Курс состоит из нескольких жизненных сюжетов, каждый из которых разбирается "по косточкам" и, как выясняется, содержит внутри себя нетривиальное математическое ядро. Это ядро далее также бьётся на "элементарные частицы" - так, что у слушателей возникает понимание всех глубинных механизмов рассматриваемой ситуации. Сюжеты сгруппированы по смыслу: каждая группа сюжетов вращается вокруг одной и той же основополагающей математической идеи. Таких идей всего пять: инвариант, шаг через бесконечность, непрерывность физических процессов, самоподобие природы и нашего её восприятия, и, наконец, алгебраическая природа различных чисел. Курс предназначен для всех, кто хочет лучше представлять себе тот мир, в котором мы живём. Не имея никаких предварительных знаний, слушатели будут введены в курс дела: какая техника используется в математике ("абсолютное доказательство" как главное отличие математического знания от любого иного) и как строить рассуждения. Вскоре выйдет вторая часть, "Математика для энтузиастов", которую нужно будет уже изучать "с листочком бумаги и ручкой в руках". В ней встретится более нетривиальный материал, в том числе "приводные ремни" современной математики - "группы" и "поля". Кроме того, будут вскрыты весьма нетривиальные подоплёки многих школьных задач. Курс состоит из 6 недель и 6 контрольных работ по окончании каждой недели. Для успешного прохождения курса необходимо успешно преодолеть все 6 испытаний.
О футбольном мяче и бублике
Loading...
来自 Moscow Institute of Physics and Technology 的课程
Математика для всех
295 个评分
从本节课中
Формула Эйлера
На второй неделе вы познакомитесь с некоторыми понятиями из топологии и узнаете доказательство красивой и важной теоремы Эйлера.
与讲师见面
Савватеев Алексей ВладимировичДоктор физико-математических наук
Кафедра дискретной математики МФТИ
Бычков Борис СергеевичКандидат физико-математический наук, младший научный сотрудник международной лаборитории теории представлений и математической физики НИУ ВШЭ
Кафедра дискретной математики
Возьмем обычный футбольный мяч — мяч,
который продается в любом спортивном магазине.
И давайте на него посмотрим
с точки зрения того, из чего он сделан.
Если внимательно его рассмотреть,
он сшит из пятиугольников и шестиугольников.
При этом пятиугольники можно аккуратно посчитать,
сколько их на поверхности мяча — их 12, а шестиугольников 20.
Ну и они по некоторым правилам друг к другу пришиты.
предположим,
что вам дано четыре таких мяча, одинаковых футбольных мяча.
Вы берете нож и разрезаете четыре мяча на шестиугольники
и пятиугольники отдельные, на лоскутки.
И все лоскутки бросаете на стол — вот у вас из четырех мячей
возникла такая большая-большая куча лоскутков.
Среди них 80 шестиугольников и 48 пятиугольников.
можно ли из этих лоскутков теперь
сшить один мяч большего размера?
Понятно, что он будет по радиусу, если это получится,
то по радиусу он должен быть вдвое большего размера,
потому что поверхность его в четыре раза больше будет.
Ну эта формула еще из школы, наверное, известная.
можно ли, раскроив на лоскутки четыре
футбольных мяча, сшить один футбольный мяч
вдвое большего размера?
И, как правило, все говорят, что, конечно, да.
Почему бы нет?
Какие здесь могут быть препятствия?
любопытствующие граждане могут взять и сделать
это физически — просто попробовать нитками
как-нибудь по-грубому начать сшивать, и попробовать сделать такой мяч.
Но это займет, наверное, полдня.
И фокус в том, что это не получится.
То есть после того как вы начнете, некоторое время все будет получаться,
лоскутки будут сходиться, мяч будет расти, расти.
Но ближе к концу будет возникать ситуация,
что вам будет хотеться использовать
всё больше шестиугольников и всё меньше пятиугольников,
иначе у вас начинается, мяч — он не будет как бы,
вот эта вот вся поверхность, она не будет приходить
вот к такой круговой форме, то есть она не будет превращаться
в поверхность мяча, она не будет становиться сферой.
Будет происходить какая-то странная вещь:
вот эти вот лоскутки, если вы будете пытаться всунуть
вот эти пятиугольники остающиеся,
они у вас будут, как рога, выступать с разных сторон.
И вот эта вот причудливая, замысловатая «рогатая» конструкция
— она никак не будет сшиваться в мяч.
а в чем же состоит препятствие?
Почему нельзя сшить футбольный мяч
из 80 шестиугольных лоскутков и 48 пятиугольных?
Ответ на этот вопрос весьма нетривиален,
и он связан с топологией, с топологией — наукой,
которая изучает как раз
дискретные инварианты непрерывных объектов
с топологией сферы, то есть поверхности шара,
а футбольный мяч — это сфера.
Наша Земля, поверхность Земли — это тоже сфера,
потому что Земля — это шар, соответственно,
поверхность Земли — сфера.
С точки зрения тополога, никакой разницы между
поверхностью футбольного мяча и поверхностью Земли просто нет,
это один и тот же объект.
Так же, с точки зрения тополога, нет разницы между
мячом и кубиком, кубиком Рубика, например.
Поверхность кубика Рубика, с точки зрения топологии,
это то же самое, что поверхность футбольного мяча.
И это уже довольно странно слушать человеку,
который не думал об этих вещах, ведь у кубика много углов каких-то там
— углы сходятся, значит, углами поверхности, есть трехгранные углы.
Здесь никаких углов, в общем-то, нет.
И особенно у круглого футбольного мяча,
такого резиного детского, вообще нет никаких углов.
Но тополог скажет вам, что это совершенно неважно,
потому что существует способ непрерывно преобразовать
футбольный мяч в куб — непрерывно, так сказать,
можно при этом делать вот такие вот изломы, но нельзя разрывать.
То есть, с точки зрения тополога, это то, что в математике называется
взаимно однозначным соответствием,
когда каждой точке футбольного мяча
ставится в соответствие некоторая точка поверхности куба.
И наоборот — разным точкам разные точки в соответствие ставятся,
то есть мы изменяем поверхность футбольного мяча,
её как-то так вот гранируем, гранируем её вот так,
получается у нас куб.
И тетраэдр то же самое — можно сделать из футбольного мяча,
как-то более остро так это вот здесь изгибая,
но опять же ничего не разрывая.
так, может быть, вообще все поверхности
совершенно одинаковы, и не существует
разных поверхностей с точки зрения топологии?
Раз такие разные поверхности, как поверхность куба и поверхность
футбольного мяча, оказываются одинаковыми,
ну наверное, вообще все поверхности одинаковы.
Ответ отрицательный.
Давайте посмотрим вот на эту поверхность.
Это то, что математики называют «тор».
А в просторечье это именуется камерой,
или спасательным кругом, как вот этот вот объект.
Похожий объект — бублик.
Я думаю, что те, кто внимательно слушали про топологию,
сразу скажут, что бублик, который вы можете купить в магазине,
его поверхность и поверхность вот такого спасательного круга
— это одно и то же, с точки зрения топологии.
Ну конечно, можно растянуть, и получится вот такая поверхность.
Но есть строгий математический результат о том, что не существует
ни одного непрерывного преобразования футбольного мяча вот в такой вот тор.
И это утверждение, как ни странно, не очень простое.
Нам кажется, оно — ну как бы после рассмотрения этих двух объектов,
— оно нам, наверное, покажется каким-то таким
очевидным в силу нашего жизненного опыта.
Ну как вы с помощью растягивания футбольного мяча
вот эту вот дырку создадите?
Но эта очевидность опять будет следовать только из нашего
бытового опыта, которого, в принципе,
у человека, изучающего математику, может и не быть.
Поэтому вопрос о том, как передать вот это,
как доказать это утверждение, как передать это знание кому-то,
кто не имеет этого бытового опыта?
Какому-нибудь инопланетянину, например.
Вот это вопрос, которым мы будем
на этой неделе как раз заниматься.
То есть я буду строго доказывать, что поверхность футбольного мяча
и поверхность вот такого вот бублика, такого спасательного круга
— это топологически разные объекты.
Что это, в частности, означает?
Что из одних и тех же лоскутков нельзя сшить и это, и это.
Иногда можно сшить это, но нельзя это,
иногда можно сшить футбольный мяч, нельзя это.
Ну а из некоторого набора лоскутков нельзя ни того, ни другого сшить.
И вот это будет предметом нашего изучения в этой лекции.
И именно здесь кроется ответ,
здесь прячется ответ на вопрос:
из чего можно, а из чего нельзя сделать футбольный мяч?
