הפונקציה שהגדרנו כרגע מתבוננת בפיתוח הזה שאפשר להוציא אותו מתוך
מחשבון, ומתאימה לכל מספר טבעי n, את הספרה D של n.
הספרה הראשונה אחרי הנקודה היא 1 הספרה השנייה אחרי הנקודה היא 4,
השלישית היא שוב 1 הרביעית היא 5, השישית היא 9 וכן הלאה.
תחום ההגדרה של הפונקציה הזאת הוא קבוצת המספרים הטבעיים הטווח שלה-
קבוצת הספרות בין 0 ל-9.
האם הפונקציה הזאת מגלה חוקיות?
ובכן, מצד אחד, יש פה חוקיות.
היא נתונה על ידי כלל מאוד ברור-
המספר פאי הוא מספר ידוע, ואם אני אתאר
לכם את הפונקציה, אני תיארתי לכם את החוקיות שבה.
מצד שני יש מידה רבה של
אקראיות בהופעה של ספרות עשרוניות בפיתוח
של פאי ועד היום לא נמצאה שום נוסחה שתתאר את
הפונקציה הזאת וסביר להניח גם שהיא לא תימצא.
כלומר מבחינה פילוסופית, חוקיות ונוסחה אינם בדיוק היינו הך.
הדוגמה האחרונה שנדון בה היום היא דוגמה מתחום תורת המספרים ואני קצת ארחיב
עליה את הדיבור, היא מאוד מעניינת ומגלה סוג חדש של חוקיות שאולי עוד לא הכרתם עד היום.
הפונקציה שאני הולך לדבר עליה
קרויה פאי של X ואני כבר מזהיר שאין בינה ובין
המספר פאי שדיברנו עליו קודם שום דבר, ואף על פי כן הסימון
המסורתי עבורה הוא פאי של X, ואני לא אשנה אותו,
והיא נותנת את מספר המספרים
הראשוניים P
בין 0 ו-X.
בואו ננסה להבין מה היא אומרת.
מספר ראשוני כידוע לכם הוא מספר טבעי
שאינו מתחלק בשום מספר פרט לו ול-1.
אם נכתוב את סדרת המספרים
הראשוניים, הראשון הוא 2, אחריו 3 5, 7, מספרים
זוגיים גדולים מ-2 כמובן אינם ראשוניים גם 9 אינו
ראשוני כי הוא מתחלק ב-3 11, 13,
המספר הבא הוא 17 19,
23, וכן הלאה.
ועכשיו תארו לכם, נקודה נעה על ציר
המספרים, על X והיא אוספת את המספרים הראשוניים בזה אחר זה.
כל פעם שה-X עובר מספר ראשוני, המונה שלנו, הקאונטר
מסמן מספר נוסף והפונקציה הזאת גדלה ב-1.
למשל פאי של 10 יהיה
4, מפני שעד 10 יש לנו 4 מספרים ראשוניים.
כמובן שגם פאי של 10.5 יהיה 4 הפונקציה
הזאת יכולה להשתנות רק כאשר X הוא מספר שלם, ראשוני, ואז היא עולה ב-1.
פאי של 11 כבר יהיה 5, וכן הלאה.
הפונקציה פאי של X מעניינת מאוד את אנשי
תורת המספרים מפני שהיא מלמדת אותנו על החוקיות,
או אי-החוקיות אם תרצו בהופעתם של מספרים
ראשוניים ואני אראה לכם את הגרף שלה.
כך נראה הגרף שלה בקטע X בין 0 ו-100, ובואו ננסה לעמוד על כמה תכונות שלו.
קודם כל, הגרף הזה הוא גרף מדרגות.
פאי של X אינה משתנה בין מספר טבעי n ו-n+1.
מפני שהיא רק יכולה לגדול כאשר היא פוגשת מספר ראשוני והוא חייב להיות טבעי.
מה אומר לנו רוחב המדרגות?
רוחב המדרגות אומר לנו כמה מספרים טבעיים
באיזור הנתון אנחנו יכולים לעבור בלי לפגוש אף מספר ראשוני.
שימו לב שהמדרגה הראשונה היא מאוד צרה, ברוחב 1, בין 2 ו-3.
אבל אחר כך כל המדרגות הן לפחות ברוחב 2, מפני
שמספרים זוגיים פרט ל-2 אינם ראשוניים
ויש מדרגות די רחבות, למשל
בין 31 ו-37 אין אף מספר ראשוני
אם אנחנו מסתכלים על הקטע
הזה, 31, 32, 33 34, 35,
36, 37 אז כל המספרים הללו אינם ראשוניים.
31 ו-37 הם ראשוניים ועל כן תהיה לנו בגרף של הפונקציה מדרגה
ברוחב 6, הפונקציה תגיע כאן לאיזשהו מספר מונה מסוים תעלה פה
ב-1 תמשיך עד 37, ובפעם הבאה שהיא תעלה ב-1 זה יהיה כאן.
לכל אורך הקטע הזה ברוחב 6 היא שטוחה.
ועכשיו נשאלת השאלה האם יש מדרגות רחבות כרצוננו והאם יש מדרגות צרות כרצוננו.
מדרגות רחבות כרצוננו לא קשה להראות, לא ניכנס לזה כאן אבל
זה תרגיל נחמד בתורת המספרים, לא קשה להראות שיש מדרגות רחבות כרצוננו.
כלומר אנחנו יכולים למצוא רצפים ארוכים
כרצוננו של מספרים טבעיים, שאף אחד מהם איננו ראשוני.
מדרגות צרות כרצוננו, כפי שראינו המדרגה הצרה
ביותר שיכולה להתקבל, חוץ מהמדרגה בין 2 ו-3 היא ברוחב 2,
והשאלה היא אם יש אין סוף מדרגות ברוחב 2 בגרף
היא בעיה פתוחה, מאוד ידועה, הבעיה של קיום תאומים ראשוניים.
תאומים ראשונים אלה הם שני מספרים ראשוניים שההפרש ביניהם הוא 2 כמו 5
ו 7, 11 ו 13, 41 ו 43, וכן הלאה.
והשאלה האם הופעות כאלו, של תאומים ראשוניים, חוזרות
על עצמן עד בלי די, היא השאלה פתוחה ידועה.
כל הסיפורים האלה אני מספר, כדי לשכנע
אתכם שמעבר לעובדה שהגרף של פאי של אקס
עולה, זה ברור, זו סך הכל פונקציה שמונה את מספר המספרים
הראשונים עד אקס אז ככל שאקס גדל, יופיעו יותר ויותר מספרים ראשוניים.
ומעבר לעובדה שכשהוא עולה הוא עולה בגובה אחד, כל
פעם נוסף מספר אחד, הגרף הזה הוא די אקראי.
המדרגות הן תזזיתיות, לפעמים הן קצרות, לפעמים הן ארוכות, רחבות ואין
נוסחה סגורה שמבטאת את הפונקציה הזאת לכל אקס.
הגרף הזה יכול לבטא בעיני המתבונן את
האקראיות, את חוסר החוקיות, בהופעת המספרים הראשוניים.
והנה, מתברר, שאם אנחנו מסתכלים על אותה פונקציה,
אבל לא בתחום בין 0 ל 100 אלא בתחום מ 0 למיליון למשל.
מתקבל גרף שהוא כבר הרבה יותר רגולארי, הרבה
יותר חלק, ומתחיל להצביע על מידה מסוימת של חוקיות.
עדיין הגרף הוא בסקאלה קטנה, בעיני המתבונן תחת מיקרוסקופ,
תזזיתי, לא לגמרי חלק, אבל הוא כבר מראה איזו שהיא
מגמה די ברורה, שנלמדה הרבה מאוד על ידי אנשי תורת המספרים.
כן, בקטע הזה, לא עשיתי את זה עד מיליון, עשיתי את זה עד אלף.
אם הייתי עושה את זה עד מיליון, התמונה הייתה נראית אפילו עוד יותר יפה.
כדי להסביר את החוקיות הזאת אני צריך להסביר את
מושג האסימפטוטיות.
באין סוף.
בהרבה מצבים נתונות שתי פונקציות.
האחת ידועה והשנייה שאנחנו רוצים ללמוד אותה.
שתיהן גדלות, עד בלי די, כאשר אקס גדל,
אבל היחס ביניהן שואף לגבול ידוע, במובן הזה שהוא
הולך ומתקרב לגבול ידוע.
ונאמר שאף אקס, פונקציה אחת, וג'י
אקס, אסימפטוטיות
זו לזו כאשר אקס
שואף לאין סוף,
אם
היחס ביניהן
שואף ל 1.
כשהשתמשתי במילה שואף,
פעמיים לגבי אקס ולגבי היחס בין שתי הפונקציות,
באמירה כאשר אקס שואף לאין סוף
אני מתכוון כאשר אקס הולך וגדל עד בלי די.
ולומר שהיחס שואף ל 1, פירושו,
שעבור אקס גדל והולך, היחס הזה הולך ומתקרב ל 1.
כלומר אם הייתם רוצים לתחום את היחס הזה בין 0.9 ו
1.01, הייתם יכולים למצוא אקס, כך שהחל ממנו
ואילך, לא משנה מהן שתי הפונקציות, היחס ביניהן הוא
בין 0.9 ו 1, כלומר, ו 1.1, כלומר, בקירוב 1.
אם הייתם רוצים לדייק יותר ולתחום את היחס הזה בין
0.99 ו 1.01 הייתם אולי צריכים להרחיק לכת
עוד יותר, אבל הייתם מוצאים אקס יותר גדול שהכל ממנו והלאה,
שוב, היחס הזה היה בין 0.99 ל 1.01.
יש פה מעין משחק בין טוען ומאתגר.
אני טוען שהיחס הזה שואף ל 1,
מישהו מן הקהל בא ומאתגר אותי, תראה לי שהוא יימצא
מתי שהוא בין 0.9 ל 1.1י ואני מוצא לו את
הנקודה שהחל ממנה והלאה היחס הזה קרוב כדי עשירית ל 1.
ואז אותו מאתגר אומר לי, בסדר, זה לא מספק אותי, תעשה את
זה בדיוק של מאית ולא בדיוק של עשירית ואני מוצא לו נקודה יותר רחוקה
שהחל ממנה היחס הזה קרוב ל 1 כדי מאית, וכן הלאה.
אנחנו נכתוב את ההגדרה המדויקת הזו שתיארתי לכם במילים בשיעור הבא
או בעוד שני שיעורים, גם בניסוח מתמטי מדויק.
כרגע מטרתי אינה לתת לה ניסוח מתמטי מדויק, אלא להסביר לכם, או
להאיר את תשומת לבכם לעובדה, שהפונקציה פאי של אקס שדנו בה,
היא אסימפטוטית לפונקציה שנתונה על ידי נוסחה מאוד מאוד פשוטה.
העובדה הזאת התגלתה בסוף המאה ה 19, על ידי
שני מתמטיקאים, אדמר ודה-לה ולקוסן, ונקראת
משפט המספרים הראשוניים.