Ces quelques leçons de mécanique lagrangienne font partie d'un cours de formation de base en mécanique Newtonienne présenté sous la forme d'un MOOC en quatre parties : 1. Lois de Newton https://www.coursera.org/learn/mecanique-newton 2. Mécanique du point matériel https://www.coursera.org/learn/mecanique-point-materiel 3. Mécanique du Solide Indéformable https://www.coursera.org/learn/mecanique-solide 4. Mécanique Lagrangienne Le formalisme de Lagrange permet une résolution efficace de problèmes complexes de mécanique. Il permet aussi d'apporter un éclairage plus fondamental sur les lois de conservation (théorème de Noether). A titre d'illustration de la méthode de Lagrange, on traitera le problème très important des oscillateurs harmoniques couplés, exprimé comme un problème de valeurs propres et de vecteurs propres. On termine avec un formalisme permettant d'analyser les résonances paramétriques, notion illustrée par l'expérience montrant la stabilité d'un pendule inversé forcé.
Expériences leçon 22
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Mécanique Lagrangienne
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Principe de relativité (optionnel)
Partant des concepts vu à la leçon 15 sur les changements de référentiel, on rappelle le principe de relativité de Galilée. Avec une condition supplémentaire sur la vitesse de la lumière, on voit qu'on a un problème et qu'il faut changer la façon de relier les coordonnées liées à deux référentiels d'inertie en translation uniforme l'un par rapport à l'autre.
与讲师见面
Jean-Philippe AnsermetProfesseur
Institut de Physique de la Matière Condensée, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Suisse
Bonjour.
Bienvenue au cours de physique générale de l’EPFL.
Dans cette leçon, on a parlé du principe de
relativité d’Einstein et de la vitesse de la lumière.
Ici, j’aimerais montrer une expérience qui permet
de mesurer la vitesse de la lumière.
Ce n’est pas une expérience suffisamment précise pour vérifier
les résultats de la cinématique relativiste.
Cependant, c’est l’occasion pour nous de penser un peu
plus en détail à la vitesse de la lumière.
Ensuite, je montrerai un interféromètre de Michelson.
Je commence avec la vitesse de la lumière.
Sur le schéma que vous avez sous les yeux, il y a
un laser qui émet un faisceau lumineux et
qui est réfléchi sur un miroir en rotation.
Ce qu’il faut voir dans cette expérience, c’est que pour une, et une seule
position de ce miroir, le faisceau est réfléchi dans cette direction, passe
à travers une lentille, un miroir, un autre miroir
et retour. Et quand ce faisceau-là, ou ce morceau,
ce segment de faisceau revient, le miroir a tourné un petit
peu et donc le faisceau, au lieu de revenir dans le laser,
part un petit peu de côté. Voici une
image du laser. Vous voyez que, on a mis
une réglette au ras du faisceau laser et lorsqu’on fera
tourner le miroir, on verra le faisceau revenir sur la
réglette, décalé à droite par rapport au bord de la réglette.
Maintenant je vous propose de regarder l’expérience.
Vous avez le laser au centre, contre le mur,
le miroir tournant, et après le long parcours après le miroir.
Et maintenant, on va enclencher le miroir tournant.
Voilà, à l’intérieur de cette cavité, il y a un miroir qui tourne à grande vitesse,
on va mesurer la vitesse. Voilà la réglette.
Et maintenant, on lance le miroir. Vous avez la vitesse
angulaire qui apparaît et vous voyez la déviation sur la réglette.
On a, j’ai estimé la
déviation à peu près 3,7 centimètres et j’ai retenu
comme valeur 588 tours par minute.
Maintenant, analysons cette expérience. Alors
on a comme valeurs retenues 588
tours, pardon c’est des tours par seconde, la
déviation 3,7, 588 tours par seconde, 3,7
millimètres, c’est une déviation d’un faisceau qui fait 5 mètres de long.
On peut donc calculer la déviation angulaire.
Voilà les 3,7 millimètres, divisés par 5 mètres,
ça me donne une déviation angulaire en radians.
Maintenant, on peut calculer la durée de l’impulsion
lumineuse, qui a fait ce trajet-là et retour.
Alors on prend la déviation angulaire du miroir, qui est la moitié de la déviation
angulaire du faisceau, divisée par la vitesse angulaire et on obtient,
à peu près, un dixième de microseconde. On a un déplacement de 30 mètres,
on en déduit une vitesse d’à peu près 3 fois 10 puissance 8 mètres par seconde.
Encore une fois c’est une mesure approximative, il est exclu de voir des
effets relativistes sur un tel dispositif. À la fin du dix-neuvième siècle,
certains imaginaient qu’un rayon lumineux devait être pensé comme
une vibration d’une substance que l’on appelait l’éther luminifère.
On doit s’imaginer que cet éther est immobile par rapport
aux étoiles et donc, la Terre se déplace dans l’éther.
Alors, la vitesse de la lumière n’est pas la même
si le rayon lumineux est dans le sens de déplacement de
la Terre ou à sa perpendiculaire. L’expérience de Michelson
cherchait à détecter cette différence grâce à un interféromètre qui
maintenant porte son nom. Vous avez, ici, une photo de l’expérience.
Vous voyez le faisceau lumineux du laser arriver sur un miroir semi-réfléchissant.
Une partie du faisceau
part dans cette direction-là, sur un miroir totalement réfléchissant, revient,
et une partie du faisceau, part comme ceci, et une autre partie du faisceau va
tout droit, est réfléchie et revient comme ceci et là ce qu’on détecte,
avec ce long temps de pause, c’est l’image d’interférences qui s’est construite,
qu’on va observer sur un écran de fond, sur le fond de, sur le fond noir.
Je passe maintenant à l’expérience elle-même.
Voilà notre interféromètre de Michelson et on va changer
très légèrement une distance sur un bras et vous
verrez sur la tache d’interférences, en haut de l’image,
un changement du réseau de diffraction, de, du réseau d’interférences.
Vous voyez.
Alors, la question qu’on peut se poser maintenant c’est : est-il possible
de tester si la Terre avance dans un éther luminifère ou pas?
Si on voulait faire l’expérience, il faudrait
considérer les grandeurs, les ordres de grandeurs suivants.
D’abord, on sait que la distance Terre – Soleil est
telle qu’il faut, à la lumière, à peu près, 8 minutes
pour arriver sur la Terre.
Comme l’orbite de la Terre est, à peu près, un cercle, on peut calculer,
et on sait que la période est un an, on peut calculer le rapport v sur c,
comme indiqué ici, parce que 2 pi fois 8 minutes, fois la vitesse de la lumière,
ça nous fait la longueur de l’orbite et cet orbite est parcouru en un an.
Ce qu’on
cherche, c’est un effet de l’ordre de v sur c au carré et quand on fait le
calcul, on obtient 10 puissance moins 8. Donc c’est un effet très petit.
Si maintenant on suppose que le réseau
d’interférences est sensible à une variation de
30 nanomètres sur la longueur d’un chemin, ou si l’on veut que le temps corresponde
à un changement de 30 nanomètres, il faudrait, si on avait 30 centimètres,
un chemin de 30 centimètres, on aurait une précision de 10 moins 7.
Il faut donc 3 mètres pour arriver à une précision de 10 moins 8.
Maintenant, je vous présente un détail expérimental qui montre la
difficulté de la réalisation d’une telle expérience, le coefficient d’expansion
thermique de nombreux matériaux est de l’ordre de 10 ppm par Kelvin,
donc 10 moins 5 par Kelvin et donc il faudrait, pour arriver
à une précision de 10 moins 8, avoir une thermalisation à 10 moins
3 Kelvins près sur 3 mètres, ce serait extrêmement difficile à réaliser.
Et si on
le réalisait, on n'aurait rien à voir puisqu’on a d’amples
vérifications de la théorie de la relativité et on sait que quand la
Terre tourne ou quand on tourne l’expérience dans le laboratoire, on ne,
quand l’expérience est bien faite, on ne doit rien avoir du tout.
Et par conséquent, personne n’a envie de construire cette expérience.
