de una función constante.
Si f de x igual a k, donde k es cualquier número real, es una constante,
entonces la integral indefinida de k por diferencial de x es k por x
más C, donde C es cualquier constante real.
La interpretación sería, la integral indefinida de una
función constante es la constante multiplicada por la x.
Veamos algunos ejemplos. En el primero de
ellos, tenemos la integral de raíz de dos por diferencial de x.
Esta integral indefinida es sencillamente raíz de dos
x más C, donde C es cualquier número real.
Cuando no haya necesidad de indicar que la
constante es un número real, simplemente pondremos la constante.
En el segundo ejemplo se trata de hallar la
integral indefinida de tres medios diferencial de x.
Puesto que también se trata de una función constante,
la integral será tres medios de x más C.
La última se trata de la integral de cero diferencial de x.
En este caso se trata de la integral
de la función cero, que también es una constante.
Siguiendo la misma regla, sería cero por x más
C, en este caso da simplemente una constante C, donde C pertenece a R.
La segunda regla hace referencia al cálculo de la integral
indefinida de la función potencia de x, es decir, dada la función
f de x igual a x elevado a a, donde a
es un número real distinto de menos uno, entonces la integral indefinida
de x elevado a a diferencial de x, es igual a x
elevado a a más uno partido por a más uno más C.
Su interpretación es la siguiente, la integral indefinida de la función potencia
de x es la base elevada al exponente más uno, dividido por el exponente más uno.
Veamos algunos ejemplos.
El primero de ellos se trata de hallar la integral indefinida dela
función x diferencial de x. Esta función se trata de una potencia.
La potencia de exponente uno.
Aplicando esta regla, resultado sería x cuadrado partido por dos más C.
En el segundo caso también se trata de una función potencia.
En este caso se trata de calcular la
integral indefinida de la función uno diferencial de
x, que sería lo mismo que la función x elevado a
cero diferencial de x, que es una potencia, y por tanto
el resultado será simplemente x elevado a uno partido por uno
más C, es decir, simplemente la función x más la constante.
Y en el tercer caso, se trata de hallar la integral indefinida
de uno partido por x cubo diferencial de x, que se puede escribir
como una potencia x elevado a menos tres, diferencial de x, igual, aplicando
la misma regla, x elevado a menos dos partido por menos dos más C.
Y esto después de simplificar quedaría menos
uno partido por dos x cuadrado más C.
Invirtiendo las reglas de
derivación que hemos visto en la semana cinco, obtenemos
una serie de integrales indefinidas, que se llaman inmediatas.
El siguiente cuadro resume las más importantes.
La integral indefinida de uno partido por x diferencial de x,
sería el logaritmo neperiano de valor absoluto de x más C.
Puesto que, la derivada del logaritmo neperiano
es uno partido de x. Añadiremos el valor absoluto, puesto que
el logaritmo neperiano solo tiene sentido para valores positivos de la variable x.
De la misma manera sabemos que la derivada de
la función e elevado a la x es ella misma.
Por tanto, la integral indefinida de e elevado a x, también será ella misma.
Y de la misma manera, puesto que conocemos la derivada de una función
exponencial de base distinta de e, utilizando la fórmula
de la derivada podemos deducir, que la integral de a
elevado a x diferencial de x es a elevado
a x partido por logaritmo neperiano de a más C.
Y de las propiedades del seno, coseno y tangente, fácilmente se puede deducir
que la integral indefinida de seno de x diferencial de x es menos coseno
de x más C.
La integral de coseno de x diferencial de x es el seno de x.
Y finalmente, de la derivada de la tangente
podemos deducir que la integral de uno partido
por coseno cuadrado de x diferencial de x es igual a tangente de x más C.
Otra propiedad que utilizaremos muy a menudo es la siguiente: Se
trata de hallar la integral indefinida de una constante por una función.
Por las
propiedades de la derivada, es fácil deducir
que la integral de una constante por
una función es igual a la constante por la integral indefinida de la función.
Veamos algunos ejemplos.
En primer lugar la interpretación se leería de
la siguiente manera: La integral indefinida de una
constante por una función es igual a la
constante por la integral indefinida de la función.
Veamos pues los ejemplos. En el
primero de ellos, se trata de integrar la función tres x diferencial de x.
Aquí la constante es tres, por tanto escribiríamos siguiendo la regla
como tres, por la integral de x diferencial de x y
por tanto obtendríamos tres por x cuadrado partido por dos más
C, que puede simplemente resumirse como tres x cuadrado partido por dos
más C. Veamos el siguiente ejemplo.
En el siguiente ejemplo tenemos la integral indefinida de
tres por e elevado a x diferencial de x.
De nuevo se puede escribir como tres por la
integral de e elevado a x diferencial de x y
esto, puesto que se trata de una integral inmediata
será simplemente tres por e elevado a x más C.
En el último caso se trata
de hallar la integral de raíz de dos x.
También en este caso se trata de una constante por una función, la constante es
raíz de dos, y la integral es la función raíz de x diferencial de x.
La función raíz de x la podemos interpretar como una potencia, y por tanto
tendríamos raíz de dos por la integral de x elevado a un medio, diferencial de x.
Puesto que x elevado a un medio
es una potencia, aplicamos la regla de la potencia, y obtendremos raíz
de dos por x elevado a tres medios partido por tres medios más C.
Simplificando obtenemos sencillamente dos raíz de dos
partido por tres por la raíz cuadrada de x cubo más C.
Y la última propiedad que
vamos a estudiar en este vídeo es la propiedad de
la integral indefinida de la suma o diferencia de dos funciones.
La integral de la suma o diferencia de dos funciones, simplemente
es la suma o diferencia de la integral de ambas funciones.
Su interpretación por tanto es esta, la integral indefinida de la suma o
diferencia de dos funciones es igual a la suma o diferencia de las
integrales indefinidas de cada función.
Veamos también unos ejemplos para clarificar esta propiedad.
En este caso concreto tenemos la integral de la suma de dos funciones.
La función tres seno de x, y la función coseno de x.
Aplicando esta propiedad y la propiedad anterior del producto de una constante
por una función obtendríamos tres por la integral del seno de x,
diferencial de x más la integral del coseno de x,
diferencial de x. Puesto que ambas son inmediatas, obtenemos
sencillamente menos tres coseno de x más
seno de x más C. En el segundo ejemplo
se trata de nuevo de la diferencia de dos funciones, una exponencial de base e y una
exponencial de base a.
El logaritmo neperiano de a, también en este caso es una constante.
Por tanto, esta integral se calcularía como la
integral de e elevado a x diferencial de
x menos logaritmo neperiano de a por la
integral de a elevado a x diferencial de x.
Calculando estas dos integrales que también son inmediatas,
obtendríamos e elevado a x menos logaritmo neperiano de a
multiplicado por a elevado a x partido por el logaritmo neperiano de a más C.
Simplificando obtenemos sencillamente e elevado a x menos a elevado a x más C.
Por último, tenemos la integral de un binomio al cuadrado.
Más adelante aprenderemos a calcular esta integral de otra manera.
En este caso sencillamente podemos hallar el cuadrado del binomio, que sería la
integral de cuatro x cuadrado más doce x más nueve, diferencial de x.
Y aplicando la regla de la suma sería la integral de cuatro
x cuadrado diferencial de x más la integral de doce x diferencial de
x, más la integral de nueve diferencial de x.
Calculando cada integral por separado
obtendríamos simplemente cuatro tercios
de x cubo más seis x cuadrado más
nueve x más C. Finalmente vamos a repasar las reglas y
propiedades más importantes que hemos estudiado en este vídeo.
La primera de ellas hace referencia a la integral de una constante,
que como hemos visto es igual a la constante por la variable x más C.
A continuación hemos estudiado la integral indefinida de la potencia
x elevado a a, con a distinto de menos uno.
En este caso hemos visto que da igual a x elevado al exponente
más uno partido por el exponente más uno.
También hemos estudiado la integral de una constante por una función.
Y hemos visto que da igual a la constante por la integral de la función.
Y finalmente, también hemos estudiado la integral de la
suma o diferencia de dos funciones y hemos visto
que da igual a la integral de la primera
función más o menos la integral de la segunda función.
También hemos estudiado las integrales inmediatas, es decir, las integrales que
salen de forma obvia a partir del cálculo de las integrales más simples.
Así hemos visto cual era la integral indefinida de
la función uno partido por x, la integral indefinida de
la función f de x igual a e elevado
a x, la integral indefinida de la función a elevado
a x, la integral indefinida de la función seno de x, la de la función coseno de
x, y finalmente la función f de x igual a uno partido por coseno cuadrado de x.
Todas estas aparecen de forma natural al calcular las derivadas correspondientes.
