מה שאנחנו יכולים לעשות זה נחבר את
הראשית עם הנקודה,
והקטע שמחבר ביניהן יחתוך את מעגל
היחידה בנקודה אחת ויחידה.
בצורה זו נוכל ליחס לנקודה P את שני הנתונים הבאים.
מצד אחד ניקח את המרחק בין P לבין הראשית.
זה יהיה מספר, נכנה אותו בשם R,
גודל הרדיאלי, והוא מספר
שתמיד יהיה גדול מ-0 תחת הנחה ש-P היא אומנם נקודה שונה מ-0.
ולמה R?
כי אומנם הגודל הזה משותף למה?
לכל הנקודות שמרחקן מהראשית הוא אותו R,
קרי, מעגל שמרכזו בראשית עם רדיוס R.
כמובן שהמספר הזה, הנתון הזה,
הוא לא מספיק כדי לאפיין באופן מלא את הנקודה הזו.
אנחנו זקוקים לעוד נתון.
והציור הזה מזמין בצורה
דומה לאיך שפעלנו כשהצגנו את הפונקציות הטריגונומטריות לייחס
לנקודה הזו עוד נתון: מהו גודל הקשת,
מה המידה של הזווית של הנקודה
שהיא מתאימה לחיתוך בין הקטע
שמחבר בין הראשית לבין P למעגל היחידה?
במילים אחרות,
במקום לדבר על שתי הקואורדינטות הקרטזיות של P,
הקואורדינטת ה-X והקואורדינטת ה-Y, אנחנו מלבישים מערכת
קואורדינטות אחרת הגודל הרדיאלי והזווית.
בואו נפעיל את המנגנון הזה
למספר או לנקודה שמייצגת מספר מרוכב עכשיו.
אם המספר
המרוכב מלכתחילה נתון באמצעות
החלק הממשי והחלק המדומה שלו כנקודה
במישור הקרטזי מיוצגת על יד הנקודה עם קואורדינטות קרטזיות A ו-B.
איך אני יכול ליחס ל-Z את שני הגדלים?
אז קודם כל, מהו הגודל של R?
ואמנם בסיפור הזה כבר ראינו עוד בפרק הראשון, למשל על משפט פיתגורס.
אם נתבונן במשולש: הראשית,
נקודת ההטלה על ציר הממשי,
הנקודה עצמה, המשולש הזה, המרחק R אינו אלא מי?
האורך של האלכסון או האורך של היתר.
אבל אנחנו זוכרים בדיוק מי זה R .R זה מה?
הריבוע שלו זה הגודל של A בריבוע ועוד הגודל של B בריבוע.
במילים אחרות ה-R איננו אלא מה?
השורש הריבועי של A בריבוע ועוד B בריבוע.
זה בדיוק מה שאנחנו מכנים
הגודל או הערך המוחלט של המספר Z.
אז אם מלכתחילה המספר נתון באמצעות A ועוד Bi,
אז הגודל R יהיה נתון על ידי הערך המוחלט של המספר,
קרי שוב השורש הריבועי של A בריבוע ועוד B בריבוע.
למשל, אם ניקח את הדוגמה z שווה
ל- 1 ועוד i,
אז מה יהיה הגודל שלו?
שורש של 1 בריבוע ועוד 1 בריבוע, במילים אחרות,
שורש ריבועי של 2.
אם z
שווה ל-1 מינוס שורש של 3 פעמים i,
אולי ניתן שם אחר עם w,
אז מהו ה-r שמתאים ל-w?
זה יהיה כמובן השורש הריבועי של 1 בריבוע
ועוד מינוס שורש של 3 בריבוע,
קרי, 1 בריבוע ועוד 3 בריבוע.
השורש של 3 בריבוע זה 3, 3 ועוד 1 זה 4,
שורש ריבועי של 4 זה כמובן 2.
ואיך נייחס למספר
מרוכב מידה של זווית תטא?
נהוג להשתמש בהקשר הזה באות היוונית תטא,
ומדברים בשפה של ארגומנט,
זווית או מידה של זווית שמתאימה למספר המרוכב z.
איך נוכל לייחס למספר המרוכב את הנתון השני?
מספר שנהוג לכנות אותו תטא אשר תמדוד את
המידה של הזווית בין הציר הממשי לבין
הקטע שמחבר בין הראשית לבין הנקודה עצמה.
בואו נסתכל במקרה מאוד מיוחד מה קורה אם
מלכתחילה היינו עוסקים במספרים שאורכם שווה ל-1.
במקרה זה אנחנו עוסקים במה?
אם נחשוב
על הנקודה שמייצגת
את המספר המרוכב w על המישור של ארגנד,
מדובר על נקודה כך שהאורך שלה הוא 1,
אז הוא על מעגל היחידה.
אם נפעל כפי
שפעלנו כשייצגנו את הפונקציות הטריגונומטריות,
נתבונן על הנקודה שמייצגת את w,
יש לה שתי קואורדינטות.
באמצעות הפונקציות
הטריגונומטריות נוכל לבחור מספר תטא
אחד ויחיד שנמצא בין 0 לבין 2 פאי,
כך שהמידה של הזוית תהיה
בדיוק הגודל של הקשת
שאנחנו זקוקים כדי להגיע מהנקודה
ששימשה אותנו כדי להתחיל את הטיולים על מעגל היחידה עד הנקודה שמתאימה לתטא, ל-w.
בצורה כזו, כפי שראינו או כפי שהגדרנו למעשה באמצעות הפונקציות הטריגונומטריות,
הנקודה הזו היא בעלת קואורדינטות קרטזיות, קוסינוס של תטא,
סינוס של תטא.
אבל אם נייחס לשתי הקואורדינטות
האלה תפקיד של חלק ממשי וחלק
מדומה בהתאם של מספר מרוכב,
מתברר שאת המספר הזה w,
אמנם מצד אחד אנחנו מציגים אותו באמצעות הנקודה עם קואורדינטות:
קואורדינטה ראשונה קוסינוס תטא, וקואורדינטה שניה סינוס תטא,
אבל בכתיב מלא
הקוסינוס תטא בתפקיד של ה-a, החלק הממשי,
ועוד i פעמים החלק המדומה,
סינוס של תטא.
במקרה זה יותר נוח למקם את ה-i מצד
שמאל של הכינוי של החלק המדומה.
בצורה זו כל מספר מרוכב שגודלו הוא 1, שהערך המוחלט שלו הוא 1,
יש לו את הצורה המאוד מיוחדת w שווה
לקוסינוס של תטא ועוד i סינוס של תטא,
כאשר תטא מלכתחילה נבחר כערך בין 0 ל-2 פאי,
כולל אולי את 0, לא כולל את 2 פאי.
האמת היא שכמובן, כפי שלמדנו בהקשר של
פונקציות טריגונומטריות, היה ובמקום שנייחס רק,
או נכפה על עצמנו בחירה רק בין 0 ל-2 פאי,
היה ונוסיף ותטא כפולה שלמה של 2 פאי,
נקבל מידה אחרת של קשת כך שהקוסינוס והסינוס יישארו אותו הדבר.
אז בהקשר זה כל ביטוי מהצורה
קוסינוס של t ועוד i סינוס של t גם יכול
לשמש אותנו כדי לייצג את המספר המרוכב w,
בתנאי שכמובן הקשר בין t לבין הזווית תטא, הוא כפי שהזכרנו.
t מתקבל מתטא בהוספה
או החסרה של כפולה שלמה של 2 פאי.
