Курс является связующим звеном между математическими курсами общеобразовательной средней школы и вузовскими математическими курсами, частично входящими в основные образовательные программы высшего образования. Отбор содержания курса и его компоновка носит авторский характер. Слушатель, освоивший программу, должен: владеть: • методами аналитической геометрии для решения задач, возникающих при формализации простых геометрических моделей; • методами линейной алгебры для решения систем линейных уравнений второго и третьего порядка; • методом координат для решения задач аналитической геометрии. уметь: • решать задачи на проценты, арифметические прогрессии, геометрические прогрессии; • решать линейные и квадратичные уравнения; • решать неравенства методом интервалов; • выполнять действия с векторами и их проекциями; • проводить тригонометрические преобразования; • решать тригонометрические уравнения; • вычислять определители второго и третьего порядка; • решать системы третьего порядка методом Крамера; • перемножать матрицы; • переходить от декартовых координат к полярным; • решать задачи о сложных процентах; • решать задачи о сложном движении под действием разнонаправленных сил. знать: • базовые математические понятия; • системы счисления; • типы множеств вещественных чисел; • основные функции и их свойства, область определения и область существования функции; • скалярное произведение и его свойства; • решать задачи на нахождение угла между прямыми; • определения и свойства эллипса, гиперболы, параболы; • определения тригонометрических функций; • теорему Пифагора, теорему косинусов, теорему синусов; • матрицы, определители, миноры, алгебраические дополнения; • методы решения задач с параметрами.
Парабола
Loading...
来自 Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University 的课程
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
17 个评分
Explore Related Videos
At Coursera, you will find the best lectures in the world. Here are some of our personalized recommendations for you
Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University
17 个评分
从本节课中
Линии на плоскости
В данном разделе мы разберемся, как найти расстояние от точки до начала системы координат, узнаем, что такое параметрическая функция и как она задаётся, а так же ответим на вопрос, что такое кривая второго порядка.
与讲师见面
Антонов Валерий ИвановичДоктор технических наук.
Заведующий кафедрой высшей математики Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого.
[БЕЗ_ЗВУКА]
[ШУМ] Парабола.
Как и в предыдущих двух случаях,
мы с вами рассмотрим несколько иной подход к понятию кривой, которая,
в общем-то, вам давно известна, а именно геометрически.
И давайте поступим так же, как в предыдущих случаях — с того,
что нарисуем нашу систему координат.
[ШУМ] Опять
же возьмем фокус — он в данном случае будет один.
И вот это вот расстояние — здесь мы проведем прямую.
Прямая эта называется директриса, direct — это «прямой».
Вот это вот расстояние
N F будет = p.
Ось y мы проведем точно посередине
и построим вот такую кривую,
которая будет обладать следующим свойством.
Значит, это опять переменная точка M.
Проведем два радиуса-вектора, или просто два радиуса,
из точечки.
Это r1, это r2.
И потребуем, чтобы расстояние до прямой директрисы
r2 было = расстоянию до фокуса r1.
В этом случае фокус у нас имеет координаты
p / 2, 0.
r2 — это у нас
с вами √(x
+ p / 2)².
Можно было, конечно, написать и без корня, но так более понятно.
И второе — у нас с вами теперь r1.
В r1 у нас с вами будет присутствовать y, в r2 его нету,
потому что y не изменяется при горизонтальном расположении прямой.
Итак, r1 будет = √ — давайте смотреть.
Это будет (x − p / 2)² + y².
Приравняем r2 к r1 и получим
следующее: √ (x
+ p / 2)²
= √ (x −
p / 2)² + y².
Так же, как и в предыдущих случаях понятно, что здесь даже проще будет.
Возведем в квадрат, приведем подобные и получим следующее уравнение: y² = 2 px.
Вот это уравнение является каноническим уравнением параболы, но,
в отличие от случая y = x², расположение ветвей здесь у нас с вами горизонтально.
Парабола обладает одним замечательным свойством,
которое широко используется в технике.
Но для этого мы должны будем с вами понять,
что такое отражение от некоторой поверхности или от некоторой кривой.
Значит, если у нас с вами есть некоторая кривая,
вот эта вот точечка — к ней касательная и нормаль,
— то если луч света падает
в эту точку под углом некоторым,
то отражается он от нее вот под таким углом.
Или если с этой стороны, то это будет вот так вот.
Значит, этот угол — α1, этот угол — α2.
Обычно эти углы измеряются между направлением луча и направлением нормали.
В этом случае,
в случае такого отражения, у нас угол падения равен углу отражения.
Так вот, утверждается следующее: что если мы с
вами рассмотрим — давайте заново нарисуем нашу параболу.
[ШУМ] Возьмем ее фокус,
и вот она у нас там.
[ШУМ] И возьмем лучи,
которые направлены параллельно оси Ox, например вот такой луч.
Утверждается, что после отражения он пройдет через фокус.
И любой луч, направленный горизонтально, обязательно пройдет через фокус.
Но для того чтобы доказать этот факт, нам с вами понадобится уравнение
касательной — я надеюсь, вы его знаете: y − y0 =
f'(x0) (x − x0).
Я не касаюсь в нашем курсе производной,
потому что это больше относится к математическому анализу.
Но, я думаю, что это уравнение вам известно.
Если нет, то вот оно здесь записано.
И я вам предлагаю — это, правда, не очень просто,
самим попробовать доказать вот это замечательное свойство параболы.
Чем оно замечательно?
Оно замечательно двумя вещами.
Первое: если мы сделаем зеркало, например,
телескопа в виде некоторой поверхности, обладающей вот этой параболичностью,
например повернем эту параболу вокруг своей оси, то все параллельные лучи,
например, приходящие из космоса, будут собираться в одной точке.
Сюда можно поставить датчик и наблюдать за тем, что происходит в нашей Вселенной.
Можно поступить наоборот: поместить в эту точку источник света,
и тогда наше параболическое зеркало — обычно это либо автомобильная фара, либо
прожектор, который имеет такую же форму, — дадут нам параллельный пучок света.
Итак, я предлагаю попробовать вам самим доказать это замечательной
свойство параболы.
А теперь вернемся к нашим кривым второго порядка и еще немножко
поговорим о их свойствах.
Давайте вспомним наш эллипс для начала.
Вот я его рисую.
У него два фокуса будут.
Вот так вот сейчас.
[ШУМ] Здесь
у него два фокуса,
фокусные расстояния — это 2c.
Что у нас есть 2c — расстояние между фокусами.
У нас есть 2a — это на самом деле
если идти вдоль оси Ox, то это ось эллипса.
И есть b — b²,
равное √a² − c².
Легко видеть, что b — это вторая ось или полуось.
Значит, вот это вот у нас с вами b,
а вот это вот у нас с вами расстояние, вот это вот,
a, и вот это фокусное расстояние c.
Вводится понятие эксцентриситета,
которое определяется следующим образом: ε — очень хорошая греческая
буковка — определяется как отношение c / a.
Так как для эллипса фокусное расстояние меньше,
чем его полуось, то для эллипса ε будет ≤ 1.
Почему я говорю «=1»?
Потому что, на самом деле, есть частный случай эллипса,
когда у нас с вами фокусы начнут собираться в одну точку.
И что мы с вами получим?
Мы с вами получим окружность.
[ШУМ] Когда ε = 1?
С эллипсом такое не проходит, но это может быть определено для параболы.
У параболы всего одно фокусное расстояние, однако с учетом того,
что r1 = r2, для параболы мы можем написать, что ее эксцентриситет = 1.
И, наконец, для гиперболы,
у которой имеется обратное соотношение между c и a,
мы получаем, что эксцентриситет гиперболы > 1.
Хотя в случае гиперболы вторая полуось не столь очевидна, как в случае эллипса.
Но в любом случае мы можем с вами вот такую вот геометрическую и
алгебраическую аналогию провести между всеми
тремя кривыми второго порядка.
