[БЕЗ_ЗВУКА] [ШУМ] Системы уравнений. Основные понятия. Мы будем говорить, что нужно решить систему уравнений, если несколько уравнений решаются совместно. Давайте договоримся с вами о следующем: как правило, все неизвестные обозначаются последними буквами латинского алфавита — x, y, z и так далее, — а все постоянные величины первым буквами латинского алфавита. Но это удобно только в том случае, когда количество неизвестных ограничено. Для двух-трех это еще неплохо, но бывают задачи, когда приходится решать десятки, сотни, иногда тысячи и даже десятки тысяч линейных уравнений. В этом случае обозначение с помощью различных букв нам неудобно и просто невозможно. Поэтому в таких случаях, когда у нас количество уравнений большое и количество неизвестных тоже большое, мы будем с вами применять цифровую систему обозначений: вместо x, y и z писать x1, x2, x3 и так далее. Тогда в общем виде систему уравнений можно записать следующим образом. Пусть у нас есть некоторая функция от x1, x2, ..., xn, которая равна 0. Некоторые функции F2 от этих же самых переменных x1, x2, ..., xn = 0 ... F n(x1, x2, ...., xn) = 0. Я рассмотрел тот случай — давайте мы здесь объединим значком системы, как это обычно принято, когда количество уравнений и количество неизвестных совпадает. На самом деле, это далеко не всегда так. И эти случаи мы будем с вами рассматривать отдельно. Как и в случае уравнения, решением системы будет являться набор чисел x1 с 0, x2 с 0, ..., xn с 0 — числа, которые при подстановке в нашу систему обращают каждое из уравнений в верное числовое равенство. Рассмотрим некоторые преобразования, которые позволяют упростить процесс решения системы уравнений. Первое: любое из уравнений можно заменять на равносильное. Второе: если определено некоторое количество неизвестных, например x1 и x2, то их можно подставить во все уравнения системы. И третье: уравнения можно складывать, умножая на любое, не равное 0, число. Давайте рассмотрим некоторые примеры систем, которые могут нам с вами встретиться. Давайте начнем с такой задачи. Пусть нам нужно определить точки пересечения окружности x² + y² = 25 с прямой x − y = 1. Мы можем нарисовать нашу окружность, [ШУМ] систему координат [ШУМ] и прямую. Пока в произвольной форме, вот так вот я ее нарисую. Вот точки пересечения, которые мы должны найти. Понятно, что решение такой системы может быть сведено к решению одного уравнения очень простым способом. Давайте мы с вами запишем, что y = — из первого уравнения, — y = x − 1. Подставим во второе уравнение, получим x² + x² − 2x + — (−1)² — + 1 = 25. 25 − 1 — 24, двоечки уходят. x² − x и − 12 = 0. Помним, что корни в этом случае можно найти следующим образом. Значит, x 1, 2 = 1 ±√1 + 48 / 2. √1 + 48 — это √49, это 7. Значит, x1 будет = 1 + 7 / 2, x2 будет = 1 − 7 / 2. Итак, x1 = 4, x2 = −3. И, соответственно, из этого выражения мы с вами получаем y1 = 3, y2 = −4. Давайте проверим хотя бы второе. Значит, подставим в первое уравнение — понятно, что это 25 — 1 −−4, 1 + 4 — это 1. Следующую систему мы рассмотрим такую, в которой будут присутствовать более сложные функции, например логарифмы. Давайте рассмотрим такую систему. log по основанию 3 (x − 3) + log по основанию 3 (y + 2) = log по основанию 3 числа 16. Второе уравнение у нас будет 2x − y = 4. Я надеюсь, вы помните свойства логарифмов, поэтому сумма логарифмов — это логарифм произведения. Значит, преобразуем первое уравнение: log по основанию 3 (x − 3)(y + 2) = log по основанию 3 числа 16. Это уравнение можно преобразовать следующим образом: (x − 3) (y + 2) = 16. И второе уравнение у нас с вами: 2x − y = 4. Можно по-разному подходить к решению системы уравнений такого типа. Я поступлю следующим образом, введу новые переменные: u = x − 3, отсюда x = u + 3. И второе уравнение: y + 2 мы обозначим буковкой v. [ШУМ] Отсюда y будет равняться v − 2. Давайте подставим, тогда первое уравнение нам даст uv = 16, да? Так, u × v = 16. Второе уравнение мы получим, подставляя x и y вот из этих соотношений. Значит, 2x — это будет 2 × (u + 3) — 2u + 6 + Так, −y — это будет 2 − v. Так, −y, да? −v + 2, 2 − v. И равняется 4. [ШУМ] 2u − v = 6 + 2 — 8, переносим сюда, − 4. Значит, 2u − v = −4. Или v = 2u + 4. Если мы теперь подставим вот в это вот уравнение, то получим следующее: u (2u + 4) = 16. Решаем это квадратное уравнение. Я думаю, что вы можете это легко сделать сами. Давайте прикинем: значит, на 2 мы здесь сократим, получим следующие значения: u = 2 и v = 8. Встает вопрос: почему я у квадратного уравнения взял только положительные корни? Давайте вернемся к нашему логарифму и вспомним: мы с вами вычисляли логарифм по основанию 3 x − 3. Значит, x − 3 должно быть положительным, так же, как и y + 2. Таким образом, вот сюда мы добавим с вами следующее условие: u должно быть строго больше 0, и v должно быть строго больше 0. Если мы нашли с вами u и v, то отсюда легко находятся x и y. Правда? Откуда мы их найдем? Вот x = u + 3, значит x = 2 + 3 — 5. И, соответственно, v = 8, значит, y = 8 − 2 — 6. y = 6. Давайте проверим. Логарифм по основанию 5 — можно сюда подставить: 5 − 3 — 2, 8, дважды 8 — 16 = 16. [БЕЗ_ЗВУКА]
