קורס זה עוסק במתמטיקה של בית ספר תיכון מנקודת מבט מתקדמת. מטרתו העיקרית היא לחשוף סטודנטים לעתיד לאופן שבו מתמטיקאים רואים מקצוע זה, ובכך להכין אותם ללימודי מתמטיקה ברמת אוניברסיטה.
מספרים מרוכבים 4 - הצגה פולרית
Loading...
来自 Hebrew University of Jerusalem 的课程
Invitation to Mathematics הזמנה למתמטיקה
50 个评分
从本节课中
המשך מספרים מרוכבים
ביחידה זו נלמד על שתי ההצגות השימושיות של מספרים מרוכבים ואיך עוברים מהצגה אחת לשניה. לאחר מכן, נראה מספר שימושים של מספרים מרוכבים. נסיים את היחידה בהצגה של שורשי היחידה, שהם מספרים מרוכבים מאוד שימושיים עם תכונות יפות במיוחד
与讲师见面
Raz Kupferman
Mathematics
Itamar Cwik
Mathematics
Ehud de Shalit
Mathematics
נפרדנו עם הזמנה לחשוב על המשמעות הגיאומטרית של המכפלה של שני מספרים
מרוכבים.
אז בואו ניזכר קודם כל מהי המשמעות הגיאומטרית של מכפלה של שני מספרים ממשיים.
אם נתבונן שוב בישר הממשי
נציין נקודה אחת על תקן של ראשית, שנייחס לה את המספר 0.
ואחרי שבחרנו נקודה שתיתן לנו את היחידה,
כל מספר מייצג נקודה, וכל נקודה מיוצגת על ידי מספר
שמרוחקת מהראשית, היחידות שהמספר נותן לעצמו.
מה המשמעות של הכפלה של a במספר k?
אם k הוא מספר חיובי,
למשל גדול מ-1, אז מה שנקבל זה הגדלה של הקטע 0a.
המספר, k פעמים a,
ייוצג על הישר על ידי
נקודה באותו כיוון של הנקודה a אבל מרוחקת
הפעם מהראשית k פעמים המרחק ש-a היתה מרוחקת מהראשית.
אם k שווה ל-2, אז נקבל נקודה שמרוחקת פעמיים הגודל a מראשית.
אם k שווה ל-7, פאי וכו'.
במילים אחרות, כאשר k הוא מספר גדול מ-1,
הכפלה ב-k מגדילה את הקטע ראשית a פי k יחידות.
אם k היה מספר קטן
מ-1 אבל עדיין גדול מ-0,
מה שהיינו מקבלים עכשיו זה אמנם קטע שהוא גם כן באותו כיוון של הקטע המקורי 0 a,
אבל הפעם הוא יהיה יותר קטן.
לכן במקרה הזה,
k פעמים a ייפול בקטע המקורי, 0 a.
אם למשל k שווה לחצי, הנקודה שמייחסת, שמייצגת את חצי פעמים a,
תהיה מרוחקת מהראשית כמחצית המרחק ש-a היתה מרוחקת.
אז זה המקרה ש-k גדול מ-1, זה המקרה של k בין 0 לבין 1.
כמובן אם k שווה ל-0, אז אנחנו מקבל את הנקודה 0.
אם k שווה ל-1, נקבל את אותה נקודה עצמה.
או במונחים גיאומטריים, כאשר k שווה ל-0,
הקטע 0 a מתכווץ כולו והופך להיות נקודה, הנקודה הראשית.
ואם k שווה ל-a, אם k שווה ל-1,
אז אנחנו לא משנים כהוא זה את הקטע שמחבר בין 0 לבין a.
ומה קורה אם ניקח מספר שלילי?
אז נקבל תופעה מעניינת,
למשל כאשר k שווה למינוס 1,
אז נקבל נקודה, כך שהיא ממוקמת באופן
סימטרי לראשית, כך שהמרחק בין הנקודה
שמייצגת את המספר מינוס a לראשית הוא
אותו מרחק כמבדיל בין הנקודה שמייצגת את a מהראשית.
אבל בכיוון השני ובאופן כללי,
אם k היה מספר קטן מ-0 כל שהוא,
אז מה שנקבל זה הצגה באמצעות נקודה
שנופלת בצד השני של הראשית.
אם כך, נוכל לומר שהמכפלה
של מספר ממשי נתון במספר ממשי אחר כרוכה באו
מתיחה או כיווץ או שילוב יחד עם מה?
שיקוף ביחס לראשית.
האם נוכל לייחס משמעות אנלוגית למכפלה של שני מספרים מרוכבים?
אז בואו ניקח את המקרה הבא.
נניח שנרצה להכפיל גם כן מספר
מרוכב באמצעות מספר ממשי.
אם z נתון על ידי ההצגה a ועוד a.
bi הוא החלק הממשי, b הוא החלק המדומה,
ו-k עצמו הוא מספר ממשי.
במקרה זה, מה המשמעות להכפיל את k ב-z?
כמובן, אם נפעל אלגברית, זה יהיה k פעמים
a ועוד bi ונקבל את המספר המרוכב שמתקבל בזו הלשון.
החלק הממשי שלו יהיה k פעמים a והחלק המדומה שלו יהיה k פעמים b.
כמובן כמספר מרוכב נקבל את המספר k פעמים a ועוד k פעמים bi.
אבל k פעמים a,
k פעמים b, לזה יש לנו פירוש גיאומטרי.
אז נוכל לחשוב על המכפלה של
המספר z במספר הממשי k
בצורה הבאה: אם נייחס למספר
המרוכב z את הנקודה במישור עם קואורדינטות a,
b, המספר k
פעמים z
יהיה נתון על ידי,
או מיוצג על ידי, הנקודה עם קואורדינטות k פעמים a,
k פעמים b.
ושוב נוכל לחשוב על הפעולה הזו באופן גיאומטרי כהומוטטיה.
אנחנו מכפילים כל כיוון בקבוע k,
ואנחנו יכולים לראות את זאת באמצעות ההטלות על שני הצירים.
אם נתבונן על ההטלה על הציר הממשי,
אז ההכפלה פי k תכפיל את
הקואורדינטה הראשונה, ונקבל על הציר הממשי את אותה תופעה שראינו קודם
על ציר ממשי בפני עצמו.
ובצורה אנלוגית על הציר המדומה.
התלמיד שמלווה אותנו בסובלנות ראה שיקול גיאומטרי דומה
עוד בהרצאות על משפט פיתגורס.
אם כך, מקרה מאוד מיוחד,
הכפלה של מספר מרוכב כל שהוא במספר
מרוכב מאוד מיוחד, k שהוא ממשי,
גיאומטרית המשמעות היא ניפוח או כיווץ.
אם k היה קטן, גדול מ-0 אבל קטן מ-1,
היינו מכווצים את הנקודה.
איך אפשר היה לראות את זה?
מהמשולש המקורי שנבנה באמצעות
הנקודה שמייצגת את z הראשית לציר הממשי.
אם k הוא קטן מ-1 נקבל משולש שהוא דומה למשולש המקורי אבל יותר קטן.
אם k הוא יותר גדול, נקבל משולש דומה אבל תרתי משמע יותר גדול.
וכמובן אם k יהיה מספר שלילי,
נקבל שוב שיקוף ביחס לראשית.
מה קורה אם הפעם
ניקח ונכפיל את המספר z,
אבל במספר מרוכב אחר מאוד מאוד מיוחד?
בואו נכפיל את המספר z במספר i.
במילים אחרות, נחשב i
פעמים a ועוד bi.
כמובן שמה שאנחנו נקבל זה יהיה
i פעמים a ועוד i פעמים b
פעמים i b כפול a בריבוע, זה מינוס b.
או בכתיב לפי הסדר שאנחנו נוהגים לכתוב מספר מרוכב,
החלק הממשי יהיה הנגדי של b והחלק
המדומה יהיה הפעם מי ששיחק
קודם את התפקיד של החלק הממשי של המספר הנתון.
מהי המשמעות הגיאומטרית?
אז בואו נציג את התמונה
הזו בהקשר הבא.
אם
זו הנקודה שמייצגת את הנקודה Z,
כלומר, הקואורדינטה הראשונה היא החלק הממשי של A ,Z,
הקואורדינטה השנייה B זה החלק המדומה של Z.
איפה נמקם את הנקודה שמתאימה ל-i פעמים Z?
הנקודה שמתאימה היא הנקודה עם קואורדינטות מינוס A B.
איך נוכל לראות את הנקודה הזו?
אז בואו נשרטט את הקטע שמחבר את הראשית
בין F את הראשית עם הנקודה שמייצגת את Z,
ונסתכל על הנקודה הזו.
הנקודה הזו יש
לה את הקואורדינטות הבאות.
אם כאן יש A יחידות בתפקיד של חלק ממשי של Z,
אז A הופכת להיות בתפקיד החלק המדומה של i פעמים Z.
אם B היה הגודל שסימן את החלק המדומה של Z,
הנגדי של B,
היא הפעם בתפקיד של החלק הממשי של i פעמים Z.
אם כך, אם נתבונן על מה שעשינו,
אפשר לחשוב על התופעה הבאה.
בבואנו להכפיל את Z במספר מאוד מיוחד,
המספר i, מה שיצרנו זה, אכן,
סיבוב שנוכל לראות אותו בהתנהגות של המשולש שעכשיו אני מקווקו,
בפאי חלקי 2 יחידות בכיוון החיובי.
תופעה זו כמובן ראינו בהקשר של פונקציות טריגונומטריות.
אז קודם כל הערה.
שתי הדוגמאות האלה מצביעות על כך שבבואנו
לחשוב על המשמעות הגיאומטרית של מכפלה של שני מספרים
מרוכבים יש שתי פעולות גיאומטריות שנכנסות לחשבון.
הכפלה בסקלר שמה שגורמת למישור זה
להתנפח או להתכווץ או אולי לשלב את זה עם שיקוף ביחס לראשית.
תופעה אחרת כרוכה בסיבובים.
העובדה שסיבובים נכנסים לתמונה מזמינה אותנו לרעיון אחר.
אולי אפשר יהיה להלביש על המישור התבוננות בזווית אחרת.
ואכן היא קיימת, ומיד נציג אותה.
נכניס אם כך את מה שנקרא
הצגה קוטבית או
פולארית או טריגונומטרית של
המספרים המרוכבים.
הצגנו את המספרים המרוכבים מבחינה
גיאומטרית תוך שימוש במערכת קואורדינטות קרטזיות.
שרטטנו כבישים שמזכירים אולי את הנוף
למשל של בואנוס איירס, מה שמזכיר לי באמת את נוף ילדותי,
אבל טיפול בפעולות שכרוכות בסיבובים
למשל אולי יזמינו אותנו לחשוב על איזושהי עיר יפיפייה אחרת, פריז.
אם אתם עומדים או מתבוננים מעל קשת הניצחון,
התמונה מצביעה על תנועה או
שמתפתחת באופן רדיאלי או באופן סיבובי.
ואומנם אפשר לגשת לתיאור של נקודות במישור בצורה אחרת.
בואו נפעל בצורה כזו.
נניח שבחרנו
מלכתחילה איזושהי נקודה על תקן של ראשית,
בחרנו ישר שעובר דרך הראשית,
ועל הישר הזה אנחנו נלביש מערכת קואורדינטות.
ועכשיו, אומנם אני ציירתי את זה מראש כי נוח לי היה יותר לצייר מראש,
אחרי שבחרנו מערכת קואורדינטות
על הישר או אפילו על המישור, נוכל לשרטט את מעגל היחידה.
ועכשיו מה שאני רוצה לטעון זה שבהינתן
נקודה כל שהיא על המישור, שונה מהראשית,
במקום להציג את הנקודה באמצעות הקואורדינטות הקרטזיות הרגילות,
מה שאנחנו יכולים לעשות זה נחבר את
הראשית עם הנקודה,
והקטע שמחבר ביניהן יחתוך את מעגל
היחידה בנקודה אחת ויחידה.
בצורה זו נוכל ליחס לנקודה P את שני הנתונים הבאים.
מצד אחד ניקח את המרחק בין P לבין הראשית.
זה יהיה מספר, נכנה אותו בשם R,
גודל הרדיאלי, והוא מספר
שתמיד יהיה גדול מ-0 תחת הנחה ש-P היא אומנם נקודה שונה מ-0.
ולמה R?
כי אומנם הגודל הזה משותף למה?
לכל הנקודות שמרחקן מהראשית הוא אותו R,
קרי, מעגל שמרכזו בראשית עם רדיוס R.
כמובן שהמספר הזה, הנתון הזה,
הוא לא מספיק כדי לאפיין באופן מלא את הנקודה הזו.
אנחנו זקוקים לעוד נתון.
והציור הזה מזמין בצורה
דומה לאיך שפעלנו כשהצגנו את הפונקציות הטריגונומטריות לייחס
לנקודה הזו עוד נתון: מהו גודל הקשת,
מה המידה של הזווית של הנקודה
שהיא מתאימה לחיתוך בין הקטע
שמחבר בין הראשית לבין P למעגל היחידה?
במילים אחרות,
במקום לדבר על שתי הקואורדינטות הקרטזיות של P,
הקואורדינטת ה-X והקואורדינטת ה-Y, אנחנו מלבישים מערכת
קואורדינטות אחרת הגודל הרדיאלי והזווית.
בואו נפעיל את המנגנון הזה
למספר או לנקודה שמייצגת מספר מרוכב עכשיו.
אם המספר
המרוכב מלכתחילה נתון באמצעות
החלק הממשי והחלק המדומה שלו כנקודה
במישור הקרטזי מיוצגת על יד הנקודה עם קואורדינטות קרטזיות A ו-B.
איך אני יכול ליחס ל-Z את שני הגדלים?
אז קודם כל, מהו הגודל של R?
ואמנם בסיפור הזה כבר ראינו עוד בפרק הראשון, למשל על משפט פיתגורס.
אם נתבונן במשולש: הראשית,
נקודת ההטלה על ציר הממשי,
הנקודה עצמה, המשולש הזה, המרחק R אינו אלא מי?
האורך של האלכסון או האורך של היתר.
אבל אנחנו זוכרים בדיוק מי זה R .R זה מה?
הריבוע שלו זה הגודל של A בריבוע ועוד הגודל של B בריבוע.
במילים אחרות ה-R איננו אלא מה?
השורש הריבועי של A בריבוע ועוד B בריבוע.
זה בדיוק מה שאנחנו מכנים
הגודל או הערך המוחלט של המספר Z.
אז אם מלכתחילה המספר נתון באמצעות A ועוד Bi,
אז הגודל R יהיה נתון על ידי הערך המוחלט של המספר,
קרי שוב השורש הריבועי של A בריבוע ועוד B בריבוע.
למשל, אם ניקח את הדוגמה z שווה
ל- 1 ועוד i,
אז מה יהיה הגודל שלו?
שורש של 1 בריבוע ועוד 1 בריבוע, במילים אחרות,
שורש ריבועי של 2.
אם z
שווה ל-1 מינוס שורש של 3 פעמים i,
אולי ניתן שם אחר עם w,
אז מהו ה-r שמתאים ל-w?
זה יהיה כמובן השורש הריבועי של 1 בריבוע
ועוד מינוס שורש של 3 בריבוע,
קרי, 1 בריבוע ועוד 3 בריבוע.
השורש של 3 בריבוע זה 3, 3 ועוד 1 זה 4,
שורש ריבועי של 4 זה כמובן 2.
ואיך נייחס למספר
מרוכב מידה של זווית תטא?
נהוג להשתמש בהקשר הזה באות היוונית תטא,
ומדברים בשפה של ארגומנט,
זווית או מידה של זווית שמתאימה למספר המרוכב z.
איך נוכל לייחס למספר המרוכב את הנתון השני?
מספר שנהוג לכנות אותו תטא אשר תמדוד את
המידה של הזווית בין הציר הממשי לבין
הקטע שמחבר בין הראשית לבין הנקודה עצמה.
בואו נסתכל במקרה מאוד מיוחד מה קורה אם
מלכתחילה היינו עוסקים במספרים שאורכם שווה ל-1.
במקרה זה אנחנו עוסקים במה?
אם נחשוב
על הנקודה שמייצגת
את המספר המרוכב w על המישור של ארגנד,
מדובר על נקודה כך שהאורך שלה הוא 1,
אז הוא על מעגל היחידה.
אם נפעל כפי
שפעלנו כשייצגנו את הפונקציות הטריגונומטריות,
נתבונן על הנקודה שמייצגת את w,
יש לה שתי קואורדינטות.
באמצעות הפונקציות
הטריגונומטריות נוכל לבחור מספר תטא
אחד ויחיד שנמצא בין 0 לבין 2 פאי,
כך שהמידה של הזוית תהיה
בדיוק הגודל של הקשת
שאנחנו זקוקים כדי להגיע מהנקודה
ששימשה אותנו כדי להתחיל את הטיולים על מעגל היחידה עד הנקודה שמתאימה לתטא, ל-w.
בצורה כזו, כפי שראינו או כפי שהגדרנו למעשה באמצעות הפונקציות הטריגונומטריות,
הנקודה הזו היא בעלת קואורדינטות קרטזיות, קוסינוס של תטא,
סינוס של תטא.
אבל אם נייחס לשתי הקואורדינטות
האלה תפקיד של חלק ממשי וחלק
מדומה בהתאם של מספר מרוכב,
מתברר שאת המספר הזה w,
אמנם מצד אחד אנחנו מציגים אותו באמצעות הנקודה עם קואורדינטות:
קואורדינטה ראשונה קוסינוס תטא, וקואורדינטה שניה סינוס תטא,
אבל בכתיב מלא
הקוסינוס תטא בתפקיד של ה-a, החלק הממשי,
ועוד i פעמים החלק המדומה,
סינוס של תטא.
במקרה זה יותר נוח למקם את ה-i מצד
שמאל של הכינוי של החלק המדומה.
בצורה זו כל מספר מרוכב שגודלו הוא 1, שהערך המוחלט שלו הוא 1,
יש לו את הצורה המאוד מיוחדת w שווה
לקוסינוס של תטא ועוד i סינוס של תטא,
כאשר תטא מלכתחילה נבחר כערך בין 0 ל-2 פאי,
כולל אולי את 0, לא כולל את 2 פאי.
האמת היא שכמובן, כפי שלמדנו בהקשר של
פונקציות טריגונומטריות, היה ובמקום שנייחס רק,
או נכפה על עצמנו בחירה רק בין 0 ל-2 פאי,
היה ונוסיף ותטא כפולה שלמה של 2 פאי,
נקבל מידה אחרת של קשת כך שהקוסינוס והסינוס יישארו אותו הדבר.
אז בהקשר זה כל ביטוי מהצורה
קוסינוס של t ועוד i סינוס של t גם יכול
לשמש אותנו כדי לייצג את המספר המרוכב w,
בתנאי שכמובן הקשר בין t לבין הזווית תטא, הוא כפי שהזכרנו.
t מתקבל מתטא בהוספה
או החסרה של כפולה שלמה של 2 פאי.
איך נפעל במקרה של מספר מרוכב כל שהוא שונה מ-0?
אז בואו נחזור לציור.
מה שנוכל לעשות זה, אם המספר שונה מ-0,
להתבונן במספר חלקי האורך שלו.
שימו לב שאם המספר שונה מ-0,
כמובן אורכו שנתון על ידי שורש ריבועי של a בריבוע ועוד b בריבוע,
יהיה מספר ממשי ממש גדול מ-0.
אבל הזכרנו לפני לא כל כך הרבה זמן,
שאם אנחנו לוקחים איזה שהוא מספר מרוכב
ומכפילים או מחלקים במספר ממשי גדול מ-0,
מהי המשמעות הגאומטרית?
אנחנו נקבל נקודה באותו כיוון,
למעשה באותה קרן שמחברת בין הראשית לבין
הנקודה, אבל שהמרחק יהיה מה?
אם מלכתחילה נקודה הייתה רחוקה שבע יחידות מהראשית,
אם חילקנו את המספר הזה ב-7, נקבל עכשיו נקודה שמרחקה מהראשית הוא 1.
אם במקור הנקודה הייתה במרחק של חצי יחידה,
כשאנחנו מחלקים חצי בחצי, שוב נקבל מרחק אחד.
במילים אחרות, עבור נקודות או מספרים מרוכבים שונים מ-0,
המספר z חלקי הגודל של z, הערך המוחלט של z,
זה מספר כך שהוא יושב הן על מעגל היחידה,
אבל בדיוק על אותו קטע שמחבר בין הנקודה
הראשית לבין הנקודה הנתונה מלכתחילה.
אם כך, ברור ששתי הנקודות האלה חולקות את מידת,
או יכולות לחלוק את מידת הזוית.
על כן, אם נסתכל הפעם על המספר הזה,
כרגע ראינו שאנחנו נוכל לבחור מספר תטא,
כך שתמדוד את הזווית או את הגודל המתאים של הזווית,
כך שנוכל לקבל הצגה של המספר המרוכב הזה בצורה
קוסינוס של תטא ועוד i פעמים סינוס של תטא.
אם כך, זה יאפשר לנו להציג
כל מספר מרוכב שונה מ-0 בזו הלשון:
זה יהיה הגודל או הערך המוחלט שלו מוכפל במה?
בקוסינוס של תטא ועוד i פעמים סינוס של תטא.
ואם ניתן לערך המוחלט של z את
כינויו בשפת ה-r, נקבל את מה שנקרא,
הצגה פולרית הוא הצגה קוטבית, הוא הצגה טריגונומטרית,
של מספר מרוכב באמצעות z שווה ל-r, הרדיוס,
כפול קוסינוס של תטא ועוד i סינוס של תטא,
כאשר תטא, בדרך כלל אנחנו נדרוש שתהיה בין 0 ל-2 פאי,
אבל בהקשרים אחרים יהיה נוח לעבוד עם מידה אחרת של
הזווית שנבדלת מתטא כזו בכפולות שלמות של 2 פאי.
הבה ניתן מספר דוגמאות.
בואו נשתמש בציור
שעומד לרשותנו
וננסה למצוא את ההצגה הטריגונומטרית,
הקוטבית, של שתי הדוגמאות ששימשו אותנו.
איפה נוכל למקם את הנקודה z שווה ל-1 ועוד i?
בלבוש קרטזי הנקודה
z שווה ל-1 ועוד פעם אחת i,
היא הנקודה שמיוצגת על ידי, נקודה עם קואורדינטות 1,
1, היא יושבת לה במקום הזה.
אני מקווה שברור לכם משיקולים של
סימטריה שאם נחבר את
הראשית עם הנקודה הזו z,
הרי מדובר על אלכסון של ריבוע היחידה,
על כן נוכל לקחת כזווית מתאימה את המידה תטא שווה לפאי חלקי 4.
ליתר דיוק,
אם נחלק את הנקודה z באורכה,
נקבל נקודה על מעגל היחידה כך שנוכל לתאר
את הנקודה הזו באמצעות המידה פאי חלקי 4.
נפעל כך: אם נחלק את הנקודה הזו
באורכה z חלקי האורך של z,
היא הרי 1 ועוד i חלקי שורש ריבועי של 2,
או במילים אחרות, 1 חלקי שורש ריבועי של 2
ועוד 1 חלקי שורש ריבועי של 2 פעמים i.
ובלבוש יותר ידוע כשורש ריבועי של 2
חלקי 2 ועוד שורש ריבועי של 2 חלקי 2 פעמים i,
נקבל את הקואורדינטות המוכרות לנו,
הקואורדינטות הקרטזיות של הנקודה הזו.
אבל מה שמעניין אותנו בהצגה היא שנוכל לכתוב
את הביטוי הזה בשפה קוסינוס של פאי חלקי 4
ועוד i פעמים סינוס של פאי חלקי 4.
על כן נוכל לרשום ש-1 ועוד i שווה ל...
האורך שלו זה שורש ריבועי של 2,
נעשה לנו קצת טיפ טיפה יותר מקום למטה,
1 ועוד i הוא הרדיוס שורש ריבועי
של 2 כפול קוסינוס של פאי חלקי 4
ועוד i פעמים סינוס של פאי חלקי 4.
מה קורה אם ניקח את הנקודה 1 מינוס שורש של 3 פעמים i?
הנקודה w או המספר w חלקי האורך,
הוא יהיה 1 מינוס שורש של 3 פעמים i חלקי האורך,
קרי 2, או במילים אחרות,
חצי מינוס שורש של 3 חלקי 2 פעמים i.
רגע, את הנתונים האלו כבר ראינו יותר מפעם אחת.
איפה זה החצי?
החצי כמובן נמקם אותו כאן.
אם פה זה חצי איפה
קודם כל שורש של 3 חלקי 2?
זה הגודל הממוקם כאן.
אז כמובן מינוס שורש של 3 חלקי 2 ממוקם במקום הזה.
ומה היא המידה של הזווית שמתאימה לנקודה הזו?
הנקודה הזו מתאימה למה?
זו זווית עם פאי חלקי 3 יחידות,
אז הנקודה הזו היא: אילו היינו הולכים בכיוון
ההפוך היינו הולכים מינוס פאי חלקי 3 יחידות.
אבל איך נוכל להגיע אם נלך בכיוון החיובי?
פאי חלקי 3 פעם 1,
פאי חלקי 3 פעמיים, 3 פעמים, 4 פעמים, 5 פעמים.
מידה מתאימה תחת האילוץ
שהתטא תהיה בין 0 לבין 2 פאי זה 5 פעמים פאי חלקי 3.
אם כך, נוכל להציג את הנקודה הזו w בזו הצורה.
אולי קודם כל את w חלקי הערך המוחלט.
זה קוסינוס של 5 פאי חלקי 3 ועוד
i פעמים הסינוס של 5 פאי חלקי 3.
על כן, את w, זו ההצגה הטריגונומטרית,
1 מינוס שורש של 3 פעמים i יהיה האורך,
קרי, 2 כפול קוסינוס של 5 פאי
חלקי 3 ועוד i פעמים סינוס של 5 פאי חלקי 3.
פה אם כך נשתמש בהצגה הטריגונומטרית,
הקוטבית, הפולארית, של מספרים מרוכבים כדי להבין
את המשמעות הגיאומטרית של מכפלה של שני מספרים מרוכבים.
אז בואו נפעל קודם כל עם שני מספרים מרוכבים שאורכם שווה ל-1.
ראינו לפני
מספר דקות שבמקרה זה נוכל להציג את z כמה?
אם הרדיוס שלו הוא 1, אז כל מה שאנחנו זקוקים זה מידה של זווית שמתאימה ל-z.
ניתן לה את השם t, אז נוכל להציג את z כקוסינוס
t ועוד i פעמים סינוס של t.
בצורה דומה אנחנו נוכל
להציג את w, הפעם שוב הרדיוס, ה-r הוא אחד,
באמצעות מידה אחרת אולי של זווית, נכנה אותה בשם s,
קוסינוס של s ועוד i פעמים סינוס של s.
אם כך, מה תהיה המכפלה של z ו-w?
יש לנו שני מספרים מרוכבים:
החלק הממשי ועוד החלק המדומה של הראשון ועוד החלק הממשי ועוד החלק המדומה של השני,
אז נפעל בהתאם לכלל המכפלה איך שאנחנו הצגנו את w.
אז איך נקבל את החלק הממשי?
החלק הממשי יהיה נתון על ידי מה?
הקוסינוס של t מוכפל בקוסינוס של s,
i פעמים סינוס t
מוכפל ב-i פעמים סינוס i .s כפול i זה מינוס 1.
אז מה שנקבל כאן זה מינוס סינוס של t כפול סינוס של s.
זה החלק הממשי.
ומהו החלק המדומה?
החלק המדומה יתקבל על ידי כך שנכפיל את i
פעמים סינוס t בקוסינוס s,
סינוס של t בקוסינוס של s, יחד עם מה?
נכפיל את i פעמים סינוס של s בקוסינוס t.
אם נוציא את i גורם משותף, אז יהיה לנו כאן
קוסינוס t כפול סינוס של s.
בואו נתרחק רגע.
אני אשב על ידכם.
בואו נראה אם אנחנו מזהים בשני הביטויים האלה מכרים ותיקים.
בוודאי אתם תוכלו לזהות את הביטוי הזה.
הרי זה בדיוק, ואמנם כך הוכחנו,
זה הקוסינוס של מה?
של הסכום של שתי המידות של הזוויות.
מהר מאוד ברור לנו שנצפה
שמה שיהיה בצד הזה זה יהיה בדיוק הסינוס של הסכום של שתי הזוויות.
ואמנם על אף העובדה שלא הוכחנו את זה מפורשות,
רמזנו שבמסגרת התרגילים אפשר יהיה
לקבל את הנוסחה של הסינוס של סכום של שני מספרים, זה הביטוי,
בהתבסס על ההוכחה שנתנו אודות לקוסינוס שמופיע כאן.
למעשה אנחנו הוכחנו מה היה הקוסינוס של ההפרש של שני מספרים,
אז היה מופיע כאן פלוס, אבל ניתן להסיק מאותה זהות מה
הנוסחה עבור הקוסינוס של t ועוד s.
אם כך, מה שיתברר היא העובדה הבאה.
נרשום את זה בכתיב שנוכל להתבונן עליו.
z פעמים w יהיה מה?
הקוסינוס של t ועוד s ועוד
i פעמים הסינוס של t ועוד s.
תופעה מעניינת.
אם נחשוב עליה, המשמעות הגיאומטרית
היא המשמעות הבאה.
אם נשרטט את מעגל
היחידה ונמקם
על המעגל את שתי הנקודות.
הנקודה שמתאימה ל-z היא
נקודה כך שמידת הזווית שלה
היא t יחידות, היא t יחידות אורך של קשת.
זו הנקודה שמתאימה ל-z.
אם נשרטט או נצייר את הנקודה שמתאימה ל-w,
הנקודה שמתאימה ל-w, נניח לצורך הדיון,
היא יושבת כאן, זה אומר שיש לנו כאן
מההתחלה עד הסוף s יחידות
של אורך על הקשת.
אז איפה יושב לו המספר שמייצג את המכפלה?
מה שהנוסחה הזו אומרת, שמה שאנחנו צריכים לעשות זה
לנוע כסכום של המידות של שתי הזוויות.
במילים אחרות, בצורה אנלוגית למה שעשינו על הזזות על הישר,
נוסיף, נזוז על מעגל היחידות, על מעגל היחידה,
נוסיף למרחק הזה שמקורו s יחידות גודל t,
או באופן סימטרי ל-t יחידות נוסיף גודל s.
במילים אחרות,
המידה של הזווית שמתאימה
לנקודה שמייצגת את המכפלה,
המידה היא תהיה הסכום של שתי המידות: s ועוד t.
אז הכפל של
מספרים מרוכבים בעלי אורך אחד מתורגם
לסכום של מידות של הזוויות שמשמשות כדי לייצג אותה.
נוסחה זו
נושאת את שמו של
המתמטיקאי דה מואבר.
בואו ננצל
את הנוסחה הזו כדי לפענח,
אפילו במקרה המאוד מיוחד ששני המספרים האלה הם בעלי אורך אחד,
מה המשמעות של המנה של שני מספרים מרוכבים?
שימו לב, שבהקשר המיוחד שאנחנו דנים בו שני
המספרים האלה הם בעלי אורך אחד, בפרט w שונה מ-0, לכן יש משמעות,
יש טעם להגיד מה המנה של z ו-w.
אז כמובן אני מניח שהצופה לא
יתקשה להראות שבמקרה זה מה שאנחנו
נקבל זה להבדיל מסכום של מידה של
זוויות, מה שנקבל, ההפרש,
ובפרט מה
קורה אם היינו לוקחים את ההופכי הכפלי של w.
במילים אחרות, המקרה המאוד מיוחד ש-z עצמו
היה שווה ל-1, אם z שווה ל-1,
אז מידה שמתאימה לו היא t שווה ל-0.
אז אם נכתוב כאן t שווה ל-0,
נוכל לקבל קוסינוס של 0 מינוס s,
לפי הזוגיות של הפונקציה קוסינוס זה יהיה
גם כן קוסינוס של s, ועוד i פעמים סינוס של 0 מינוס s.
אבל סינוס של 0 מינוס s, לפי האי זוגיות של פונקציית הסינוס,
זה מינוס סינוס של s.
אז נוכל לקבל מינוס i פעמים
סינוס של s.
השומע המלווה
אותנו ישים לב שהשארתי מקום לאות ביטוי שמופיע כאן.
בואו נחשוב על קוסינוס של s מינוס i סינוס של s.
הקשר עם קוסינוס של s ועוד i סינוס של s.
מה הקשר בין שני המספרים האלה?
אותו ערך ממשי,
אבל נבדלים בסימן של הערך המדומה.
אז למעשה המספר הזה איננו אלא מה?
הצמוד של המספר w.
אז הנה לפניכם המחשה ישירה של ההצגה של
הצמוד של מספר מרוכב במקרה המאוד מיוחד
שמדובר על מספר שהוא בעל אורך אחד.
ועכשיו נציג
את הנוסחה במקרה הכללי.
נניח שיש לנו z2, z1, שני מספרים מרוכבים.
נציג את z1 כ-r1 כפול
קוסינוס של תטא 1 ועוד סינוס של תטא 1.
נציג את z2 כ-r2 כפול קוסינוס של תטא 2,
ועוד, שכחתי כאן את ה-i ,i פעמים סינוס של תטא 2.
אז z1 כפול z2 יהיה
פשוט בהתאם למכפלה של מספרים מרוכבים
המכפלה של שני rd
כפול מינוס 1 דה מואבר,
הקוסינוס של הסכום של מידת
הזוויות ועוד i פעמים
הסינוס של אותו סכום.
