Curso diseñado para facilitar la entrada del estudiante en los cursos de cálculo de primer semestre de prácticamente cualquier grado universitario, con especial énfasis en Ciencias e Ingeniería.
Transformaciones
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初级微积分
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Números y funciones
Conjuntos de números, el conjunto de los números reales, valor absoluto, subconjuntos de números, el plano real y distancias en el plano, funciones reales y su representación gráfica, la función inversa, comportamiento de una función.
与讲师见面
Jaume PujolProfesor titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
Mercè VillanuevaProfesora Titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
Hola de nuevo! Ahora que hemos estudiado un gran número
de funciones, podemos formularnos las siguientes preguntas: ¿En qué se parecen
dos funciones? A menudo dos funciones distintas guardan
cierto parecido. ¿Podemos deducir alguna propriedad de una
de ellas conociendo la otra? Para responder a estas dos preguntas
debemos estudiar cómo se puede transformar una de ellas en la otra sin
que pierda sus propiedades. Estudiaremos tres tipos de
transformaciones: los desplazamientos, las reflexiones y los escalados.
Al final de la lección, deberemos ser capazes de reconocer si funciones
distintas guardan alguna relación entre ellas y deberemos saber transformar una
en la otra. ¿Qué relación hay entre estas dos
funciones? Si observamos detalladamente las dos
funciones podemos observar que tienen exactamente la misma forma.
Si tomamos tres puntos por ejemplo de la primera función y intentamos encontrar
los mismos tres puntos en la segunda función podemos observar que se ha
producido un desplazamiento hacia arriba de los tres puntos.
Un desplazamiento de magnitud uno. Por tanto, podemos decir que se ha
producido un desplazamiento vertical Si "k" perteneciente a "R" es un valor real,
entonces la función que se obtiene de sumar este valor "k" a la función
original se llama un desplazamiento vertical.
Si "k" es mayor que cero, el desplazamiento es hacia arriba.
Si "k" es menor que cero, el desplazamiento es hacia abajo.
En este caso concreto, la función de partida era efe de equis igual a equis
cuadrado. Por tanto, puesto que el esplazamiento se
ha producido hacia arriba, el valor de "k" es un valor mayor que cero e igual a
uno. La función "g" sería equis cuadrado más
uno. Veamos otro ejemplo: En ese caso, de
nuevo observamos en la parte izquierda la función efe de equis igual a equis
cuadrado. En la parte de la derecha, la función "g"
de equis puede intrepretarse como la función efe desplazada una unidad hacía a
la derecha. Si tomamos tres puntos de la función efe
de equis y sus correspondientes tres puntos de la función "g" de equis,
observamos en este caso, que se ha producido un desplazamiento horizontal de
valor "h". En este caso, la función "g" se puede
obtener a la función de efe, sumando a la variable equis el valor hache.
Si hache es mayor que cero, el desplazamiento es hacia la izquierda.
Si hache es menor que cero, el desplazamiento es hacia la derecha.
Por tanto, si la función de partida era efe de equis igual a equis cuadrado, la
nueva función "g" de equis será simplemente el desplazamiento de una
unidad hacia a la derecha. Veamos un ejemplo un poco más complejo de
desplazamiento. A la izquierda, tenemos la función efe de
equis, raíz de equis definida solamente en el conjunto de los números mayores o
iguales que cero y a la derecha la misma función pero desplazada.
Vamos a intentar hallar la fórmula de la función "g" de equis a partir de la
fórmula de la función efe de equis. Primero de todo, observemos por ejemplo,
el punto cero cero. Este punto, en la nueva función se
transforma en el punto menos uno, menos dos.
Esto nos va a indicar qué desplazamientos se han producido.
Podemos observar que, en primero lugar, que hay un desplazamiento de valor ka
igual a menos dos en la dirección horizontal y después un desplazamiento
hache igual a uno en la dirección vertical.
Por tanto, podemos calcular la fórmula de la función "g" de equis a partir de la
fórmula de la función raíz de equis. Ésta será simplemente raíz de equis más
uno, menos dos y esta será la fórmula de la nueva función.
Así pues, si aplicamos un desplazamiento de valores hache y ka a la función efe de
equis obtenemos la nueva función "g" de equis más hache, más ka.
A continuación, vamos a estudiar otro tipo de transformación.
Se trata, en este caso, de una reflexión horizontal.
Si observamos las dos gráficas y determinamos tres puntos de la primera
gráfica, podemos observar que estos tres puntos se han transformado a la derecha
en los puntos marcados en rojo. Ha habido por tanto una reflexion
horizontal, a través del eje de abscisas. Esto se corresponde simplemente a cambiar
el signo de la función efe de equis; es decir la función "g" de equis igual a
menos efe de equis se obtiene por reflexión de la función efe de equis a lo
largo del eje de abscisas. De la misma manera, podemos obtener una
reflexión vertical es decir, a la izquierda tenemos la función efe de equis
y señalamos tres puntos, estos se transforman en la función "g" de equis,
donde ha habido una refléxion de la gráfica a través del eje de ordenadas.
En este caso, la función "g" de equis se obtiene simplemente cambiando el signo de
la variable equis. Por tanto, la función "g" de equis igual
a efe de menos equis se obtiene por reflexión de la función efe de equis a lo
largo del eje de ordenadas. En este ejemplo, podemos tratar de hallar
la fórmula de la función "g" de equis a partir de la fórmula de la función efe de
equis. A la izquierda, tenemos una vez más la
función efe de equis igual a raíz de equis definida solamente para valores
mayores o iguales que cero. A la derecha tenemos la función "g" de
equis. Podemos observar que tiene cierto
parecido con la función efe de equis. ¿Cómo se ha obtenido efe de equis?
Pues simplemente, haciendo dos reflexiones.
Primero, podemos hacer una reflexión respecto al eje de abscisas.
A continuación, podemos hacer una reflexión respecto al eje de ordenadas.
Con estas dos reflexiones, tendremos el valor "g" de equis a partir de efe de
equis. Por tanto, podríamos resumir diciendo que
raíz de equis ha sufrido una reflexión horizontal y se ha transformado en menos
raíz de equis y a continuación, hemos realizado una reflexión vertical y se ha
transformado en menos raíz de menos equis.
Eso sí, en este caso, la equis está definida solamente para valores menores o
igual de cero. Por tanto, la función "g" de equis será
una función menos raíz de menos equis para valores menores o iguales que cero.
Finalmente, vamos a estudiar el tercer tipo de trasnsformación, que es el
escalado. Observar estas tres funciones.
A la izquierda tenemos la función efe de equis y a la derecha tenemos la función
"g" de equis y hache de equis. Si tomamos tres puntos de la función efe
de equis y sus correspondientes tres puntos en la función "g" de equis,
observamos que se ha producido una dilatación vertical de la función efe de
equis y si consideramos los tres mismos puntos de la función hache de equis
podemos comprobar que se ha producido una compresión vertical de la función efe.
Estas transformaciones se pueden representar de la siguiente manera: todas
ellas se han obtenido multiplicando la función efe por un valor a mayor que
cero. Si a es mayor que uno, entonces se
obtiene una dilatación vertical de la función efe.
Si a está entre cero y uno entonces se obtiene una compresión vertical de la
función efe. En nuestras gráficas, la función "g" se
ha obtenido simplemente multiplicando por dos la función efe y la función hache se
ha obtenido dividiendo por dos la función efe.
De la misma manera, podemos tratar el escalado horizontal.
Igual que antes tenemos una función efe y su escalado horizontal "g" y hache.
Para ver como se obtienen, observemos tres puntos de la función efe de equis, y
sus correspondientes tres puntos de una función "g" de hache.
En la función "g", se ha obtenido la función simplemente, mediante una
compresión horizontal. En la función hache, se ha obtenido la
misma función, mediante una dilatación horizontal.
Ellosse obtiene simplemente, multiplicando la variable equis por un
valor be mayor que cero. Si be es mayor que uno, entonces se
obtiene una compresión horizontal de la función efe.
Es lo que hemos obtenido en el caso de la función "g" y si be está entre cero y
uno, entonces se obtiene una dilatación horizontal de la función efe.
En este ejemplo concreto, la función "g" sería simplemente la función efe, dónde
hemos duplicado por dos la variable equis y la función hache, sería simplemente la
función efe en la que hemos dividido por dos la variable equis.
Resumiendo, hemos visto tres tipos de transformación: desplazamiento vertical,
que se obtiene sumando un valor constante ka a la función efe, desplazamiento
horizontal, que se obtiene sumando un valor constante hache a la variable
equis, reflexión horizontal, que se obtiene cambiando simplemente de signo la
función efe, reflexión vertical que se obtiene cambiando el signo de la variable
equis, escalado vertical, que se obtiene multiplicando la función efe por una
constante a mayor que cero y el escalado horizontal, que se obtiene multiplicando
la variable equis por un valor be mayor que cero.
Esto es todo en esta lección.
