Ces quelques leçons de mécanique lagrangienne font partie d'un cours de formation de base en mécanique Newtonienne présenté sous la forme d'un MOOC en quatre parties : 1. Lois de Newton https://www.coursera.org/learn/mecanique-newton 2. Mécanique du point matériel https://www.coursera.org/learn/mecanique-point-materiel 3. Mécanique du Solide Indéformable https://www.coursera.org/learn/mecanique-solide 4. Mécanique Lagrangienne Le formalisme de Lagrange permet une résolution efficace de problèmes complexes de mécanique. Il permet aussi d'apporter un éclairage plus fondamental sur les lois de conservation (théorème de Noether). A titre d'illustration de la méthode de Lagrange, on traitera le problème très important des oscillateurs harmoniques couplés, exprimé comme un problème de valeurs propres et de vecteurs propres. On termine avec un formalisme permettant d'analyser les résonances paramétriques, notion illustrée par l'expérience montrant la stabilité d'un pendule inversé forcé.
23.2 Transformation de Lorentz : applications
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Mécanique Lagrangienne
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Cinématique relativiste (optionnel)
Dans cette introduction à la cinématique relativiste, on applique des principes de symétrie très généraux pour arriver aux célèbres transformations de Lorentz. Avec elles, on explique ce qu'on entend par contraction des longueurs et dilatation du temps.
与讲师见面
Jean-Philippe AnsermetProfesseur
Institut de Physique de la Matière Condensée, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Suisse
Bonjour.
Bienvenue au cours de physique général de l'EPFL.
Pour cette leçon, on pose les bases de la cinématique relativiste.
On a vu la transformation de Lorentz, et ici on va y voir quelques applications.
D'abord, on va parler de contraction des longueurs,
et ensuite de dilatation du temps qu'on
illustrera avec l'idée d'Einstein d'une horloge lumineuse.
Je commence avec la contraction des longueurs.
Le problème doit être posé avec précision, sinon
on va rester dans la confusion la plus totale.
J'imagine donc deux référentiels. Référentiel x prime, y prime,
z prime se déplace à la vitesse v par rapport au référentiel x ,y, z.
J'ai un barreau posé dans le référentiel x prime,y prime,z prime.
Ce barreau est au repos dans le référentiel.
Sa longueur, je la note l zéro. Maintenant,
je pose la question suivante: quelle est la longueur
du barreau que je mesure dans le référentiel x, y, z dans
lequel ce barreau va à la vitesse v à un instant
donné de ce référentiel x, y, z?
Alors on va utiliser la transformation de Lorentz
pour analyser cette question. Je rappelle la formule
pour la coordonnée x prime. Maintenant, je la
transforme pour trouver x en fonction de x prime et de t.
Et j'applique cette formule pour les deux extrémités du barreau.
Une extrémité du barreau est à la coordonnée x prime égale zéro donc
je vais, pour un bout de la règle
dire que x, le x, c'est ce système de coordonnées,
ce x vaut zéro, x prime égale zéro plus vt, et le x
de l'autre bout du barreau, dans ce
cas là, x prime vaut l zéro, j'ai l zéro
fois cette racine plus vt. Maintenant la question que j'ai posée
c'est quelle est la longueur du barreau, donc la différence entre ces deux
coordonnées, à un instant donné du référentiel x, y
,z, donc à un t donné? Ce t.
Ce t doit être le même ici et là. Alors évidemment qu'est-ce
qu'on trouve? Ceci.
On trouve que l, la mesure de la longueur de ce barreau
dans le référentiel x, y, z, dans lequel le barreau à la vitesse v, ce
n'est pas la vitesse, ce n'est pas la longueur l zéro, c'est l zéro fois ce
coefficient qui est plus petit qu'un, d'où le terme "contraction des longueurs."
Je passe
maintenant à la question dite "la dilatation du temps."
Je pose la question suivante: j'ai une horloge dans un
référentiel immobile, dans le référentiel x prime, y prime, z prime, qui
lui-même se déplace à la vitesse v par rapport au référentiel x, y, z.
Donc j'ai une horloge qui se déplace à la vitesse v dans le référentiel
x, y, z, et si j'ai un certain laps de temps entre deux battements de
l'horloge, je demande quel va être le laps de temps dans le référentiel x, y, z.
Pour ce faire, j'utilise la transformation de Lorentz, cette fois-ci j'aurai
besoin des deux transformations, au temps du premier battement.
Je vais supposer
que ce premier battement, je le détecte au temps t zéro
dans ce référentiel-là, et j'ai
l'horloge qui est à la position x prime égal zéro, et
je suppose que le premier battement a lieu au temps t prime égal zéro, donc
j'ai écrit t prime égal zéro ici et x prime égal zéro, j'ai croisé
les deux parce que ça c'est la formule conventionelle et ici on va se concentrer
sur les temps mais on est obligé d'utiliser la coordonnée d'espace, cette
équation-là me donne le x à ce temps t zéro.
Ici je trouve x vaut vt zéro. Quand je
mets ce x ici, je dois nécessairement
avoir t zéro qui est nul, et si t zéro est nul, x est nul.
X est nul.
Voilà le premier temps, au moment du premier battement.
Au deuxième battement, j'ai attendu un laps de temps que j'appelle tau,
lettre grec qui suggère en cinématique relativiste qu'on traite un temps propre.
C'est un temps
propre en ce sens que c'est un temps qui est mesuré là où l'horloge est au repos.
Donc, j'applique cette formule-là avec t
prime qui vaut tau, et je suppose que le battement est
perçu dans ce référentiel-là au temps t 1 du référentiel
x, y, z. Avec la relation x ici,
j'ai, encore une fois mon horloge est à x prime égal zéro, donc j'ai zéro ici, et
ça, ça me donne x, qui vaut vt 1, que je mets ici, comme ceci.
Je trouve donc tau, qui est lié à t 1, comme ça.
Et quand je nettoie mon algèbre je trouve que t 1, donc le temps entre deux
battements d'horloge dans, avec la coordonnée
temps du référentiel x, y, z, c'est le temps propre
divisé par cette racine de un moins v carré sur c carré.
Donc t 1, t 1 est plus grand que tau et on utilise le terme "dilatation du temps."
Einstein proposait
d'examiner une horloge lumineuse, une horloge qui dans le
référentiel où l'horloge est au repos avait cette allure-à.
Vous avez un miroir ici, un miroir là, et
vous avez un faisceau lumineux, qui se propage comme ça.
Et le temps pour aller d'un miroir à
l'autre, je l'appelle tau, c'est un temps propre.
Si maintenant, on regarde cette horloge quand elle
se déplace, on a, donc dans un autre système de
référentiels, celui où on voit l'horloge qui se déplace, on
a, pendant un temps t, on a l'horloge
qui fait un mouvement vt, pendant que,
le flash lumineux va d'un miroir à l'autre pendant
un temps tau.
Le flash lumineux parcourt c tau et, le rayon lumineux
lui est oblique comme ceci, et il parcourt cette distance
avec ct, où j'ai utilisé c parce que je sais
que j'ai la vitesse de la lumière dans tous les référentiels.
Maintenant, théorème de Pythagore, donc ça c'est bien le temps propre.
Le théorème
de Pythagore nous dit que c carré fois le temps propre carré, cette
longueur-là, c'est c carré t carré moins v carré t carré.
Je réarrange l'arithmétique et je me retrouve avec t qui vaut
tau sur racine de un moins v carré sur c carré aussi.
Donc on comprend avec cet exemple d'horloge lumineuse
pourquoi on a cette dilatation du temps.
