[БЕЗ_ЗВУКА]
[МУЗЫКА] Функциональная зависимость.
Мы с вами переходим к рассмотрению переменных величин.
Но прежде чем это сделать, давайте разберемся, что такое постоянные,
или константы, как их называют в науке.
Константы бывают двух типов.
Это так называемые мировые константы, которые связаны с тем,
что у нас с вами введена некоторая система отсчета или система единиц.
Бывают константы или постоянные величины, которые остаются такими
только в рамках одной вполне конкретной задачи, а именно мы можем говорить о
решении квадратного уравнения с постоянными коэффициентами A,
B и C, но если мы изменим коэффициенты, это будут другие константы,
и мы с вами будет рассматривать уже другое дифференциальное уравнение.
Итак, понятие функциональной зависимости,
которое обычно обозначается y = f (x) в настоящее
время трактуется следующим образом: f — это правило или закон,
которое каждому числу из некоторого множества,
называемого областью определения функции,
ставит в соответствие единственное значение y из некоторого множества,
которое называется областью существования функции.
Например, если мы с вами рассмотрим функцию
y = √(x − 1) / (x + 1), то понятно,
так как есть корень квадратный, мы должны с вами решить следующее неравенство:
(x − 1) / (x + 1) ≥ 0.
Применяя метод интервалов,
−1, 1, если сюда подставить 0,
то мы получаем минус, перемена знаков везде,
здесь плюс, здесь плюс,
и мы получаем Df следующее.
От −∞ до −1,
−1 не входит, она в знаменателе,
и от 1 до +∞.
Рассмотрим важные свойства фукнции, которые нам понадобятся в дальнейшем.
Первое из них — это понятие ограниченности.
Функцию f(x) мы будет считать ограниченной,
если выполняется следующее неравенство.
Ясно, что если есть ограничение m и M,
то любое число, большее M, будет также ограничивать нашу функцию,
и любое число, меньшее чем m, тоже будет ограничивать нашу функцию.
Если выполняется только одно, например, правое неравенство,
то мы будем говорить об ограниченности сверху, если только левое,
то мы будет говорить об ограниченности снизу.
Существует несколько способов задания функции как связи между x и y,
одно из них аналитическое, которое мы уже с вами рассмотрели.
Другое в неявном виде.
Например, если мы запишем уравнение xy = 5, то здесь
у нас нет явной зависимости y от x, однако это тоже функциональная зависимость.
Возможно также задание функций с помощью параметрических уравнений.
x(t) = x, y(t) = y.
Например, если мы с вами рассмотрим
окружность радиуса R, это, впрочем,
не столь принципиально, какого радиуса она, раз,
два, то ее уравнение можно
записать следующим образом: x =
Rcos t, y = Rsin t.
Действительно, возведя в квадрат,
мы с вами получаем правильное соотношение x² + y² = R².
Проверьте, пожалуйста, это сами.
Существуют еще некоторые частные свойства функций.
Например, если f(−x) = −f(x), функция называется нечетной.
Например, функция y =
x − x³.
Если f(−x) = f(x),
то функция называется
четной, y = 1 + x².
Важным свойством функций является свойство периодичности.
А именно, период T определяется следующим образом.
Если f(x + T) = f(x),
то число T называется периодом.
Понятно, что если T период,
то и 2T — период, и nT — тоже период.
−T и так далее также является периодом.
Как правило, мы будем с вами искать наименьший из возможных периодов.
Давайте рассмотрим функцию y
= sin ωx и найдем ее период.
Очевидно, что в этом случае мы должны
использовать вот это вот равенство, а именно sin ω (x + T)
= sin ωx.
Если мы перенесем sin ωx влево и разложим по формуле разности синусов,
то мы получим следующее: 2sin ωx
+ (ωT − ωx)
/ 2 *
cos (ωx
+ ωT +
ωx) / 2,
то для того, чтобы выполнялось вот это условие,
у нас должно выполняться следующее неравенство:
вот этот синус должен быть равен 0,
или sin ωT,
получше напишем,
T, sin ωT /
2 =
0.
ωT / 2 = πn,
ω и T связаны следующим соотношением: T =,
мы ищем наименьший период, 2 / ω.
В этом случае период T,
а величина ω называется частотой.
Итак, если мы знаем период,
мы можем найти частоту нашего процесса.
Часто это бывает частота колебаний.
ω = 2π / T.
В заключение сделаем одно важное замечание.
На самом деле когда мы задаем графически нашу функцию, например,
окружность, получается, что у нас выделяются две ветви.
Уравнение окружности x² + y²
= R² дает нам два
значения y = ±√(R² − x²).
Тогда первая ветвь будет y = +√(R² − x²).
И вторая ветвь будет y = −√(R² − x²).
Например, первая ветвь нам даст верхнюю
половину окружности.
[БЕЗ_ЗВУКА]
