[МУЗЫКА]
[МУЗЫКА] [МУЗЫКА]
Вернемся к задаче синтеза управления.
Чтобы решить ее для нелинейных систем,
рассмотрим известный способ линеаризации
нелинейной системы в малом по первому приближению.
Пусть некоторая функция f(0) = 0.
Она достаточно гладкая в окрестности нуля.
И матрица A — это
производная от этой функции по Фреше в нуле.
Уравнение рассматриваемой системы x с точкой равно f(x).
Оно останется справедливым, если мы вычтем нулевое значение в нуле.
По определению производной Фреше разность
приращения значения функции — это производное от функции,
умноженное на приращение аргумента, то есть на x,
и плюс некий остаток, который принадлежит классу o(x).
Это означает, что модуль |e(x)| / |x| → 0, когда x → 0.
Известная теорема об устойчивости по первому приближению утверждает,
что если матрица A — гурвицева, то система,
отмеченная красным, асимптотически устойчива в малом.
Доказательство легко проделать через квадратичную функцию Ляпунова.
V (x) = x* Hx,
где H — это интеграл
от 0 до ∞ от выделенной
экспоненциальной функции матрицы A.
Нетрудно доказать,
что A*H + HA = −I,
где I — единичная матрица.
А сама матрица H — положительная.
То есть для всех x справедливо подчеркнутое
неравенство с некоторым δ > 0.
Рассмотрим поведение
функции Ляпунова на процессах исследуемой системы.
V с точкой, поскольку функция Ляпунова квадратична,
это сумма двух слагаемых: x с точкой сопряженное
на * Hx плюс x сопряженное на * Hx с точкой.
Подставляя вместо производной вектора x правую
часть нашей системы в виде Ax + e,
получаем подчеркнутое выражение,
из которого можно выделить слагаемое,
зависящее только от x, и два слагаемых,
которые зависят и от e, и от x.
Первое слагаемое по построению
функции Ляпунова — это просто −|x|².
А второе принадлежит к o|x|².
Значит, если мы выберем x достаточно малым,
x меньше некоторого радиуса r,
то сумма всех трех слагаемых
будет строго меньше, чем модуль −|x|² / 2.
Итак, если начальные данные
попадают в
нашу рассматриваемую область, где выполнено это неравенство,
тогда модуль
|x|² будет меньше r для каждого t < 0.
Отсюда следует, что производная
от функции Ляпунова < 0 для каждого момента t.
И по теореме о пределе монотонной функции мы получаем,
что существует предел при t → ∞ V(x(t)).
Поскольку значения V неотрицательные,
то он либо 0,
либо положителен.
Если предположить, что он положителен,
то по полученным неравенствам мы получаем,
что производная от V отделена от 0 и строго отрицательна,
откуда следует, что этот же самый предел равен −∞.
Следовательно, остается единственная возможность:
предел функции Ляпунова равен 0.
Этого достаточно,
чтобы x стремился к 0.
Бондарко Владимир Александровичдоцент
