Курс состоит из нескольких жизненных сюжетов, каждый из которых разбирается "по косточкам" и, как выясняется, содержит внутри себя нетривиальное математическое ядро. Это ядро далее также бьётся на "элементарные частицы" - так, что у слушателей возникает понимание всех глубинных механизмов рассматриваемой ситуации. Сюжеты сгруппированы по смыслу: каждая группа сюжетов вращается вокруг одной и той же основополагающей математической идеи. Таких идей всего пять: инвариант, шаг через бесконечность, непрерывность физических процессов, самоподобие природы и нашего её восприятия, и, наконец, алгебраическая природа различных чисел. Курс предназначен для всех, кто хочет лучше представлять себе тот мир, в котором мы живём. Не имея никаких предварительных знаний, слушатели будут введены в курс дела: какая техника используется в математике ("абсолютное доказательство" как главное отличие математического знания от любого иного) и как строить рассуждения. Вскоре выйдет вторая часть, "Математика для энтузиастов", которую нужно будет уже изучать "с листочком бумаги и ручкой в руках". В ней встретится более нетривиальный материал, в том числе "приводные ремни" современной математики - "группы" и "поля". Кроме того, будут вскрыты весьма нетривиальные подоплёки многих школьных задач. Курс состоит из 6 недель и 6 контрольных работ по окончании каждой недели. Для успешного прохождения курса необходимо успешно преодолеть все 6 испытаний.
Теория 6 рукопожатий
Loading...
来自 Moscow Institute of Physics and Technology 的课程
Математика для всех
299 个评分
从本节课中
Элементы комбинаторики
На пятой неделе вы познакомитесь с несколькими сюжетами из мира теории вероятности, комбинаторики и графов.
与讲师见面
Савватеев Алексей ВладимировичДоктор физико-математических наук
Кафедра дискретной математики МФТИ
Бычков Борис СергеевичКандидат физико-математический наук, младший научный сотрудник международной лаборитории теории представлений и математической физики НИУ ВШЭ
Кафедра дискретной математики
Теория шести рукопожатий. Тоже знаменитая вещь.
любые наугад взятые два человека
знакомы через пять промежуточных людей.
В буквальном смысле это утверждение, видимо, неверно.
Но оно верно приблизительно, то есть если мы возьмем
двух наугад людей где угодно на планете Земля,
то с очень большой вероятностью, приближающейся к единице,
окажется, что можно найти пять посередине
промежуточных людей, таких, что первый знаком
с первым из них, потом эти пятеро друг с другом
по очереди знакомы, и последний знаком с последним.
Я хочу придать этому утверждению такой очевидный смысл,
почему оно должно быть верно.
И заодно слушатели вспомнят, что такое логарифм.
Итак, скажите пожалуйста, сколько у вас знакомых?
Вот, допустим, это я.
Сколько у меня знакомых?
Наверное, я не очень типичен, у меня знакомых несколько тысяч.
Но типичный человек знаком ну уж точно
с несколькими десятками, может быть, с сотней людей.
Хорошо, давайте так и нарисуем.
Точечку, вот этого человека, и все его знакомства,
как и раньше, изобразим рёбрами.
Вот с той стороны рёбер люди, с которыми этот человек знаком.
Прекрасно.
Их в районе, ну допустим, в районе 100.
Идем дальше.
Рассмотрим любого из них.
Некоторые, может быть, какие-нибудь такие нелюдимые,
у них всего пара-тройка знакомых, но, конечно, в среднем
мы ожидаем, что у знакомых вот этого вот человека
тоже примерно 100 знакомых или что-то в этом духе, может быть, 50.
Поэтому из каждой вот этой вот точки
тоже идет в районе 50 или 100 рёбер, выходят отрезки.
И, соответственно, тех,
кто знаком нашему через одного,
уже оказывается приблизительно
100 на 100, то есть 10 000 человек.
Это вполне разумно.
Некоторые рёбра идут, одно из рёбер идет всегда назад,
к этому человеку, но все остальные-то рёбра идут к каким-то еще знакомым.
Значит, с некоторой погрешностью мы можем сказать,
что знакомых «через один» у типичного человека должно быть в районе 10 000.
Хорошо же.
Возьмем теперь вот этих знакомых «через один»,
у каждого из них тоже 100 знакомых.
И при том, что бывает вот такая ситуация:
бывает, что вы знакомы с кем-то «через один»,
но он с вами тоже знаком, она бывает довольно часто,
но всё равно из этих 100 отрезков,
скорее всего, может быть, 10–20 будут--
Значит, из этих вот людей, может быть,
какое-то количество отрезков и ведет назад,
но в основном они ведут опять к новым людям.
Поэтому знакомых
«через два»,
уже порядка 100 * 100 * 100,
то есть порядка миллиона человек.
И если мы будем какие-то оценки погрешности делать,
скажем, если 100 — это неправильное число,
а правильно 50, всё равно
(50 * 50 * 50) — это очень большое число.
50 * 50 * 50 = 125 000, то есть это хоть и не миллион,
но тоже очень много.
Ну а если я возьму знакомых «через три»,
то мне снова нужно умножить это число еще на 100 или на 50.
И ясно, что через пару раз уже получится здесь
10 миллиардов, то есть все население Земли.
Поэтому ничего удивительного в этом нет.
Количество рукопожатий, которое требуется,
чтобы дойти от одного человека до другого,
приблизительно равно той степени, в которую нужно возвести 100,
чтобы получить население Земли.
То есть, грубо говоря, логарифму по основанию 100 населения Земли,
которое ограничивается десять в десятой.
Вот, то есть примерно получилось пять.
Тем самым, значит, через шесть знакомых уже всё,
уже вся Земля будет покрыта или почти вся.
Вот очень простая иллюстрация.
Очень простая иллюстрация того,
что теория шести рукопожатий должна быть верной.
Но на практике, надо сказать, что,
как правило, люди из каких-то дальних стран знакомы,
грубо говоря, через своих президентов.
То есть все президенты всех 200 стран мира,
конечно, друг с другом знакомы непосредственным рукопожатием.
Всякие там советы, обсуждения стратегии развития планеты,
форумы — понятно, что все президенты друг друга знают.
То есть вот здесь 200 президентов, и это, как говорят математики,
полный граф, то есть здесь каждый с каждым знаком.
Потом, через сколько людей типичный представитель страны Гана,
например, типичный житель Ганы, знаком со своим президентом?
Как правило, там, может быть, прямой начальник,
следующий начальник и уже президент.
Дальше идет стрелочка к президенту России,
и здесь тоже от любого из нас к президенту России
примерно два звена, три звена — такого порядка.
То есть у каждого есть знакомый какой-нибудь
очень влиятельный человек, который если не сам
с президентом общался, то уж точно уже через кого-то общался.
Вот, ну про себя я, например, совершенно точно знаю,
что до президента у меня ровно два ребра,
то есть ровно через одного человека я знаком с президентом,
причем этот вот один человек, у меня таких людей
довольно много даже, через которых я могу вот эту вот связь установить.
То есть получается, что два звена до президента.
В среднем по России, наверное, будет три звена.
И тем самым понятно, откуда берется вот это шесть,
то есть внутри страны где-то три,
и вне потом через президента и еще где-то три.
Вот теория шести рукопожатий.
