Видео 4.4. «Линеаризация в малом»

Loading...

来自 Saint Petersburg State University 的课程

Введение в теорию кибернетических систем

1 个评分

Saint Petersburg State University

Введение в теорию кибернетических систем

1 个评分

В основе предлагаемого курса лежат лекции, которые читаются студентам математико-механического факультета на 3-ем году обучения сразу после поступления на кафедру теоретической кибернетики. Цели курса: Изложить по возможности строго и полно основы теории управления в следующем объеме: линейная теория, синтез обратных связей для стабилизации линейных систем, линеаризация нелинейных систем в малом, линеаризация обратными связями, дискретизация непрерывных систем, анализ нелинейных систем. Заинтересовать студентов и подготовить их к восприятию более углубленных специальных курсов. Выявить у обучаемых и убедить их заняться устранением пробелов в базовом математическом образовании.

从本节课中

Модуль 4. Нелинейные системы

Видео 4.4. «Линеаризация в малом»6:08

与讲师见面

Бондарко Владимир Александрович
доцент
Кафедра теоретической кибернетики

[МУЗЫКА]

[МУЗЫКА] [МУЗЫКА]

Вернемся к задаче синтеза управления.

Чтобы решить ее для нелинейных систем,

рассмотрим известный способ линеаризации

нелинейной системы в малом по первому приближению.

Пусть некоторая функция f(0) = 0.

Она достаточно гладкая в окрестности нуля.

И матрица A — это

производная от этой функции по Фреше в нуле.

Уравнение рассматриваемой системы x с точкой равно f(x).

Оно останется справедливым, если мы вычтем нулевое значение в нуле.

По определению производной Фреше разность

приращения значения функции — это производное от функции,

умноженное на приращение аргумента, то есть на x,

и плюс некий остаток, который принадлежит классу o(x).

Это означает, что модуль |e(x)| / |x| → 0, когда x → 0.

Известная теорема об устойчивости по первому приближению утверждает,

что если матрица A — гурвицева, то система,

отмеченная красным, асимптотически устойчива в малом.

Доказательство легко проделать через квадратичную функцию Ляпунова.

V (x) = x* Hx,

где H — это интеграл

от 0 до ∞ от выделенной

экспоненциальной функции матрицы A.

Нетрудно доказать,

что A*H + HA = −I,

где I — единичная матрица.

А сама матрица H — положительная.

То есть для всех x справедливо подчеркнутое

неравенство с некоторым δ > 0.

Рассмотрим поведение

функции Ляпунова на процессах исследуемой системы.

V с точкой, поскольку функция Ляпунова квадратична,

это сумма двух слагаемых: x с точкой сопряженное

на * Hx плюс x сопряженное на * Hx с точкой.

Подставляя вместо производной вектора x правую

часть нашей системы в виде Ax + e,

получаем подчеркнутое выражение,

из которого можно выделить слагаемое,

зависящее только от x, и два слагаемых,

которые зависят и от e, и от x.

Первое слагаемое по построению

функции Ляпунова — это просто −|x|².

А второе принадлежит к o|x|².

Значит, если мы выберем x достаточно малым,

x меньше некоторого радиуса r,

то сумма всех трех слагаемых

будет строго меньше, чем модуль −|x|² / 2.

Итак, если начальные данные

попадают в

нашу рассматриваемую область, где выполнено это неравенство,

тогда модуль

|x|² будет меньше r для каждого t < 0.

Отсюда следует, что производная

от функции Ляпунова < 0 для каждого момента t.

И по теореме о пределе монотонной функции мы получаем,

что существует предел при t → ∞ V(x(t)).

Поскольку значения V неотрицательные,

то он либо 0,

либо положителен.

Если предположить, что он положителен,

то по полученным неравенствам мы получаем,

что производная от V отделена от 0 и строго отрицательна,

откуда следует, что этот же самый предел равен −∞.

Следовательно, остается единственная возможность:

предел функции Ляпунова равен 0.

Этого достаточно,

чтобы x стремился к 0.

探索我们的目录

免费加入并获得个性化推荐、更新和优惠。

Coursera 致力于普及全世界最好的教育，它与全球一流大学和机构合作提供在线课程。

© 2018 Coursera Inc. 保留所有权利。

通过 App Store 下载

通过 Google Play 获取