Значит, смотрите. Ну что такое корень из какого-то абстрактного формального степенного ряда? Вот, есть формальный степенной ряд A. Как определить его корень? Понятно, что корень – это, по определению, такой формальный степенной ряд B, такой формальный степенной ряд B, что B² = A. Я думаю, что никакого более умного определения корня вы и сами не придумаете. Конечно, корень – это всегда нечто, что в квадрате дает исходное выражение, в данном случае, это формальный степенной ряд. Ну абсолютно непонятно, как реально извлекать корни. Так вот, есть замечательная вещь, я её обычно рассказываю в таком развлекательном ключе. Все, конечно, знают как устроен бином Ньютона, и мы сегодня даже про это вспоминали. Мы умеем возводить (x + y) в n-ную степень. Разумеется, если мы умеем возводить (x + y) в n-ную степень, то и (1 + x) мы тоже умеем возводить в n-ную степень. Никакого труда это не составляет. Вот. А сейчас нам с вами нужно выражение, похожее на (1 + x), ну тут, по сути (1 + x), где вместо x подставили −4x, это понятно. То есть, давайте потом подставим −4x, а пока что будем считать, что здесь просто какой-то y, например, стоит, и надо научиться извлекать корень. Так вот, 1 +… давайте так, корень из (1 + x) – это, разумеется, (1 + x) в степени ½. Ну, товарищи, которые владеют анализом на достаточном уровне, они, конечно, знают, как написать ряд Тейлора для такого выражения. И то, что мы сейчас проделаем, на самом деле, таким рядом Тейлора и будет. Но от первокурсников я не предполагаю подобного знания, то есть, вообще говоря, ряды Тейлора вы, конечно, тоже не знаете, равно как не знали и рядов, о которых я говорил в начале этой лекции. То есть степенных рядов. Поэтому я не предполагаю, что вы умеете пользоваться каким-либо анализом для извлечения корня, который здесь написан, но, я повторяю, ведь возводить в n-ную степень мы умеем, там c-шки вылезают в качестве коэффициентов. Сейчас будет некоторое утверждение, которое я, традиционно, не доказываю, ну просто по той причине, что оно, конечно, требует доказательства, но выглядит оно интуитивно настолько понятным, что, ну лекция получается просто поярче, если не тратить время на занудное доказательство этого факта. А вы, конечно, можете проверить это чисто формально, возведя в квадрат тот степенной ряд, который я сейчас напишу. Значит, теорема, которая, повторяю, здесь останется без доказательства, но, которую вы, в принципе, можете доказать самостоятельно, эта теорема утверждает, следующее. Оказывается, (1 + x) в степени ½ – это формальный степенной ряд, который вычисляется, ну буквально, так же, как, как и (1 + x) в n-ной степени. Только (1 + x) в n-ной – это конечное выражение, это сумма (n + 1) слагаемого, а здесь у нас получится бесконечная сумма, ну давайте больше томить не буду. Начинается она с 1, дальше мы продолжаем… ну, как надо брать? C из n по одному, правильно? Вот так и сделаем, C из ½ по 1 (чтобы это ни значило, скоро определим) умножить на x + C из ½ по 2 умножить на x². Это издевательство такое, своеобразное издевательство, воспринимайте это так. Но реально всё сейчас получится, интуитивно будет совершенно понятно. То есть, пока что, это издевательство, насмешка такая. C из ½ по n на x в n-ной +... Ну вот. Всё, издевательство закончилось, теперь я раскрываю карты, я говорю, что ж такое C из ½ по n. Ну, давайте так, чтобы полностью мотивировать то, что сейчас появится на доске, я напомню, что такое, в принципе, C из a по b, коль скоро a и b – это обычные целые числа, натуральные числа. Значит, у нас будет a! / b! на (a − b)!, но, очевидно, что факториалы посчитать от половинок я не в силах. Разве что какую-нибудь, там страшную гамма-функцию считать, но явно не об этом речь. А делается так: мы берем и вот эти два факториала – a! и (a − b)! сокращаем. У нас получается a * (a − 1) *... * (a − b + 1), и здесь делим на b!. Этот b! нас не смущает, потому что b у нас, в данном случае, это n. А n – это целое число, от него факториал не трудно брать. То есть, мы пишем вот так: ½ * (½ − 1) * ... * (½ − n + 1 ) поделить на n!. Вот это и есть определение c-шки, в случае, когда у неё нижний индекс является дробью. Друзья мои, всё, вот теперь я никакого слова «издевательство» ни от кого не потерплю, потому что, на самом деле, все карты раскрыты, и вот такое утверждение, во-первых, интуитивно совершенно понятно, оно является прямым обобщением обычного бинома Ньютона. А с другой стороны, любой из вас, честно возведя вот этот вот ряд в квадрат, сможет доказать, что, действительно получается просто (1 + x). Другое дело, что вот сейчас я не хочу этого проделывать, сославшись исключительно на интуицию, которая, я надеюсь, у каждого теперь возникла. Вот, получился такой ряд. Сейчас мы этим воспользуемся. То есть, мы рассмотрим этот ряд в случае, когда вместо x стоит −4x. Ну, давайте, я подготовлю почву, доску.