קורס זה עוסק במתמטיקה של בית ספר תיכון מנקודת מבט מתקדמת. מטרתו העיקרית היא לחשוף סטודנטים לעתיד לאופן שבו מתמטיקאים רואים מקצוע זה, ובכך להכין אותם ללימודי מתמטיקה ברמת אוניברסיטה.
סדרות ואינדוקציה 2 - סדרות חשבוניות
Loading...
来自 Hebrew University of Jerusalem 的课程
Invitation to Mathematics הזמנה למתמטיקה
50 个评分
从本节课中
סדרות ואינדוקציה
ביחידה זו נלמד על סדרות מושג הסדרה באופן כללי ובפרט על חשבוניות והנדסיות
与讲师见面
Raz Kupferman
Mathematics
Itamar Cwik
Mathematics
Ehud de Shalit
Mathematics
בשיעור שעבר דיברנו באופן כללי על סדרות, סדרות של מספרים.
היום אנחנו נתמקד במשפחה חשובה של סדרות מספריות: סדרות חשבוניות.
מהי סדרה חשבונית?
הגדרה: סדרה חשבונית היא סדרה חשבונית בה מהי סדרה חשבונית?
הגדרה: סדרה חשבונית היא סדרת מספרים שבה
ההפרש בין כל שני מספרים עוקבים הוא קבוע.
בואו נראה דוגמאות, למשל: הסדרה שאיברה הראשון הוא שורש שתיים,
האיבר הבא הוא שורש שתיים פחות פאי שורש
שתיים פחות שני פאי...
שורש שניים פחות שלושה פאי, פחות ארבעה פאי...
היא דוגמא לסדרה חשבונית שבה האיבר הראשון הוא
שורש שתיים ובין כל שני איברים יש הפרש קבוע,
במקרה הזה ההפרש הוא מינוס פאי ההפרש בין האיבר השלישי לאיבר השני הוא מינוס פאי,
גם ההפרש בין האיבר במקום הארבעים ושלושה והאיבר במקום הארבעים ושתיים הוא מינוס פאי,
אם נמשיך לכתוב את הסדרה לפי אותה חוקיות.
בואו, לשם דוגמא שאיתה נרוץ במהלך כל השיעור,
נבחר דוגמא אחת, סדרה שאיתה נעבוד.
זאת תהיה הסדרה שמתחילה בחמש, וכל איבר גדול מקודמו בשלוש.
אז חמש, שמונה, אחת עשרה, ארבע עשרה, שבע עשרה וכן הלאה....
כאמור, הכן הלאה מבטא את החוקיות שלפיה יש הפרש
קבוע בין כל שני מספרים עוקבים בואו רגע
נדבר על ייצוג גרפי של סדרות מהסוג הזה ובאופן ספציפי הסדרה שכתבתי כאן.
יש כמה ייצוגים מעניינים גרפיים לסדרות חשבוניות.
ייצוג אחד, אז כרגיל נסמן את הראשית.
ומכיוון שאנחנו כאן בסקאלות כאלה אז נבחר כאן את עשר עשרים,
שלושים, וכן הלאה.
דרך גרפית מעניינת לייצג סדרה,
למשל הסדרה הזאת היא למקם על
ישר המספרים את הערכים המופיעים בסדרה,
כמובן לציין לכל נקודה מה מקומה בסדרה.
כך למשל בסדרה הזאת, הנקודה הראשונה, נקודה חמש, תימצא כאן.
זהו האיבר במקום הראשון בסדרה.
הנקודה הבאה היא שמונה.
האיבר השני בסדרה.
אחת עשרה, ארבע עשרה,
שבע עשרה וכן הלאה במקום השלישי, הרביעי והחמישי.
כן, בייצוג זה מה שאנחנו רואים זה באמת את העובדה,
רואים באופן גאומטרי, את העובדה שהכרזנו עליה מלכתחילה שמדובר
בסדרה שבה קיים הפרש קבוע בין כל שני איברים עוקבים.
דרך אחרת לייצג באופן גאומטרי סדרה בכלל,
אבל גם סדרה חשבונית בפרט, דרך שדיברנו עליה בשיעור שעבר,
היא באמצעות גרף כמו גרף של פונקציה שבו ציר ה-X,
מציין את המקום בסדרה, זה התחום של הפונקציה,
דיברנו על זה, הוא מספר טבעי המקום הראשון בסדרה,
השני, השלישי, וכן האלה ציר ה-Y הוא ערכי איברי הסדרה,
במקרה הזה שוב כדאי להשתמש בסקאלה אחרת לבטא את המקום בסדרה.
ואז האיבר במקום הראשון ערכו חמש,
האיבר במקום השני הוא שמונה,
האיבר במקום השלישי הוא אחת עשרה,
ואם היינו עושים זאת במדויק,
היינו מגלים שכל הנקודות בגרף יושבות על קו ישר,
וזה לא צריך להפתיע אותנו כי בכל פעם שאנחנו זזים
מקום אחד בסדרה הערך גדל באותו שיעור, במקרה זה בשלוש.
שימו לב עם כן שיש קשר הדוק בין סדרות
חשבוניות לבין פונקציות קוויות, פונקציות לינאריות.
אבל תזכרו גם, כפי שאמרנו, שכשאני משרטט גרף של סדרה,
הגרף הוא בדיד, מורכב מנקודות,
אמנם אלה יושבות על ישר אבל אין משמעות לישר שמחבר אותן,
בהקשר של הסדרה, אין איבר שנמצא במקום השתיים וחצי.
דרך שלישית קרובה לזאת שיש
בה ערך לייצג סדרות
חשבוניות היא באמצעות דיאגרמות עמודות.
אנחנו נראה שימושים לכך בהמשך.
בדיאגרמת עמודות אנחנו מייחסים עמודה לכל
איבר והרוחב של העמודה הוא יחידה אחת על הישר הממשי.
כך האיבר הראשון בסדרה מיוצג על ידי עמודה שרוחבה יחידה אחת,
וגובהה היא, במקרה הזה חמש, האיבר הראשון בסדרה.
האיבר השני בסדרה גם כן מיוצג על ידי עמודה שרוחבה
יחידה אחת והגובה היא שוב ערכו של האיבר
השני בסדרה וכך הלאה עם האיבר השלישי ואילך.
דיאגרמות עמודות הן באמת כלי שימושי הרבה פעמים כדי לבטא סדרות גם במציאות,
למשל הרבה פעמים משקעים על פני שנים מיוצגים בעזרת דיאגרמות כאלה.
והאמת היא שראינו שימוש בדיאגרמות כזה בפרק שבו עסקנו בפונקציות.
זה אכן אמצעי חזותי שימושי לייצג פונקציות שהתחום שלהן הוא בדיד.
בשיעור שעבר דיברנו על ייצוגים שונים לסדרות,
ואחד הייצוגים שראינו היה ייצוג באמצעות נוסחה רקורסיבית,
נוסחה שבה איבר מבוטא באמצעות קשר לאיברים שקדמו לו.
בהקשר של סדרות חשבוניות,
ייצוג רקורסיבי הוא מאד טבעי כי ההגדרה של סדרה חשבונית
היא בדיוק שכל איבר גדול מקודמו בשיעור נתון.
בעצם מה שמגדיר סדרה חשבונית,
הדבר הראשון שמגדיר סדרה
חשבונית הוא ההפרש הקבוע בין
איברים עוקבים.
נהוג לסיים את ההפרש הזה בדרך כלל באות D מן המילה difference.
אז גם אנחנו לא נחרוג מהמקובל ונסמן אותו ב-d.
אם נסמן את איברי הסדרה ב- (an)
איברי הסדרה,
הרי שסדרה חשבונית שבה ההפרש הוא d מקיימת את
הנוסחv הרקורסיבית שהאיבר במקום ה-n שווה
לאיבר שקדם לו בסדרה ועוד d, ועוד ההפרש הקבוע.
הנוסחה הרקורסיבית הזאת אינה מגדירה עדיין את הסדרה באופן יחיד.
יש הרבה סדרות, למשל, שההפרש בין איבריהן הוא שלוש.
הסדרה אחת, ארבע, שבע.
הסדרה שורש שתיים, שורש שתיים ועוד שלוש, שורש שתיים ועוד שש וכולי.
יש כפי שאפשר לראות אינספור סדרות כאלה.
כדי שסדרה תיקבע, סדרה חשבונית תיקבע באופן יחיד בנוסף
לנוסחה הרקורסיבית הזאת עלינו גם לציין את לפחות את אחד האיברים.
בדרך כלל מקובל לציין מה הוא האיבר הראשון.
אנחנו נסמן פה עכשיו את האיבר הראשון באות A גדולה, זה יהיה הסימן שנשתמש בו,
וצירוף המשוואות
הללו מגדיר את הסדרה החשבונית, כך למשל בדוגמא שלקחנו קודם,
הסדרה החשבונית חמש,
שמונה, אחת עשרה, ארבע עשרה וכך הלאה,
היא מתאימה למקרה שבו הפרש הסדרה הוא שלוש והאיבר
הראשון הוא חמש והאיבר הראשון הוא חמש.
A במקרה זה שווה חמש.
אולי נתעכב רגע על השאלה מה מקור ה...
מה חשבוני בסדרה החשבונית?
מדוע סדרה חשבונית...
נקראת כך, ייתכן שזו שאלה שהטרידה אתכם בעבר.
הסיבה שסדרה מן הסוג הזה נקראית חשבונית היא הבאה שימו
לב שכיוון שיש הפרש קבוע בין כל שני איברים,
אז כפי שכתוב כאן האיבר במקום
ה- n שווה לאיבר שקדם לו ועוד d, הפרש הסדרה,
אבל באותה מידה הוא גם שווה לאיבר שיבוא אחריו פחות d.
אם נחבר
עכשיו את שתי המשוואת האלה, נקבל שה...
ועוד d פחות d יתבטלו נקבל ביטוי עבור פעמיים
an נחלק בשתיים נקבל שהאיבר ה- n שווה למחצית
סכום האיבר שבא לפניו והאיבר שבא אחריו.
או במילים אחרות, בסדרה חשבונית כל
איבר הוא הממוצע של האיבר שקדם לו והאיבר שבא אחריו.
לפי המשמעות של ממוצע שמוכרת לכם.
מסתבר שבמתמטיקה יש הרבה ממוצעים שונים שניתנים להגדרה.
הממוצע הזה שבו אנחנו מסכמים את המספרים ומחלקים בכמות
המספרים שאנחנו סיכמנו, נקראית במתמטיקה ממוצע חשבוני.
אז כל איבר הוא
הממוצע החשבוני
של האיבר הקודם
לו והאיבר העוקב,
ולמעשה תכונה זו של
הסדרה החשבונית היא שנתנה לה את השם,
מן הממוצע החשבוני, בא השם סדרה חשבונית.
אנחנו נראה שהסיפור הזה יחזור על עצמו בשיעור הבא שבו נעסוק בסדרות הנדסיות.
עכשיו נעבור לשאלה הבאה.
למשל ניקח את הסדרה הזאת, מה הוא האיבר המאה בסדרה?
מהו האיבר במקום השני מיליון בסדרה?
בדרך כלל כשנתונה פונקציה כלשהי הדבר שחשוב לנו זה להיות מסוגלים להעריך
את הערכים שהיא מחזירה והמצב הוא לא שונה כשעוסקים בסדרות.
להכיר סדרה פירושו שאנחנו יכולים לדעת איזה איבר יושב
בכל מקום בסדרה דיברנו על זה בשיעור שעבר
שכשסדרה נתונה לנו באמצעות נוסחה רקורסיבית,
אז לא מיידי לדעת מה נמצא, מהו האיבר בכל מקום.
לכאורה כדי לדעת מה האיבר במקום המיליון עלינו לדעת
מה האיבר במקום ה- 999,999 וכן הלאה,
כך שנראה שיש לעשות הרבה מאד חישובים כדי למצוא מהו האיבר במקום המיליון.
אחת המטרות, כדי להבין סדרה כשהיא נתונה באופן רקורסיבי,
זה להיות מסוגלים לבטא את האיבר הכללי שלה באמצעות נוסחא מפורשת.
נוסחא שרק מכילה את n, נציב את n, נדע מה איבר הסדרה.
לכן מה שאנחנו הולכים לעשות זה בדיוק לקחת את ההגדרה הרקורסיבית
של סדרה ולהפוך אותה לנוסחה מפורשת.
אנחנו רוצים לקבל ביטוי מפורש לאיבר במקום ה-n.
אז בואו ניקח גם את הביטוי הכללי ביותר.
יש לנו A נתון איבר ראשון.
הפרש נתון של סדרה.
מה אפשר לומר על האיבר במקום ה-n?
אז האיבר במקום השני, לפי הנוסחה הרקורסיבית,
שווה לאיבר במקום הראשון הוא A ועוד
d ההפרש הקבוע של הסדרה.
האיבר במקום השלישי שווה לאיבר
במקום השני, אנחנו כבר יודעים מה הוא,
הוא A+d ועוד ההפרש הקבוע של הסדרה.
וכמובן שאפשר להמשיך.
קודם כל הדבר הזה שווה ל- A ועוד פעמיים d.
האיבר במקום הרביעי יהיה
שווה לאיבר במקום השלישי ועוד d,
אז זה יהיה A ועוד שלוש פעמים d.
אני מניח שבשלב הזה אתם רואים את החוקיות.
האיבר השני שווה לאיבר הראשון ועוד אפשר לומר פעם אחת d.
האיבר במקום השלישי הוא האיבר הראשון ועוד פעמיים d,
האיבר במקום הרביעי הוא האיבר הראשון ועוד שלוש פעמים d.
החוקיות מתבקשת היא שהאיבר במקום ה-n שווה לאיבר
הראשון ועוד כמה פעמים צריכים להוסיף d?
n-1 פעמים.
מה שקיבלנו פה
היא נוסחא מפורשת n לאיבר במקום
ה-n לכל n עכשיו אם נרצה לדעת מה האיבר במקום המיליון,
לא צריך לחשב את כל האיברים שקדמו לו.
אפשר להציב מיליון, בהינתן כמובן הערכים המסוימים של אותה סדרה,
של האיבר הראשון וההפרש הקבוע, נציב כאן מיליון ונקבל את האיבר במקום המיליון.
האם באמת קיבלנו הצגה מפורשת נכונה?
כן, אז נזכור קודם כל שלזה קראנו הצגה
רקורסיבית ולנוסחה
הזאת קראנו הצגה מפורשת,
או הצגה באמצעות נוסחה אלגברית,
באמצעות נוסחה אלגברית, של אותה סדרה.
בואו נבדוק את עצמנו, נבדוק שבאמת זו ההצגה
המפורשת של ההצגה הרקורסיבית הזאת, אז בואו נבדוק.
מה צריך להתקיים?
כן?
נניח שמישהו היה בא ואומר לנו,
נתונה סדרה שהאיבר ה- n שווה לקבוע
A ועוד n פחות 1 פעמים קבוע אחר d,
מה האיבר הראשון של הסדרה הזאת?
צריך להציב n=1.
1 פחות 1 זה אפס, קיבלנו A.
זה בדיוק מה שרצינו.
מה ניתן לומר על האיבר ה- n?
זה נתון כאן, אבל את מה שכתוב כאן אני יכול לכתוב באופן
הבא: במקום לכתוב n פחות 1פעמים d,
אני אכתוב n פחות 2 פעמים d,
אבל צריך להוסיף עוד d,
אבל עכשיו נשים לב שאם הדבר הזה נכון לכל n,
אז מה שכתוב כאן הוא האיבר ה-n פחות 1.
לכן קיבלנו שסדרה שנתונה
על ידי ההצגה המפורשת הזאת, מקיימת את שתי התכונות שרצינו,
האיבר הראשון הוא A וכל איבר שווה לקודמו ועוד d.
נתבונן שוב בסדרה חשבונית כלשהי.
כן, אז שוב יש לנו סדרה חשבונית
an נתון על ידי האיבר שקודם לו ועוד d
a1 = A סדרה חשבונית כללית.
כן, למשל אם נשתמש באותה דוגמא 5, 8,
11, 14, 17...
וכולי, בתור דוגמא.
בואו נדמיין למשל מצב שהסדרה הזו הוא לא סדרה ערטילאית,
אלא היא מבטאת רווח של חברה במיליוני שקלים כל שנה.
בשנה הראשונה החברה הרוויחה חמישה מיליון שקלים.
החברה הצליחה, היא גדלה.
שנה אחרי זה היא הרוויחה שמונה מיליון שקלים, שנה אחרי זה אחת עשרה מיליון שקלים.
היא המשיכה לגדול בשיעור קבוע כי זה מה שסדרות חשבונית מבטאות.
שאלה מאד טבעית בהקשר הזה היא לשאול
נגיד אחרי שלוש שנים כמה כסף היא הרוויחה עד כה או,
אחרי n שנים, כמה כסף היא הרוויחה ב-n השנים הראשונות?
אז ברור מה התשובה, אנחנו צריכים לסכם את כל איברי
הסדרה מהאיבר הראשון עד האיבר במקום ה-N אז אנחנו אם כן,
שואלים מה מתקבל כשמסכמים איברי סדרה
חשבונית מהמקום הראשון: האיבר הראשון ועוד האיבר השני
ועוד האיבר השלישי וכך הלאה עד
המקום ה-N מה שמתקבל
כאן הוא סכום שתלוי ב-N.
במקום שבו הפסקתי את הסכימה.
אוקי, אז נסמן את הסכום הזה באות S שהיא אות מקובלת לבטא סכומים,
האות הראשונה של המילה Sam אבל נזכור שהסכום הזה תלוי,
הוא תלוי כמובן באיברי הסדרה אבל הוא גם תלוי במקום שבו הפסקתי
לסכם לכן טבעי ביותר לסמן את מה שהתקבל כאן
כסכום אחרי N צעדים או במקום ה-N
במילים אחרות הביטוי שכתוב כאן ומקובל
לכנותו סכום חלקי של איברי סדרה חלקי כי
עצרנו במקום ה-N של איברי הסדרה.
מכיוון שהוא עצמו תלוי ב-N הרי שהיתה לנו סדרה,
סדרה חשבונית במקרה שלנו, ויצרנו באמצעותה סדרה
חדשה שהיא סדרת הסכומים החלקיים של איברי הסדרה.
בואו נחשוב רגע איך אפשר להגדיר את הסדרה הזאת.
הסדרה SN סדרת הסכומים החלקיים מקיימת את התכונה הבאה.
האיבר הראשון שלה הוא פשוט האיבר הראשון של הסדרה AN כן,
אני מסכם את כל איברי הסדרה עד האיבר הראשון אז זה פשוט שווה לאיבר הראשון.
אז האיבר הראשון בסדרה הזאת שווה לאיבר הראשון.
אז האיבר הראשון בסדרה הזאת של הסדרה המקורית, במקרה הזה זו היתה סדרה חשבונית.
האיבר ה-N של הסדרה הזאת מתקבל
מכך שסיכמנו את כל האיברים במקום ה-N אז אפשר לכתוב את זה.
אבל אפשר גם לומר שהוא שווה למה שהתקבל כשסיכמנו את N פחות
1 האיברים הראשונים של הסדרה הסדרה הזאת, הסדרה AN,
ואז הוספנו את האיבר ה-N אבל סכום N פחות 1 האיברים
הראשונים של הסדרה זה מה שהיינו מסמנים ב-SN פחות 1.
אז סכום N האיברים הראשונים של הסדרה
AN נתון על ידי סכום N פחות 1 האיברים הראשוניים
ועוד האיבר ה-N אז זו
דרך רקורסיבית להגדיר את סדרת
הסכומים החלקיים סדרת הסכומים
החלקיים של הסדרה AN אוקי,
זה דוגמה ראשונה שבה אנחנו רואים
סדרה שמוגדרת באמצעות סדרה אחרת.
אוקי, יש לנו סדרה שהיא סדרה חשבונית, היא יכלה גם להיות סדרה אחרת ובאמצעותה אנחנו
מגדירים סדרה חדשה שהיא סדרת הסכומים החלקיים של הסדרה הראשונה שעסקנו בה.
ועכשיו אנחנו נחזור לתהליך
שעשינו לפני כמה רגעים עבור סדרה חשבונית נשאל את עצמנו האם
ניתן לקבל נוסחה מפורשת לסכום N
האיברים הראשונים של סדרה חשבונית.
כן, שימו לב שללא נוסחה מפורשת,
אם אנחנו צריכים למצוא למשל מהו S100 של הסדרה שנתונה כאן,
אנחנו צריכים לחשב את 5 ועוד 8 ועוד 11 עוד 14
וכך צריך להמשיך לסכם 100 מספרים שכל אחד
מהם גדול מקודמו ב-3 זה כמובן עבודה קשה ואם היינו שואלים מהו S1000,000
כמובן שהיתה עבודה קשה פי כמה וגם כאן מה שנרצה זה לקבל נוסחה מפורשת.
אז אנחנו נעשה זאת עכשיו והאמת היא שנעשה את זה
ביותר מדרך אחת כי יש דברים מעניינים וקישורים
אפילו לגיאומטריה שאפשר לראות דרך הפעולה הזאת.
נתחיל בדרך ראשונה, עדין היא תהיה אלגברית טהורה.
להסתכל על סכום איברי סדרה A1 עד AN במקרה שלסדרה חשבונית.
אנחנו מעוניינים לחשב את הסכום הבא שסימנו SN A1
ועוד A2 ועוד A3 ועוד
AN פחות 1 ועוד
AN ובשלב זה אנחנו לא יודעים אין לנו ביטוי מפורש לזה.
גישה אפשרית שהיא הרבה פעמים שימושית, היא להגיד ״אוקי,
אני לא יודע כמה זה אז אני אוסיף לזה עוד משהו שאני לא
יודע כמה הוא אני אוסיף לזה את אותו הדבר״.
אלא שהפעם אנחנו נכתוב את הסכום לא משמאל לימין אלא מימין לשמאל.
A1 ועוד A2
ועוד AN פחות 2 ועוד AN פחות
1 ועוד AN.
אז כתבנו פה פעמיים את אותו סכום כמובן,
כי חיבור מקיים את חוק החילוף והפילוג אז אפשר לסכם באיזה סדר שאנחנו רוצים.
גם הביטוי שכתוב כאן הוא SN וגם הביטוי שכתוב כאן הוא SN.
יש לנו שתי משוואות אפשר לסכם
אותן אז אם נסכם עכשיו את שתי
המשוואות נקבל פה פעמיים את הגודל הלא ידוע שהיינו רוצים לבטא
בצורה מפורשת ובואו נראה מה יש לנו בצד השני.
אז מכיוון שאנחנו יכולים לסכם בכל סדר שהוא
המספרים נכתבו כדי להזמין אותנו לסכם
אותם באופן הבא: A1 ועוד AN נסכם בנפרד ולזה
נוסיף את A2 ועוד AN פחות 1 וכן הלאה מכיוון
שאנחנו עוסקים בסדרה חשבונית וחשוב להדגיש זאת,
מה שאנחנו עושים עכשיו אינו נכון לסדרות כלליות הוא מיוחד לסדרות חשבוניות הרי
שהאיבר השני גדול מן האיבר הראשון או שונה מן האיבר הראשון בשיעור D,
הקבוע של הסדרה החשבונית.
האיבר ה-N פחות 1 שונה מהאיבר N באותו שיעור אבל
במגמה הפוכה אם במעבר מכאן לכאן יש לנו ועוד D במעבר מכאן לכאן יש לנו פחות D.
ולכן הסכום של האיבר השני והאיבר
הלפני אחרון יהיה שווה לסכום של האיבר הראשון והאיבר האחרון.
אבל העיקרון הזה כמובן ימשיך גם הלאה.
גם הסכום של שני האיברים האלה שווה לסכום של שני האיברים האלה ששווה
לסכום של שני האיברים האלה.
כך שלמעשה כאשר אני מסכם את הסדרה באופן הבא אני מקבל כל
פעם זוגות של מספרים שמסתכמים לבדיוק אותו הערך.
אם כך, ברור מה הסכום של כולם ביחד.
אנחנו, יש לנו את A1, האיבר הראשון ועוד האיבר
ה-N אבל הסכום הזה חוזר N פעמים.
ולכן פעמיים סכום איברי
הסדרה שווה ל-N פעמים הסכום של האיבר הראשון ועוד האיבר האחרון.
עכשיו כל שנותר זה לחלק ב-2
ולקבל שסכום N האיברים הראשונים בסדרה חשבונית זה חצי
פעמים N כפול סכום האיבר הראשון ועוד האיבר האחרון.
אני מניח שזאת נוסחה שזכורה לכם מדף הנוסחאות שהיה לכם בבחינת הבגרות,
בכל אופן זה ההסבר המאוד אינטואיטיבי לכיצד היא מתקבלת.
בשלב הזה אנחנו כמובן יכולים לזכור שיש לנו גם ביטוי
מפורש לאיבר ה-N לזכור שסימנו את A1 בסימון
באות A גדולה ולכתוב את מה שכתוב כאן מחדש כחצי N,
אז A1 שווה ל-A גדולה.
ויש לנו ביטוי מפורש עבור AN שזה A ועוד N פחות
1 פעמים D ובשלב הזה אפשר לפשט עוד קצת את הביטוי ולקבל
את עוד אחת מהנוסחאות המוכרות לכם,
כן למשל N כפול
A ועוד חצי N,
N פחות D1 אז
פה עשינו שימוש באלגברה ובעקרון
שמשתמש בתכונת הסדרה החשבונית כדי לקבל
ביטוי מפורש לסכום N האיברים הראשונים בסדרה.
אני רוצה עכשיו לקחת את אותה גישה בדיוק אבל רגע לתת לה גוון
גיאומטרי אנחנו אמרנו קודם שאפשר להציג סדרה
חשבונית באמצעות דיאגרמת עמודות.
נכון, ואז להזכירכם בייצוג
הזה האיבר הראשון בסדר מיוצג על ידי
עמודה ברוח 1 שגובהה הוא האיבר הראשון בסדרה.
האיבר השני מיוצג גם כן על ידי עמודה שגובהה A2 עכשיו יש לנו פה סדרה חשבונית,
כך שההפרש בין כל שני איברים עוקבים הוא קבוע ומתקבל איזשהו מבנה כזה,
בואו נעצור ב-N שווה 4 לשם הדוגמה.
זה A3 וזה A4 ואם הייתי מקפיד כמובן על ציור
לפי קנה מידה מושלם אז היינו מגלים שההפרשים בין כל שני איברים עוקבים הוא קבוע.
שימו לב, שבגלל העבודה שהרוחב של העמודה
היא יחידה 1 אז השטח של העמודה
ששווה לרוחב שהוא 1 כפול הגבוה שווה למעשה לגובה.
לאיבר הראשון בסדרה.
כלומר בדיאגרמת עמודות כל איבר מייצג גם את הגבוה של העמודה אבל גם את השטח שלה.
כך שהשטח הזה פה נתון על ידי 1 באותו אופן בדיוק השטח כאן הוא A2,
A3 ו-A4 אלה מבטאים עכשיו שטחים של עמודות.
בהסתכלות כזאת
הסכום של איברי הסדרה הוא פשוט סכום
השטחים של העמודות ואני מקווה שבשלב זה זה מתחיל
לצלצל מוכר ולהזכיר לכם דברים שעשינו בהקשר של אינטגרלים.
ואז כיצד אפשר לחשב את השטח,
כן במקרה זה סכום של 4 מלבנים אז הדרך
האלגברית שהוצגה כאן מרמזת על דרך גיאומטרית לשכפל את
העמודות האלה ולהדביק אותן מעל ארבעת העמודות האלה
אבל במהופך כך שהשטח הזה A4 יופיע כאן
A1 A2,
A3 וכו׳ וכמובן שמה
שקיבלנו כאן זה מלבן ששטחו הוא פעמיים
השטח המבוקש ואנחנו כמובן רואים מהמבנה, כן,
ששטח המלבן יהיה 4 כפול A1 ועוד A4 זה התאים למקרה שבו
לקחנו את N שווה 4 הבניhה כמובן היא כללית ומתאימה לכל N
שהוא אבל ברגע שיש לנו את היצוג הזה
בעצם אפשר לקבל את השטח הזה בהרבה דרכים אחרות למשל
בואו נמחק עכשיו רגע את השכפול, כן, מה שעשינו שם
הנה דרך נוספת לקבל את השטח הכלוא שהוא כאמור
סכום האיברים של הסדרה מהמקום הראשון עד המקום ה-N.
N שווה 4 במקרה זה.
נשים לב שהנקודות הללו
יושבות על קו ישר מאותה סיבה בעצם שצוינה קודם,
על כל יחידה שאנחנו הולכים לאורך ציר ה-X אנחנו עולים באותו שיעור בציר ה-Y
לכן אפשר להעביר ישר דרך 4 הנקודות האלה בואו נעשה זאת.
אז יש את השטח שאנחנו רוצים לחשב ועכשיו אנחנו תחמנו
אותו בשטח גדול יותר שמכיל בנוסף את המשולשים האלה, מיד נגיע אליהם.
מהו השטח שתחום כאן?
במצולע הזה?
אז נשים לב שיש לנו פה טרפז שאורכי
הצלעות שלו הן A1 ו-A4 וגובהו
3 יחידות אז שטח טרפז כזה שווה לסכום
הצלעות A1 ועוד A4
כפול 3,
סליחה, אה כן, כפול 3 חלקי 2.
זהו שטח הטרפז אבל בזאת עוד לא סיימנו
כי בנוסף יש לנו את המלבן הזה
ששטחו A4 בזאת אנחנו מבטאים
את השטח של המצולע הזה אבל עכשיו יש לנו עודפים.
הוספנו שלושה משולשים שלא היו בצורה
המקורית ושלושת המשולשים האלה הם חופפים.
כי כולם יש להם.
הם כולם ישרי זווית.
הם שלושתם ישרי זווית.
והניצבים שלהם הם יחידה אחת והשיעור הקבוע התוספת הקבועה בין כל איברי סדרה.
ולכן כדי לקבל את סכום איברי הסדרה עלינו לחסר
מהביטוי הזה 3 פעמים את שטח המשולש
ישר הזווית הזה שהוא 1 כפול D חלקי 2.
אז אנחנו פה רק למען האיור לקחנו
את המקרה שבו N שווה 4 אבל ברור לנו שהיה אפשר
לעשות את זה לכל N ובכל מקום שכתוב 4 היינו
כותבים N ו-3 הזה הוא בעצם N פחות 1 לכן
קיבלנו עכשיו ביטוי מתחרה לסכום איברי סדרה
חשבונית SN שווה ל-N פחות 1 כפול סכום
האיבר הראשון והאיבר האחרון חלקי 2.
נוסיף שוב פעם נוספת את האיבר האחרון חלקי 2
ומזה נחסר N פחות 1 פעמים 1 כפול D
חלקי 2 כלומר D חלקי 2 אתם תוכלו
למשל בתרגיל לבדוק שהביטוי שהתקבל כאן והביטויים שהתקבלו כאן הם למעשה זהים.
קל לעשות את זה, זה אלגברה פשוטה שלצורך החישוב צריך להיזכר
מה הביטוי המפורש של האיבר ה-N כן שימו
לב שיש לנו למעשה דרכים רבות שהיינו יכולים לחשב את השטח.
כן דרך נוספת שנשאיר לכם אותה כתרגיל אבל אני רק אתן
כאן את הרעיון הכללי היא לחלק את השטח שאותו רוצים
לחשב למלבן וחוץ מזה סכום של עמודות,
אם תעשו את זה אתם תגלו שבאופן טבעי מקבלים את עוד אחת מהנוסחאות
המוכרות לכם מדף הנוסחאות אז אנחנו הכרנו בשיעור
הזה את המושג של סדרה חשבונית ראינו שהיא מוגדרת באופן טבעי,
באופן רקורסיבי אבל הצלחנו
במאמץ לא רב מידי לקבל ביטוי מפורש לאיבר כללי כלומר
נוסחה אלגברית סגורה לאיברי הסדרה לאיבר כללי,
כלומר נוסחה אלגברית סגורה לאיברי הסדרה והדבר האחרון
שעשינו היה לחשב גאוס,
מתמטיקאי גרמני דגול סוף המאה ה-18
וגם המאה ה-19 הוא פעל בשנים האלה לפי אותה אגדה שלא
ברור עד כמה היא נכונה בהיותו בן 7 המורה המשועמם שלו,
מורה למתמטיקה ביקש מילדי הכיתה לחשב את סכום כל המספרים
מ-1 עד 100 מתוך תקווה שיוכל לנמנם
ושבנתיים בזמן שילדי כיתתו עובדים קשה ולתדהמתו גאוס ענה
במקום את התשובה שימו לב שהמשימה שגאוס קיבל מהמורה
היתה בדיוק לחשב סכום איברי סדרה חשבונית.
סדרה חשבונית שבה האיבר הראשון הוא
1 וההפרש הקבוע בין איברי הסדרה הוא גם כן
1 המספרים הטבעיים הם סדרה חשבונית בעצמם שבה ההפרש הוא 1 והמורה ביקש
לחשב את סכום כל האיברים עד N שהוא
100 ומה שעשה גאוס היה בדיוק את זה,
להשתמש בעובדה שאם נסתכל פעמיים על סכום האיברים מ-1 עד 100 ונסכם הפוך 1 ועוד 100,
2 ועוד 99 למעשה פעמיים הסכום המבוקש שווה ל-100 פעמים 100 ועוד 1.
כן זה בדיוק הנוסחה שכתובה כאן או סכום איברי הסדרה במקרה של גאוס זה
חצי פעמים 100 ואז 1 ועוד 100.
