Курс является связующим звеном между математическими курсами общеобразовательной средней школы и вузовскими математическими курсами, частично входящими в основные образовательные программы высшего образования. Отбор содержания курса и его компоновка носит авторский характер. Слушатель, освоивший программу, должен: владеть: • методами аналитической геометрии для решения задач, возникающих при формализации простых геометрических моделей; • методами линейной алгебры для решения систем линейных уравнений второго и третьего порядка; • методом координат для решения задач аналитической геометрии. уметь: • решать задачи на проценты, арифметические прогрессии, геометрические прогрессии; • решать линейные и квадратичные уравнения; • решать неравенства методом интервалов; • выполнять действия с векторами и их проекциями; • проводить тригонометрические преобразования; • решать тригонометрические уравнения; • вычислять определители второго и третьего порядка; • решать системы третьего порядка методом Крамера; • перемножать матрицы; • переходить от декартовых координат к полярным; • решать задачи о сложных процентах; • решать задачи о сложном движении под действием разнонаправленных сил. знать: • базовые математические понятия; • системы счисления; • типы множеств вещественных чисел; • основные функции и их свойства, область определения и область существования функции; • скалярное произведение и его свойства; • решать задачи на нахождение угла между прямыми; • определения и свойства эллипса, гиперболы, параболы; • определения тригонометрических функций; • теорему Пифагора, теорему косинусов, теорему синусов; • матрицы, определители, миноры, алгебраические дополнения; • методы решения задач с параметрами.
Геометрия прямоугольных треугольников
Loading...
来自 Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University 的课程
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
1 个评分
Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University
1 个评分
从本节课中
Элементы тригонометрии
В данном разделе мы поговорим о тригонометрии. Освежим в памяти основные формулы по данной теме и поймём, насколько легко их все вывести. Далее нами будет решено несколько задач с применением полученных навыков.
与讲师见面
Антонов Валерий ИвановичДоктор технических наук.
Заведующий кафедрой высшей математики Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого.
[БЕЗ_ЗВУКА]
[МУЗЫКА] Сейчас уже никого не удивляет,
что с помощью навигатора вы можете точно определить свое положение на земном шаре,
и более того, даже проложить маршрут.
Но этого бы не было, если бы не существовало два больших и очень важных
раздела математики, которые связаны с измерением расстояний и углов.
Я имею в виду геометрию и тригонометрию.
Сегодня мы с вами поговорим о тригонометрии.
И начнем мы с самого простого — с геометрии прямоугольных треугольников.
Итак, нарисуем прямоугольный треугольник.
[БЕЗ_ЗВУКА]
A B, C.
Угол C — прямой.
И представим себе, что мы хотим с вами измерить расстояние BC,
для которого у нас нет доступа.
Но зато мы можем измерить расстояние AC.
Для того чтобы это сделать, мы введем понятие некоторых функций углов.
Итак, начнем со следующего.
Значит, AC и BC у нас с вами — катеты, как известно, а AB — это гипотенуза.
Итак, начнем с угла A, который мы обозначим α.
sinα — это есть
отношение противолежащего катета к гипотенузе.
BC/AB.
Можно поставить знак модуля с учетом того, что мы с вами рассматриваем длину.
cosα — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Это у нас с вами AC /AB;
tgα — это отношение
противолежащего катета к прилежащему.
Значит, BC/AC.
И наконец, ctgα —
это есть отношение
AC/ BC.
Можно ввести
угол β и определить для него все функции.
Понятно, что углы α и β в сумме составляют 90 °,
так как сумма всех углов треугольника — 180.
Между углами α и β, их функциями, существует следующая важная связь.
sinβ =
cosα; cosβ
= sinα;
tgβ = ctgα;
ctgβ = tgα.
Другими словами, с учетом того, что α + β = π/2.
Об измерении углов мы поговорим с вами несколько позже.
Получаем следующее соотношение.
Например, sin (π/2 − α)
= cosα; cos
(π/2 − α) = sinα.
И так далее.
Итак, мы хотим с вами измерить расстояние BC при условии,
что известно только расстояние AC и мы можем с вами измерить угол α.
Давайте немножко поговорим об измерении углов.
Традиционно, углы измеряются либо в градусах,
тогда у нас с вами все возможные значения
угла [БЕЗ_ЗВУКА]
лежат в пределах
от нуля до 360 °.
Но можно ввести и другую меру угла, которая называется радианная.
А именно, мы будем говорить, что угол α имеет величину один радиан,
если он опирается на дугу, длина которой равна радиуса.
Несмотря на кажущуюся сложность определения, эта мера угла очень удобна,
потому что ее можно рассматривать просто как числовую,
так как это отношение двух длин.
Очень легко теперь получить взаимоотношение между
радианной и градусной мерой углов.
Понятно, если мы возьмем верхнюю половину окружности,
то это будут углы от нуля до 180 °.
Другой стороны полокружности — это от нуля
до π/2 * 2,
то есть от нуля до π.
Ясно, этот угол π/2, дважды он — это π.
Итак, есть такое соотношение: 180 ° — это π.
Для того чтобы найти радианную меру любого другого угла,
достаточно построить соответствующую пропорцию,
что я вам предлагаю сделать самостоятельно.
Итак, мы с вами научились различать и определять размеры наших углов.
Давайте перейдем к определению длин.
Итак, если мы хотим найти BC, то давайте напишем следующее соотношение.
BC/AC —
это tgα.
[БЕЗ_ЗВУКА] BC — у
нас неизвестная величина, как мы помним,
обозначим ее x, согласно нашим правилам.
А вот AC пусть у нас известная величина — это a.
В этом случае мы можем написать,
что x/a — это
tgα.
Отсюда x = a tgα.
Сразу встает вопрос о том, а как же научиться
строить тангенсы по известным углам.
К сожалению, для того чтобы полностью описать этот алгоритм,
нужны некоторые дополнительные знания, связанные с математическим анализом.
Поэтому на данном этапе мы будем считать только то,
что эти углы можно построить с помощью таблиц или калькуляторов.
Задача определения местоположения может быть и несколько более сложной,
например, если
мы рассмотрим
вот такую картиночку,
[БЕЗ_ЗВУКА] опять же,
здесь у нас треугольники: A, B, C и D.
Углы α и углы β.
Но теперь расстояние DC у нас с вами неизвестно.
Но зато известны два угла: α и β.
Давайте напишем следующие соотношения.
Пусть у нас с вами AD известная величина — это a, BC.
Та неизвестная величина, которую мы ищем, это x.
И наконец, еще одна неизвестная величина DC — это y.
Тогда отношение AC/BC
— это ctg угла α.
Но с другой стороны, AC — это a + x,
a + y (это
y) /BC — это x.
Теперь, отношение DC
к BC
— это ctgβ.
И есть отношение y/x.
Мы с вами хотим определить x,
для того чтобы полностью можно было рассчитать весь наш треугольник.
Итак, получаем следующее: a + y
/x =
a/x + y/x.
С другой стороны, это равно a /x
+ (ay/x — это ctgβ)
+ ctgβ
= ctgα.
То есть a/x =
ctgα − ctgβ;
или что то же самое x
= a/ctgα − ctgβ.
Для того чтобы упростить это выражение,
мы должны с вами понять, как преобразуются тригонометрические функции.
[БЕЗ_ЗВУКА]
