Курс является связующим звеном между математическими курсами общеобразовательной средней школы и вузовскими математическими курсами, частично входящими в основные образовательные программы высшего образования. Отбор содержания курса и его компоновка носит авторский характер. Слушатель, освоивший программу, должен: владеть: • методами аналитической геометрии для решения задач, возникающих при формализации простых геометрических моделей; • методами линейной алгебры для решения систем линейных уравнений второго и третьего порядка; • методом координат для решения задач аналитической геометрии. уметь: • решать задачи на проценты, арифметические прогрессии, геометрические прогрессии; • решать линейные и квадратичные уравнения; • решать неравенства методом интервалов; • выполнять действия с векторами и их проекциями; • проводить тригонометрические преобразования; • решать тригонометрические уравнения; • вычислять определители второго и третьего порядка; • решать системы третьего порядка методом Крамера; • перемножать матрицы; • переходить от декартовых координат к полярным; • решать задачи о сложных процентах; • решать задачи о сложном движении под действием разнонаправленных сил. знать: • базовые математические понятия; • системы счисления; • типы множеств вещественных чисел; • основные функции и их свойства, область определения и область существования функции; • скалярное произведение и его свойства; • решать задачи на нахождение угла между прямыми; • определения и свойства эллипса, гиперболы, параболы; • определения тригонометрических функций; • теорему Пифагора, теорему косинусов, теорему синусов; • матрицы, определители, миноры, алгебраические дополнения; • методы решения задач с параметрами.
Парабола
Loading...
来自 Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University 的课程
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
8 个评分
Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University
8 个评分
从本节课中
Линии на плоскости
В данном разделе мы разберемся, как найти расстояние от точки до начала системы координат, узнаем, что такое параметрическая функция и как она задаётся, а так же ответим на вопрос, что такое кривая второго порядка.
与讲师见面
Антонов Валерий ИвановичДоктор технических наук.
Заведующий кафедрой высшей математики Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого.
[БЕЗ_ЗВУКА]
[ШУМ] Парабола.
Как и в предыдущих двух случаях,
мы с вами рассмотрим несколько иной подход к понятию кривой, которая,
в общем-то, вам давно известна, а именно геометрически.
И давайте поступим так же, как в предыдущих случаях — с того,
что нарисуем нашу систему координат.
[ШУМ] Опять
же возьмем фокус — он в данном случае будет один.
И вот это вот расстояние — здесь мы проведем прямую.
Прямая эта называется директриса, direct — это «прямой».
Вот это вот расстояние
N F будет = p.
Ось y мы проведем точно посередине
и построим вот такую кривую,
которая будет обладать следующим свойством.
Значит, это опять переменная точка M.
Проведем два радиуса-вектора, или просто два радиуса,
из точечки.
Это r1, это r2.
И потребуем, чтобы расстояние до прямой директрисы
r2 было = расстоянию до фокуса r1.
В этом случае фокус у нас имеет координаты
p / 2, 0.
r2 — это у нас
с вами √(x
+ p / 2)².
Можно было, конечно, написать и без корня, но так более понятно.
И второе — у нас с вами теперь r1.
В r1 у нас с вами будет присутствовать y, в r2 его нету,
потому что y не изменяется при горизонтальном расположении прямой.
Итак, r1 будет = √ — давайте смотреть.
Это будет (x − p / 2)² + y².
Приравняем r2 к r1 и получим
следующее: √ (x
+ p / 2)²
= √ (x −
p / 2)² + y².
Так же, как и в предыдущих случаях понятно, что здесь даже проще будет.
Возведем в квадрат, приведем подобные и получим следующее уравнение: y² = 2 px.
Вот это уравнение является каноническим уравнением параболы, но,
в отличие от случая y = x², расположение ветвей здесь у нас с вами горизонтально.
Парабола обладает одним замечательным свойством,
которое широко используется в технике.
Но для этого мы должны будем с вами понять,
что такое отражение от некоторой поверхности или от некоторой кривой.
Значит, если у нас с вами есть некоторая кривая,
вот эта вот точечка — к ней касательная и нормаль,
— то если луч света падает
в эту точку под углом некоторым,
то отражается он от нее вот под таким углом.
Или если с этой стороны, то это будет вот так вот.
Значит, этот угол — α1, этот угол — α2.
Обычно эти углы измеряются между направлением луча и направлением нормали.
В этом случае,
в случае такого отражения, у нас угол падения равен углу отражения.
Так вот, утверждается следующее: что если мы с
вами рассмотрим — давайте заново нарисуем нашу параболу.
[ШУМ] Возьмем ее фокус,
и вот она у нас там.
[ШУМ] И возьмем лучи,
которые направлены параллельно оси Ox, например вот такой луч.
Утверждается, что после отражения он пройдет через фокус.
И любой луч, направленный горизонтально, обязательно пройдет через фокус.
Но для того чтобы доказать этот факт, нам с вами понадобится уравнение
касательной — я надеюсь, вы его знаете: y − y0 =
f'(x0) (x − x0).
Я не касаюсь в нашем курсе производной,
потому что это больше относится к математическому анализу.
Но, я думаю, что это уравнение вам известно.
Если нет, то вот оно здесь записано.
И я вам предлагаю — это, правда, не очень просто,
самим попробовать доказать вот это замечательное свойство параболы.
Чем оно замечательно?
Оно замечательно двумя вещами.
Первое: если мы сделаем зеркало, например,
телескопа в виде некоторой поверхности, обладающей вот этой параболичностью,
например повернем эту параболу вокруг своей оси, то все параллельные лучи,
например, приходящие из космоса, будут собираться в одной точке.
Сюда можно поставить датчик и наблюдать за тем, что происходит в нашей Вселенной.
Можно поступить наоборот: поместить в эту точку источник света,
и тогда наше параболическое зеркало — обычно это либо автомобильная фара, либо
прожектор, который имеет такую же форму, — дадут нам параллельный пучок света.
Итак, я предлагаю попробовать вам самим доказать это замечательной
свойство параболы.
А теперь вернемся к нашим кривым второго порядка и еще немножко
поговорим о их свойствах.
Давайте вспомним наш эллипс для начала.
Вот я его рисую.
У него два фокуса будут.
Вот так вот сейчас.
[ШУМ] Здесь
у него два фокуса,
фокусные расстояния — это 2c.
Что у нас есть 2c — расстояние между фокусами.
У нас есть 2a — это на самом деле
если идти вдоль оси Ox, то это ось эллипса.
И есть b — b²,
равное √a² − c².
Легко видеть, что b — это вторая ось или полуось.
Значит, вот это вот у нас с вами b,
а вот это вот у нас с вами расстояние, вот это вот,
a, и вот это фокусное расстояние c.
Вводится понятие эксцентриситета,
которое определяется следующим образом: ε — очень хорошая греческая
буковка — определяется как отношение c / a.
Так как для эллипса фокусное расстояние меньше,
чем его полуось, то для эллипса ε будет ≤ 1.
Почему я говорю «=1»?
Потому что, на самом деле, есть частный случай эллипса,
когда у нас с вами фокусы начнут собираться в одну точку.
И что мы с вами получим?
Мы с вами получим окружность.
[ШУМ] Когда ε = 1?
С эллипсом такое не проходит, но это может быть определено для параболы.
У параболы всего одно фокусное расстояние, однако с учетом того,
что r1 = r2, для параболы мы можем написать, что ее эксцентриситет = 1.
И, наконец, для гиперболы,
у которой имеется обратное соотношение между c и a,
мы получаем, что эксцентриситет гиперболы > 1.
Хотя в случае гиперболы вторая полуось не столь очевидна, как в случае эллипса.
Но в любом случае мы можем с вами вот такую вот геометрическую и
алгебраическую аналогию провести между всеми
тремя кривыми второго порядка.
