Итак, подводим итог.
Футбольный мяч невозможно сшить из одних шестиугольников.
Более того, если вы сшиваете футбольный мяч из шестиугольников
и пятиугольников, то пятиугольников должно быть ровно 12.
При этом плоскость можно, конечно, замостить одними шестиугольниками
— всем известная картинка пчелиных сот, а также
плиточного замощения площадей или кафеля в ванне.
Когда я иду от станции Долгопрудная
к «Физтеху», я всегда смотрю под ноги на замощения,
которые появляются в разные моменты времени.
И то они такие, то из невыпуклых шестиугольников,
в общем, много интересного можно понаблюдать
прямо по пути от платформы сюда.
Значит, шестиугольниками, правильными шестиугольниками,
можно замостить всю плоскость.
а экземплярами каких вообще
многоугольников можно замостить плоскость?
Предположим, что вам жена говорит:
«Милый, мне бы хотелось, чтобы наша ванна была замощена
девятиугольниками, одинаковыми девятиугольниками».
И посылает вас за соответствующими плитками куда-то в магазин.
Вот что вы должны ей на это ответить?
Получится это или не получится?
Или это, может быть, от формы девятиугольника зависит?
Вот сейчас мы с вами немножко поговорим о замощениях плоскости.
Сделаем обзор основных результатов, которые на сегодня имеются.
Давайте начнем с треугольников.
Правильным треугольником так же, как и правильным шестиугольником,
можно замостить всю плоскость.
Копиями правильного треугольника, вот, пожалуйста, картинка получается.
Ну и совершенно по аналогии с этим совершенно произвольным треугольником
можно замостить плоскость, если мы из двух таких треугольников
перекручиваем 180 градусов, составляем параллелограмм,
ну и дальше просто его вот так клонируем влево и вправо
этот параллелограмм, мы получаем целую параллельную полосу.
После чего эту полосу мы клонируем также вверх и вниз,
и у нас получается, значит, замощение всей плоскости
экземплярами совершенно произвольного треугольника.
Хорошо, здесь, соответственно, задача полностью решена.
Возникает вопрос о четырехугольниках.
Эту картинку мы с вами уже видели в процессе первой недели,
и она в том числе говорит о том, что плоскость может быть замощена
квадратами, но это тоже каждый ребенок двухлетний,
наверное, уже знает.
а любым ли четырехугольником можно замостить плоскость?
Или, может быть, можно, скажем, выпуклыми, и нельзя — невыпуклыми,
или какие-то специальные характеристики должны быть у углов?
Вообще, есть ли условия на четырехугольник, такие,
что экземплярами этого четырехугольника,
копиями этого одного и того же четырехугольника,
можно замостить всю плоскость?
Ответ такой — абсолютно любым четырехугольником,
его копиями, можно замостить всю плоскость.
И я предлагаю всем слушателям самостоятельно в этом убедиться,
то есть нарисовать на своей тетрадочке
какой-нибудь четырехугольник,
причем что выпуклый, что невыпуклый — неважно совершенно,
и попытаться нарисовать замощение, в котором будет участвовать
только соответствующая фигура.
Это не очень сложная задача.
И таким образом получается, что копиями любого треугольника
и копиями любого четырехугольника плоскость замощается.
С пятиугольниками ситуация осложняется.
Уже копиями правильного пятиугольника
замостить плоскость не получается
угол у пятиугольника,
а все углы одинаковые — сумма углов пятиугольника,
наверное, многие из школы помнят,
равна 540 градусов.
Но как это можно было бы доказать?
Ну надо было бы его разбить на два треугольника,
и тогда сумма углов у пятиугольника
равна сумме углов у всех трёх треугольников.
Но так как у любого треугольника на плоскости сумма углов
равна 180 градусов, то получается, что у пятиугольника
— у нашего пятиугольника и вообще у любого пятиугольника
— сумма углов будет 540 градусов.
Но тем самым угол при вершине должен быть равен
540 градусов делить на пять.
То есть этот угол равен 108 градусов.
А развернутый угол — это 360 градусов.
Нацело не делится.
Видите? Три угла влезают, и остается зазор.
Зазор размером в 36 градусов, который уже, конечно,
вы правильный пятиугольник никак не засунете.
Поэтому, начиная с пятиугольников, вопрос уже становится
иногда замостить пятиугольниками можно,
а иногда нельзя.
А бывает ли вообще, чтобы было можно?
Может быть, вообще пятиугольниками нельзя замостить плоскость?
Нет, пожалуйста, пятиугольное замощение плоскости.
Это копия одного и того же пятиугольника.
Вот, пожалуйста, еще пример.
Еще пример.
Есть много довольно разных картинок,
которые все представляют собой пятиугольное замощение плоскости.
Такими можно, такими можно, такими, такими, такими.
Видите, много разных пятиугольников бывает,
которыми можно замостить плоскость, но при этом мы знаем,
что бывает также, что и нельзя.
какими пятиугольниками можно
и какими нельзя замостить плоскость?
Можно ли на этот вопрос ответить, существует ли у ученых
на данный момент ответ на этот вопрос, и если да,
то каков он, этот ответ?
Савватеев Алексей ВладимировичДоктор физико-математических наук
Бычков Борис СергеевичКандидат физико-математический наук, младший научный сотрудник международной лаборитории теории представлений и математической физики НИУ ВШЭ
