Ces quelques leçons de mécanique lagrangienne font partie d'un cours de formation de base en mécanique Newtonienne présenté sous la forme d'un MOOC en quatre parties : 1. Lois de Newton https://www.coursera.org/learn/mecanique-newton 2. Mécanique du point matériel https://www.coursera.org/learn/mecanique-point-materiel 3. Mécanique du Solide Indéformable https://www.coursera.org/learn/mecanique-solide 4. Mécanique Lagrangienne Le formalisme de Lagrange permet une résolution efficace de problèmes complexes de mécanique. Il permet aussi d'apporter un éclairage plus fondamental sur les lois de conservation (théorème de Noether). A titre d'illustration de la méthode de Lagrange, on traitera le problème très important des oscillateurs harmoniques couplés, exprimé comme un problème de valeurs propres et de vecteurs propres. On termine avec un formalisme permettant d'analyser les résonances paramétriques, notion illustrée par l'expérience montrant la stabilité d'un pendule inversé forcé.
Expériences leçon 23
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Mécanique Lagrangienne
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Cinématique relativiste (optionnel)
Dans cette introduction à la cinématique relativiste, on applique des principes de symétrie très généraux pour arriver aux célèbres transformations de Lorentz. Avec elles, on explique ce qu'on entend par contraction des longueurs et dilatation du temps.
与讲师见面
Jean-Philippe AnsermetProfesseur
Institut de Physique de la Matière Condensée, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Suisse
Bonjour.
Bienvenue au cours de physique générale de l'EPFL.
Dans cette leçon, on a introduit les notions de cinématique relativiste.
En particulier, on a introduit cette notion
qu'on appelle communément la dilatation du temps.
Ici, j'aimerais évoquer une mesure qui illustre
cette notion de dilatation du temps, et j'aimerais
vous montrer comment, dans un laboratoire, on peut tenter d'observer cette dilatation
du temps. Je commence avec cette première
expérience qui concerne la production de muons dans la haute atmosphère.
Le phénomène est le suivant : des rayons cosmiques
arrivent sur la Terre, et des collisions ont lieu avec
les noyaux des molécules dans la haute atmosphère.
Lors de ces collisions, des muons sont produits.
On sait par ailleurs que le temps de
vie d'un muon est de l'ordre de deux microsecondes.
Et on observe ces muons à la surface de la Terre.
Ce qui est étonnant, c'est que, même si les
muons se déplacent à la vitesse de la lumière, si
on faisait l'erreur de compter comme temps de vie le temps
de vie propre des deux microsecondes, on arriverait à un
temps de parcours de 600 mètres, or l'atmosphère fait dix kilomètres.
J'ai un petit peu simplifié la description de
l'expérience parce que je veux que vous gardiez
en tête cette idée simple qui illustre le concept de dilatation du temps.
Maintenant, dans la réalisation pratique, évidemment, tous les muons
ne sont pas produits à la même hauteur et
il faut calibrer le flux de muons à la
surface de la Terre pour avoir une vraie mesure.
Je passe maintenant à l'expérience qui permettrait
dans un laboratoire de mesurer un effet
de type dilatation du temps.
Il s'agit de l'expérience de Moessbauer qui utilise l'effet Doppler.
Je vais décrire maintenant l'effet Doppler.
L'effet Doppler, vous connaissez, lorsque vous
entendez une ambulance passer à côté de
vous, il y a une distorsion du son, c'est dû à l'effet Doppler.
Maintenant, comme on ne s'est pas
donné l'appareillage mathématique pour décrire une onde,
on peut très bien raisonner sur une source qui
émettrait des impulsions, en l'occurrence ici des impulsions de lumière.
Alors au lieu de raisonner sur la fréquence, on va raisonner sur la période.
D'abord, si on est assis à côté de la source, la période est un
temps propre, que je vais noter tau 0. Si maintenant la source
se déplace, le temps intrinsèque est maintenant, comme on
dit, dilaté, on a tau au lieu de tau 0, si la source va à une vitesse v.
Maintenant, disons que le détecteur voit la source s'éloigner,
alors entre deux impulsions, la distance parcourue par les impulsions
augmente de tau fois v, et il faut attendre tau fois v sur c de
plus pour obtenir la deuxième impulsion. On obtient ainsi
l'effet Doppler classique, ce coefficient 1 plus v sur c.
Si maintenant on veut raisonner en termes de fréquence, il
suffit d'inverser les formules, la fréquence étant un sur la période.
Je vous
illustre l'effet Doppler classique à l'aide d'une
expérience où la source est un diapason et le détecteur un microphone.
Dans le fond, vous avez un dispositif, enfin le résultat de
la mesure d'un dispositif qui détermine assez rapidement la fréquence du son.
D'abord, on émet un son, à peu près 1000 Hertz,
ensuite, on va déplacer dans un sens ou
dans l'autre, vous vous souvenez que le coefficient de correction c'était 1 plus v
sur c, si v est positif ou négatif, on augmente ou on diminue la
fréquence. Bien sûr, on peut faire l'inverse.
La source est immobile, c'est le détecteur qui se déplace.
On observe le même phénomène.
Finalement, observons ce qui se passe si on met la source et le détecteur ensemble.
Bien entendu, il ne se passe rien.
Voilà maintenant, je passe à l'expérience de Moessbauer.
Alors, on ne va pas pouvoir travailler avec un diapason parce qu'on
veut voir des effets relatifs de l'ordre de dix puissance moins neuf.
Si vous avez une pendule qui bat à 1 Hertz, qui a une période d'une
seconde, et vous voulez voir un effet de l'ordre de dix puissance moins neuf,
il faudra attendre quelque chose de l'ordre
de dix puissance neuf secondes, c'est irréaliste.
Il faut quelque chose qui vibre à une fréquence beaucoup plus grande.
Ainsi, dans cette expérience, la source est une
source de rayon gamma, c'est du cobalt 57.
La source est montée sur un dispositif qui permet de changer
la vitesse de la source, et de l'autre côté, comme détecteur,
on a du fer, qui absorbe les rayons gamma émis par la source.
Alors, pour une certaine valeur de la vitesse de la source,
le fer voit juste la bonne fréquence et absorbe les rayons gamma.
Derrière le fer il y a un détecteur,
et donc, quand il y absorption, il y a une
diminution du signal détecté, donc le nombre de gamma détectés.
Ce qu'on veut faire, c'est voir l'effet de dilatation
du temps, donc c'est un effet Doppler du deuxième ordre.
C'est le terme en v carré sur c carré qui nous intéresse.
Quand on fait une telle expérience,
donc l'expérience de Moessbauer, on va regarder les vibrations atomiques.
Elles ont lieu sur un temps très très court par rapport au temps de mesure.
Par conséquent, la fréquence qu'on doit déterminer est une moyenne.
Si je reprends les formules qu'on avait, je prends
la formule pour le temps, vous avez les deux effets.
Il y a un effet du premier
ordre, v sur c, ici j'ai désigné par v a
la vitesse des atomes, et il faut prendre la vitesse moyenne.
Cette vitesse moyenne est nulle parce que les atomes
fluctuent de façon aléatoire autour de leur position d'équilibre.
Donc il n'y a pas d'effet du premier ordre.
En revanche, le tau que j'ai décrit ici est un tau relativiste,
j'ai fait la correction due à la dilatation du temps, et vous
avez un v carré, la moyenne de v carré est non nulle.
Donc quand on change la température, on change la vitesse moyenne
des atomes, la vitesse absolue ou le carré de la vitesse.
Et c'est ça qu'on va chercher à détecter.
Alors voilà deux spectres Moessbauer, il n'y a pas une seule raie d'absorption,
il y a plusieurs raies d'absorption parce que le fer est magnétique.
Je passe sur ces détails.
L'écart entre les raies change parce que l'aimantation change avec la température.
Mais vous détectez aussi sur cette image un léger
décalage du centre de gravité du spectre, et c'est
ça qui représente l'effet Doppler du deuxième ordre.
C'est un étudiant qui a fait cette expérience en 2005 à l'occasion
des grandes célébrations, en 2005 on a célébré les 100 ans de
1905, l'année où Einstein avait produit cinq articles très importants.
Voilà les mesures du décalage
du centre de la raie, enfin des raies, faites par cet étudiant,
et vous constatez que pour un échauffement de 100 Kelvins, on détecte une
variation de vitesse absolue de 0,07 millimètres par seconde.
On a donc vérifié ce qu'on voulait, et vous observez, vous notez
aussi que l'expérience est extrêmement sensible,
d'ailleurs la spectrométrie Moessbauer a été
utilisée pour vérifier les prédictions de
la théorie de la relativité générale aussi.
