שלום! בשיעורים הקודמים עסקנו במושג הפונקציה מנקודת מבטו של המתמטיקאי. בין היתר נתנו הגדרה האומרת שפונקציה מקבוצה A התחום, מקבוצה B הטווח הוא אוסף של זוגות סדורים B, A המקיימים תכונות מסוימות. לא נחזור על זה. ההגדרה הזו מזכירה לי את הבדיחה על אותו אדם שטס בכדור פורח, הלך לאיבוד התבונן למטה וראה הלך ושאל אותו איפה אני? ההלך אמר לו: אתה נמצא בכדור פורח בגובה 300 רגל. הוא הסתכל למטה ושאל אתה מתמטיקאי? ההלך אמר לו: כן איך ידעת? אמר לו: כי נתת לי תשובה מדויקת וחסרת כל ערך. מנקודת מבטו של המשתמש, של איש מדעי הטבע או ההנדסה ההגדרה המתמטית הזו היא לא הדבר שאליו הוא שואף. בדרך כלל אנשים רוצים לתאר פונקציה על ידי נוסחה. נוסחה עוזרת לנו לתאר פונקציה בצורה תמציתית ומדויקת מכיוון שאנחנו יכולים להציב בנוסחה ולחשב כל ערך שלה. לעומת טבלה המחייבת אותנו לעשות אינטרפולציה, לחשב באיזשהי דרך קירובים לפונקציה בין שתי נקודות הנתונות בטבלה. או בניגוד, לגרף התלוי בדיוק השרטוט, בחוד של העפרון. אבל לנוסחה יש ערך יותר גדול, יש לה גם ערך תיאורטי. אם למשל אנחנו נכתוב שכוח הכובד נתון על ידי קבוע כפול מסת שני הגופים מחולק במרחק בריבוע כוח הכובד בין שני גופים נתון על ידי נוסחה כזאת אזי הנוסחה הזו לא רק מאפשרת לנו לחשב את כוח הכובד בין שני גופים, אלא מלמדת אותנו שתלות הכוח במרחק הוא לפי אחד חלקי R בריבוע, כלומר אם נגדיל את המרחק פי שניים, הכוח יקטן פי ארבע. אם נגדיל את המרחק פי 10 הכוח יקטן פי 100. וזו תובנה בעלת ערך תיאורטי. אבל האם כל פונקציה חייבת להיות מתוארת על ידי נוסחה? בהחלט לא. התובנה שפונקציה יכולה להיות מתוארת על ידי איזשהו גרף שנכתב בהינף יד, בהינף קולמוס לא באה בקלות למתמטיקאים. ידוע לנו על פולמוס שהיה קיים לפני כ-200, 300 שנה בין מתמטיקאים גדולים: ד'אלמבר מצד אחד, ואוילר מצד שני על מושג הפונקציה. הפולמוס התעורר בעקבות ניסיון לתאר מבחינה מתמטית מיתר רועד. כמו מיתר של כינור שרועד כאשר מעבירים עליו את הקשת. והשאלה היתה איך מתארים מבחינה מתמטית את מצבו של המיתר ברגע ההתחלתי? ד'אלמבר נקט בגישה המסורתית אפשר לומר וטען שתיאור כזה צריך להינתן על ידי נוסחה, מה שאנחנו היינו אומרים, או ביטוי אנליטי. ואילו אוילר אמר שאפשר לתאר את המיתר בקטע אחד על ידי ביטוי אחד, בקטע אחר על ידי ביטוי אחר ואולי בכלל לא על ידי ביטוי ואז הוא הכניס את המושג: תיאור שמתואר בהינף יד, בהינף קולמוס. כאמור גישתו של אוילר היא הגישה שהתקבלה בסופו של דבר. אני מביא את הסיפור הזה רק כדי להצביע על העובדה שההשתחררות מהתלות בנוסחה לא היתה מובנת מאליה במהלך ההיסטוריה. העניין שיש לפיזיקאים, כימאים, ביולוגים, חוקרי אקלים בנוסחאות איננו מקרי. נוסחה נתפסת כמתארת חוקיות. וסך הכל מטרתו של איש מדעי הטבע הינה להתחקות אחר חוקיות. לבצע מדידות לאגור את הנתונים ולשמור אותם באיזשהי צורה ואחר כך לנסות להסיק מן הנתונים הללו על תופעות טבע. ונוסחה הינה הדרך התמציתית ביותר לתאר חוקיות שכזו. בואו נראה דוגמה קלאסית לתהליך של מידול מתמטי. תהליך שבו אוספים נתונים, משרטטים גרף המתאר תלות בין הנתונים השונים ואחר כך מנסים לתאר את אותו גרף בעזרת נוסחה. הדוגמה שאנחנו ניתן למידול מתמטי קשורה בפיזיקאי בשם גי לוסק שחי ופעל בתקופת המהפכה הצרפתית ב-1802, הוא עשה את הניסויים שאני הולך לספר לכם עליהם. נקרא לו האזרח גי לוסק, בתקופה ההיא כל אדם היה אזרח. ומה שגי לוסק עשה הוא מדד לחץ של גז כתלות בטמפרטורה בנפח נתון. את הלחץ הוא סימן באות P בשביל Pressure (״לחץ״ באנגלית) את הטמפרטורה באות T והנפח עבורנו יהיה בשלב ראשון קבוע. מעשית הוא הכניס גז לתוך כלי עם בוכנה, נעל את הבוכנה חימם ומדד את הלחץ. והנה התלות שהוא מצא ניתנת לתיאור על ידי הגרף שבמצגת שלפניכם. תתבוננו בגרף הכחול, תתעלמו בשלב ראשון משני הגרפים האחרים. ציר ה-Y הוא ציר הלחץ, המשתנה התלוי. ציר ה-X המשתנה הבלתי תלוי הוא הטמפרטורה. והנקודות שהתקבלו במדידה הן הנקודות הכחולות. למשל בטמפרטורה של 100 מעלות נמדד לחץ של 1.25 אטמוספירות. בטמפרטורה של 200 מעלות לחץ של 1.55 אטמוספירות. בטמפרטורת החדר, 27, לחץ של 1.04 אטמוספירה. הנקודות שהתקבלו מצטרפות לקו ישר. אנחנו אומרים שקיימת תלות לינארית של הלחץ בטמפרטורה וזו היתה התגלית הראשונה של גי לוסק. אם אנחנו מעלים את הטמפרטורה במעלה אחת הלחץ גדל בשיעור נתון וזה לא משנה מה הטמפרטורה ההתחלתית. אם אנחנו עושים את זה באפס מעלות או ב-100 מעלות או ב-200 מעלות. תופסת הלחץ לעליה של מעלה אחת בטמפרטורה היא קבועה. תגלית מעניינת שגי לוסק גילה באותו הקשר תגלית פיזיקלית. היא שכהוא החליף את הגז בגז אחר הוא קיבל פחות או יותר את אותו קו כחול אם הוא עבד באותו נפח. זה לימד אותו שהחוק שמבטא את תלות הלחץ בטמפרטורה בנפח נתון הינו חוק פיזיקלי שתלוי במבנה הכי בסיסי של החומר ולא בהרכבו הכימי. הגרף שהוא קיבל חתך את ציר ה-T בטמפרטורה של מינוס 273 מעלות. הוא כמובן לא היה יכול באמצעים שעמדו לרשותו להגיע לטמפרטורות כל כך נמוכות אבל הוא הסיק מזה שאילו תיאורטית הוא היה מסוגל לצנן את הגז עד הטמפרטורה הזאת, הלחץ היה יורד לאפס. אחר כך הוא חזר על אותו ניסוי עם אותו גז בנפח אחר. כלומר הוא שחרר את הבורג, דחס את הגז, הקטין את הנפח נעל מחדש את הבורג ושוב חימם. והפעם הוא קיבל סדרת מדידות אשר הצטרפו לישר האדום. שוב תלות לינארית. לא שירטטתי כאן את המדידות עצמן. מובן שבטמפרטורה נתונה אם אנחנו דוחסים את הגז, כלומר מקטינים את הנפח אז הלחץ עולה, זה כל אחד יודע. אבל מה שמעניין הוא ששוב אחרי שקיבענו את הנפח קיבלנו תלות לינארית של הלחץ והטמפרטורה ומה שעוד יותר מעניין, שהתלות הליניארית הזאת הובילה לאותה טמפרטורה של מינוס 273 מעלות שבה אמור הלחץ להיות אפס. ואחר כך הוא חזר שוב על הניסוי בנפח שונה וקיבל את הגרף הירוק, ושוב קיבל תלות ליניארית שמובילה אותנו ללחץ אפס במינוס 273 מעלות צלזיוס. התגליות הללו של גי לוסק היו כאמור דוגמה קלסית למידול מתמטי. הוא ביצע ניסויים, הוא שרטט גרף שמתאר את תלות הגדלים זה בזה, ובמקרה שלו הוא היה יכול לקרב בצורה טובה מאוד את הגרף על ידי פונקציה קווית, פונקציה ליניארית והגיע למסקנות חשובות. הטמפרטורה הזאת של מינוס 273 מעלות ידועה היום כאפס המוחלט. יש הסבר פיזיקלי לתופעה הזאת שניתן על ידי בולצמן כמה עשרות שנים יותר מאוחר, בסוף המאה ה-19. בולצמן השתמש במודל האטומי של החומר על מנת להסביר את תצפיותיו של גי לוסק. אבל חשוב לציין שהתקדמות הפיזיקה התחילה מסדרת מדידות ומביצוע ניסיונות ומידול מתמטי. ראינו אם כך בשתי דוגמאות, דוגמה אחת ששלפתי מן השרוול, אותו חוק מפורסם המבטא את כוח הכובד כתלות במרחק בין הגופים ודוגמה שנייה שהיא תוצאה של ניסוי של גי לוסק שחוקיות מבוטאת על ידי נוסחה. אבל האם באמת חוקיות ונוסחה הם היינו הך? בואו נחשוב על הפונקציה D של n נותנת את הספרה ה-n אחרי הנקודה בפיתוח בפיתוח העשרוני של פאי. כולכם יודעים שפאי שווה בקירוב ל-3.4 ואם אתם מתעקשים, אפשר להמשיך את הפיתוח הפונקציה שהגדרנו כרגע מתבוננת בפיתוח הזה שאפשר להוציא אותו מתוך מחשבון, ומתאימה לכל מספר טבעי n, את הספרה D של n. הספרה הראשונה אחרי הנקודה היא 1 הספרה השנייה אחרי הנקודה היא 4, השלישית היא שוב 1 הרביעית היא 5, השישית היא 9 וכן הלאה. תחום ההגדרה של הפונקציה הזאת הוא קבוצת המספרים הטבעיים הטווח שלה- קבוצת הספרות בין 0 ל-9. האם הפונקציה הזאת מגלה חוקיות? ובכן, מצד אחד, יש פה חוקיות. היא נתונה על ידי כלל מאוד ברור- המספר פאי הוא מספר ידוע, ואם אני אתאר לכם את הפונקציה, אני תיארתי לכם את החוקיות שבה. מצד שני יש מידה רבה של אקראיות בהופעה של ספרות עשרוניות בפיתוח של פאי ועד היום לא נמצאה שום נוסחה שתתאר את הפונקציה הזאת וסביר להניח גם שהיא לא תימצא. כלומר מבחינה פילוסופית, חוקיות ונוסחה אינם בדיוק היינו הך. הדוגמה האחרונה שנדון בה היום היא דוגמה מתחום תורת המספרים ואני קצת ארחיב עליה את הדיבור, היא מאוד מעניינת ומגלה סוג חדש של חוקיות שאולי עוד לא הכרתם עד היום. הפונקציה שאני הולך לדבר עליה קרויה פאי של X ואני כבר מזהיר שאין בינה ובין המספר פאי שדיברנו עליו קודם שום דבר, ואף על פי כן הסימון המסורתי עבורה הוא פאי של X, ואני לא אשנה אותו, והיא נותנת את מספר המספרים הראשוניים P בין 0 ו-X. בואו ננסה להבין מה היא אומרת. מספר ראשוני כידוע לכם הוא מספר טבעי שאינו מתחלק בשום מספר פרט לו ול-1. אם נכתוב את סדרת המספרים הראשוניים, הראשון הוא 2, אחריו 3 5, 7, מספרים זוגיים גדולים מ-2 כמובן אינם ראשוניים גם 9 אינו ראשוני כי הוא מתחלק ב-3 11, 13, המספר הבא הוא 17 19, 23, וכן הלאה. ועכשיו תארו לכם, נקודה נעה על ציר המספרים, על X והיא אוספת את המספרים הראשוניים בזה אחר זה. כל פעם שה-X עובר מספר ראשוני, המונה שלנו, הקאונטר מסמן מספר נוסף והפונקציה הזאת גדלה ב-1. למשל פאי של 10 יהיה 4, מפני שעד 10 יש לנו 4 מספרים ראשוניים. כמובן שגם פאי של 10.5 יהיה 4 הפונקציה הזאת יכולה להשתנות רק כאשר X הוא מספר שלם, ראשוני, ואז היא עולה ב-1. פאי של 11 כבר יהיה 5, וכן הלאה. הפונקציה פאי של X מעניינת מאוד את אנשי תורת המספרים מפני שהיא מלמדת אותנו על החוקיות, או אי-החוקיות אם תרצו בהופעתם של מספרים ראשוניים ואני אראה לכם את הגרף שלה. כך נראה הגרף שלה בקטע X בין 0 ו-100, ובואו ננסה לעמוד על כמה תכונות שלו. קודם כל, הגרף הזה הוא גרף מדרגות. פאי של X אינה משתנה בין מספר טבעי n ו-n+1. מפני שהיא רק יכולה לגדול כאשר היא פוגשת מספר ראשוני והוא חייב להיות טבעי. מה אומר לנו רוחב המדרגות? רוחב המדרגות אומר לנו כמה מספרים טבעיים באיזור הנתון אנחנו יכולים לעבור בלי לפגוש אף מספר ראשוני. שימו לב שהמדרגה הראשונה היא מאוד צרה, ברוחב 1, בין 2 ו-3. אבל אחר כך כל המדרגות הן לפחות ברוחב 2, מפני שמספרים זוגיים פרט ל-2 אינם ראשוניים ויש מדרגות די רחבות, למשל בין 31 ו-37 אין אף מספר ראשוני אם אנחנו מסתכלים על הקטע הזה, 31, 32, 33 34, 35, 36, 37 אז כל המספרים הללו אינם ראשוניים. 31 ו-37 הם ראשוניים ועל כן תהיה לנו בגרף של הפונקציה מדרגה ברוחב 6, הפונקציה תגיע כאן לאיזשהו מספר מונה מסוים תעלה פה ב-1 תמשיך עד 37, ובפעם הבאה שהיא תעלה ב-1 זה יהיה כאן. לכל אורך הקטע הזה ברוחב 6 היא שטוחה. ועכשיו נשאלת השאלה האם יש מדרגות רחבות כרצוננו והאם יש מדרגות צרות כרצוננו. מדרגות רחבות כרצוננו לא קשה להראות, לא ניכנס לזה כאן אבל זה תרגיל נחמד בתורת המספרים, לא קשה להראות שיש מדרגות רחבות כרצוננו. כלומר אנחנו יכולים למצוא רצפים ארוכים כרצוננו של מספרים טבעיים, שאף אחד מהם איננו ראשוני. מדרגות צרות כרצוננו, כפי שראינו המדרגה הצרה ביותר שיכולה להתקבל, חוץ מהמדרגה בין 2 ו-3 היא ברוחב 2, והשאלה היא אם יש אין סוף מדרגות ברוחב 2 בגרף היא בעיה פתוחה, מאוד ידועה, הבעיה של קיום תאומים ראשוניים. תאומים ראשונים אלה הם שני מספרים ראשוניים שההפרש ביניהם הוא 2 כמו 5 ו 7, 11 ו 13, 41 ו 43, וכן הלאה. והשאלה האם הופעות כאלו, של תאומים ראשוניים, חוזרות על עצמן עד בלי די, היא השאלה פתוחה ידועה. כל הסיפורים האלה אני מספר, כדי לשכנע אתכם שמעבר לעובדה שהגרף של פאי של אקס עולה, זה ברור, זו סך הכל פונקציה שמונה את מספר המספרים הראשונים עד אקס אז ככל שאקס גדל, יופיעו יותר ויותר מספרים ראשוניים. ומעבר לעובדה שכשהוא עולה הוא עולה בגובה אחד, כל פעם נוסף מספר אחד, הגרף הזה הוא די אקראי. המדרגות הן תזזיתיות, לפעמים הן קצרות, לפעמים הן ארוכות, רחבות ואין נוסחה סגורה שמבטאת את הפונקציה הזאת לכל אקס. הגרף הזה יכול לבטא בעיני המתבונן את האקראיות, את חוסר החוקיות, בהופעת המספרים הראשוניים. והנה, מתברר, שאם אנחנו מסתכלים על אותה פונקציה, אבל לא בתחום בין 0 ל 100 אלא בתחום מ 0 למיליון למשל. מתקבל גרף שהוא כבר הרבה יותר רגולארי, הרבה יותר חלק, ומתחיל להצביע על מידה מסוימת של חוקיות. עדיין הגרף הוא בסקאלה קטנה, בעיני המתבונן תחת מיקרוסקופ, תזזיתי, לא לגמרי חלק, אבל הוא כבר מראה איזו שהיא מגמה די ברורה, שנלמדה הרבה מאוד על ידי אנשי תורת המספרים. כן, בקטע הזה, לא עשיתי את זה עד מיליון, עשיתי את זה עד אלף. אם הייתי עושה את זה עד מיליון, התמונה הייתה נראית אפילו עוד יותר יפה. כדי להסביר את החוקיות הזאת אני צריך להסביר את מושג האסימפטוטיות. באין סוף. בהרבה מצבים נתונות שתי פונקציות. האחת ידועה והשנייה שאנחנו רוצים ללמוד אותה. שתיהן גדלות, עד בלי די, כאשר אקס גדל, אבל היחס ביניהן שואף לגבול ידוע, במובן הזה שהוא הולך ומתקרב לגבול ידוע. ונאמר שאף אקס, פונקציה אחת, וג'י אקס, אסימפטוטיות זו לזו כאשר אקס שואף לאין סוף, אם היחס ביניהן שואף ל 1. כשהשתמשתי במילה שואף, פעמיים לגבי אקס ולגבי היחס בין שתי הפונקציות, באמירה כאשר אקס שואף לאין סוף אני מתכוון כאשר אקס הולך וגדל עד בלי די. ולומר שהיחס שואף ל 1, פירושו, שעבור אקס גדל והולך, היחס הזה הולך ומתקרב ל 1. כלומר אם הייתם רוצים לתחום את היחס הזה בין 0.9 ו 1.01, הייתם יכולים למצוא אקס, כך שהחל ממנו ואילך, לא משנה מהן שתי הפונקציות, היחס ביניהן הוא בין 0.9 ו 1, כלומר, ו 1.1, כלומר, בקירוב 1. אם הייתם רוצים לדייק יותר ולתחום את היחס הזה בין 0.99 ו 1.01 הייתם אולי צריכים להרחיק לכת עוד יותר, אבל הייתם מוצאים אקס יותר גדול שהכל ממנו והלאה, שוב, היחס הזה היה בין 0.99 ל 1.01. יש פה מעין משחק בין טוען ומאתגר. אני טוען שהיחס הזה שואף ל 1, מישהו מן הקהל בא ומאתגר אותי, תראה לי שהוא יימצא מתי שהוא בין 0.9 ל 1.1י ואני מוצא לו את הנקודה שהחל ממנה והלאה היחס הזה קרוב כדי עשירית ל 1. ואז אותו מאתגר אומר לי, בסדר, זה לא מספק אותי, תעשה את זה בדיוק של מאית ולא בדיוק של עשירית ואני מוצא לו נקודה יותר רחוקה שהחל ממנה היחס הזה קרוב ל 1 כדי מאית, וכן הלאה. אנחנו נכתוב את ההגדרה המדויקת הזו שתיארתי לכם במילים בשיעור הבא או בעוד שני שיעורים, גם בניסוח מתמטי מדויק. כרגע מטרתי אינה לתת לה ניסוח מתמטי מדויק, אלא להסביר לכם, או להאיר את תשומת לבכם לעובדה, שהפונקציה פאי של אקס שדנו בה, היא אסימפטוטית לפונקציה שנתונה על ידי נוסחה מאוד מאוד פשוטה. העובדה הזאת התגלתה בסוף המאה ה 19, על ידי שני מתמטיקאים, אדמר ודה-לה ולקוסן, ונקראת משפט המספרים הראשוניים. המשפט אומר, שהפונקציה פאי של אקס, שמונה את מספר המספרים הראשוניים עד אקס, אסימפטוטית לפונקציה אקס חלקי הלוגריתמוס הטבעי של אקס. פאי של אקס אינה ניתנת על ידי שום נוסחה, אבל ככל שאקס גדל הנוסחה הפשוטה הזו, אקס חלקי לן אקס, מתארת את פאי אקס בדיוק גובר והולך במובן זה שהיחס בין שתיהן הולך ומתקרב ל 1. הגרף שאתם רואים כאן הוא גרף די קרוב, שהולך ונהיה יותר ויותר קרוב ככל שאקס גדל לגרף של אקס חלקי לן אקס. דרך אחרת לתאר את משפט המספרים הראשוניים היא להגיד שהצפיפות היחסית או השכיחות היחסית של המספרים הראשוניים בקטע בין 0 ל אקס היא אחד חלקי לן אקס. כי סך הכל, מספר המספרים שם הוא אקס, מספר המספרים הטבעיים, ורק אקס חלקי לן אקס מהם הם ראשוניים. המשפט הזה הוא משפט עמוק, ההוכחה שלו לא קלה, והבאתי אותו כאן, לא כדי ללמד אתכם פרק בתורת המספרים, אלא כדי להצביע על תופעה מעניינת. שלפחות במקרה של פאי אקס, ויש עוד הרבה דוגמאות כאלה במתמטיקה, מה שנראה אקראי, בסקלה קטנה, יכול להיראות בסקלה גדולה, או באופן אסימפטוטי, כאשר אקס שואף לאין סוף, כתופעה בעלת חוקיות שאפילו יכולה להיות מתוארת על ידי נוסחה. אמור מעתה, אקראיות וחוקיות יכולים לדור בכפיפה אחת אם מדובר בסקלות שונות.
