以深入淺出的概念說明日常生活與科學應用中常見的光學現象，特色在於大量的範例以及實驗展示。
彗星和散光像差(1)
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教学方
朱士維
教授 (Professor)
好，各位同学大家好，我们接下来呢要进入这一讲的第三节 继续为各位介绍五种像差中的其中两种
那么我们这一节要介绍的呢，是彗星像差跟散光像差，也就是 coma跟astigmatism，那在这两种像差我们第一个部分
都先练习从数学上来了解这个像差，所以我们由前一节推导出来的Seidel多项式呢
来讨论这两个像差的像差距离，以及这样子的像差距离呢会对于成像
产生什么样的影响，然后最后呢跟各位探讨怎么样修正这两种不同的像差 所以让我们从Seidel多项式开始
回想一下第一节中间我们提到三阶的波前像差中 彗星像差那一项是这个W=C2YR三次方cosθ
而由第二节呢我们讨论了波前像差跟成像面上的
横向像差距离其中的关系呢，可以由下面这个偏微分方程式得到 那我们可以得到x'跟y'各自的像差距离的关系
所以接下来呢我们就来看看我们把彗星像差波前像差的方程式 代入这个像差距离的关系，里面会得到什么结果
那么再一次的呢我们把r 跟φ 还有Xp、Yp之间的关系放在这边给各位参考
所以我们来求横向像差距离，里面呢这个△X’ 会等于—R
∂w ∂Xp 那么把上面这个方程式拿下来偏微分之后呢可以得到的结果呢
就像右边这个方程式一样，那么稍微整理一下之后呢，我们同乘上R平方
之后可以得到呢，这个X‘轴的横向 像差的距离呢就是C2yr平方sin2φ
那么再一次提醒各位这个坐标轴的概念，这个X’ ‘的这个意思呢表示这个坐标呢是在成像面
那么同样的呢我们可以求出Δy'也是在成像面呢y轴方向的横向像差距离
那么在这个地方呢，我们把上面方程式拿下来偏微分之后呢可以很快得到
y轴方向的偏微分的结果呢得到的横向像差距离是C2yr平方
乘上2加上cos2φ，所以从上面这两个方程式来分析呢我们可以看得出来
在成像面上面，x'跟y' 它们之间的φ的相关性呢，也就是一个跟sin2φ乘正比，一个
跟cos2φ成正比，表示Δx'跟Δy'呢会构成一个圆形 的图案，但是在这里呢，Δy'又多了一项
常数项，所以我们从r这个相关性来看呢会看得出来
除了两个成一个圆之外呢，Δy' 多了一个2乘上yr平方这个关系，也就是说呢，当这个
r越大的时候呢，整个像差的圆会更大，而且y轴上面会有一个位移 所以呢，我们大概让各位看一下这样子的
像差距离会形成的成像情况会长成什么样子，那么我们先来看一下波前像差的这样子的一个情况
在波前像差的方程式里面呢，我们在下面这个图里面可以看到，它是yr三方cosφ
所以基本上呢它是一个对称x轴的情况，那么在这个地方呢我们要提醒各位回想起来
在我们一开始的假设呢，光源在原本的x 轴跟y轴上面它是偏在y轴上，也就是光源是歪在y轴上面的
因此呢这个像差会对称x轴，而这个波前像差呢 看得出来离轴越远会越严重，也就是说，y才是原本的
光源平面上面的距离，所以y的相关性呢表示 光源是在y轴上面斜向入射所产生的像差
那么像差距离呢，也就是我们上页求出来的东西呢可以看得出来，它会以光轴为中心散开
那么其中呢，右下角这张图呢，绿色的区域呢，是相当于在透镜的平面，也就是Xp跟Y-
p的平面 距离光轴2分之r的这样一圈的圆所构成的
而黄色的区域呢，则在透镜的平面距离光轴r的一圈的这样的光
所造成的一个散开的结果，所以可以看得出来像刚刚所观察到的sin2φ
跟cos2φ呢会使得x，Δx'跟Δy'形成一个圆形，而
r平方的相关性呢会使得如果
入射光距离透镜平面上光轴越远的话它会形成一个越大的圆，而y轴上面多了一项常数2
乘上yr平方则会造成离，在透镜平面上离光轴越远
的时候呢最后成像的结果呢也会在成像面的y’轴有一个偏移
所以呢，我们就会看到像右下角这张图，如果呢透镜直径越大
的区域所造成的影像呢就会离开原本的焦点越，y轴上离开越远，而且形成一个更大的圆
于是整个看起来呢有一个彗星的感觉 那么这张图呢，可以更清楚地跟各位说明呢，在y轴斜向入射下面不同的
半径，r，也就是在透镜面上面不同的半径 所造成的像差效果，所以从左到右呢可以看得出来我们在分析的是从
透镜面，越靠近中心，然后逐渐往外，往外 往外扩大的圆呢，这些不同的圆呢，会在成像平面上
形成一个不同的圆形。所以整个结合起来呢就会有一个彗星形状的尾巴向后扩散
的一个影像的结果，因此呢，这个像差称为彗星像差 那么实际上呢，如果照一张照片对不同的点光源拍起来的话呢
你可以看得，当然，不止是y轴会有往外偏开来，事实上在x轴的斜向入
射的当然也会有往x轴分开来，因为当初在计算这个方程式的时候呢，是在不失一般性的- 情况之下 把光源放置在y轴上面，但实际上当然在x轴
的斜向入射也会产生彗星像差，所以你可以看得彗星像差的形状呢 基本上是以影像光轴的中心
为起点，往外产生一个彗星的尾巴，那么另外也有可能它会往内产生一个彗星的尾巴
这是不同的正负的彗星像差，实际上呢照相的时候呢也可以观察到这个现象，例如说在这张照-
片里面呢 他在照的是桌上一些LED的光源，那么这些光源呢，因为距离相机够远，所以它很像是点光-
源的一个形式 所以呢，我们比较一下在中心，跟在边边，两个不同的光源的结果呢，能够看到在边边的这个-
光源呢它会形成一个 往外凸出来的一个像差的一个形式，这就是彗星像差实际上在相片里面
产生的结果，那么我们也可以实际上用一个简单的大的透镜
来为各位聚焦阳光，或者在室内段可以用一个远处的灯泡光源来做一个聚焦 你把透镜稍微转一下，就可以很清楚看到彗星像差的结果
所以我们现在用一个简单的透镜来为各位示范彗星像差，我现在手上拿了一个透镜
这个透镜呢把一个远方的光源呢，投影在后面这个屏幕上面
那我待会儿呢会转动我手上这个透镜，基本上你可以看到呢当我转动透镜的时候呢，屏幕上面-
的影像呢，会出现 向上或是向下的一个彗星尾的一个情况，这就是彗星像差
造成的结果，我手上现在拿的这个放大镜呢，它投影出来远方的一个
亮点，投影在屏幕上面的形式，所以我现在如果
把透镜偏移，斜一个角度的话你会看到 它的上方有一个很明显的糊掉的一个光斑跑出来，就像是一个彗星一样
这是彗星像差造成的结果，那么我如果往下斜的话呢，就会看到另外一边
跑出来一个像彗星尾巴一样的一个形式，那么这个呢，就是彗星像差所造成的一个情况
这是因为大束的光通过透镜而斜向入射造成的结果
那么，我们要怎么消除彗星像差呢？ 刚刚介绍了彗星像差的起源，还有对成像的影像
那我们现在来谈，消除彗星像差这件事情 基本上消除彗星像差的概念呢，跟球面像差很像，因为彗星像差跟球面像差的概念
都是离开光轴越远，会造成越严重的像差，所以
跟球面像差一样呢，我们可以缩小孔径，也就是提高f值，来消除这个彗星像差的影响
但是当然哦，缩小孔径这件事情呢会造成曝光时间的增加 也会造成因为绕射的关系使得解析度降低，所以第二个可能的方式呢
也跟球面像差很像，我们可以改变透镜的形状，那么右边这张图呢是 模拟出来的结果，所以我们可以看到呢，从
平凸透镜的平 面对左边，在这个图里面呢，光是从左边入射，然后右边聚焦
所以我们从平凸透镜的平面面对左边，一直到变成平凸透镜的平面面对右边
可以看得出来呢，跟球面透镜很像的是，当我的平凸透镜的凸面
面对平行光的时候呢，彗星像差的效果呢也会被修正的比较好
所以呢，基本上我们可以把彗星像差呢想象成就像是斜向入射的球面像差一样
但是跟球面像差不一样的地方是呢，因为彗星像差事实上跟斜向入射有关
所以基本上呢，你可以平移这个孔径来选择对称的光轴来消除彗星像差
所以就像右边这张图一样呢，一样的光是从左边进来 那么红色的这个箭头呢，显示的是一个孔径的位置
所以呢，当我们在右边这张图的最上面选择孔径
离透镜有一段距离的时候呢，会发现呢这个时候
它斜向入射的光呢，会造成很大的一个彗星的像差
那么右边呢，这个，最右边的这张图呢，它代表就是彗星像差的值的大小
如果呢，我们适当的选择入射光的孔径的位置，
这个时候呢，基本上可以在斜向入射的平面呢，使得彗星像差几乎完全消失
而如果呢，我们把孔径的位置再往右移，也就是最下面这张图所显示的话呢
一过头的话呢，彗星像差又会出现，所以呢，在右边这张图的 上面跟下面，就分别代表了往内缩跟往外扩
的彗星像差，而在中间这张图呢，则是正确的选择孔径的位置
使得彗星像差可以被消除掉，那么第三个我们要介绍的像差呢，是称为散光相差
astigmatism，所以一样的呢，我们从第一节里面的方程式呢，可以知道散光相差呢
的波前像差量相当于是右边这一项，C3y平方r平方乘上cos平方φ
所以一样的呢，我们用一个偏微分的方程式呢，来得到
x‘轴成像面上面的横向像差距离 那么刚刚这个方程式呢，如果对Xp来微分的话呢，可以很容易求得出来呢，它的
偏微分的结果呢会是0，而在y’轴上面呢，我们对
w对Yp微分的结果呢，可以得到y上面成像面的像差距离 那么这个结果呢，会是c3y平方r乘上cosφ
所以我们再看一下这两个，Δx'跟Δy‘ 告诉我们的像差的一个情况，在这里呢，φ的相关性不再是一个
圆，因为Δx'没有φ的相关性了，所以只剩下Δy'有φ的相关性 所以φ的相关性告诉你的事情是呢，Δx'跟Δy'
这时候会形成一个y'轴上面的直线，因为只有y'有φ的相关性
而r的部分呢，则是，x’呢也跟r没有关系
而y‘呢则跟r成正比，所以表示呢如果r越大，也就是入射光
在透镜平面上离光轴越远，这叫r越大，的时候呢在成像面上的Δy’
会变得越称为一条线段，这是散光像差的结果
