Есть еще один важный момент, который обязательно нужно отразить.
Это как устроена сходимость на границе круга.
То есть вот у нас есть этот круг — он сейчас открытый,
мы рассматриваем все точки x, для которых модуль строго < ρ.
А вот что будет, если модуль x =.
Может быть, сходимость.
Или не может быть сходимости.
Вот, скажем, в первом примере было видно,
что если мы подставим 1, а равно и −1.
Любую из точек,
лежащих на границе этого круга: 1 и −1 — то сходимости, конечно, не будет.
Может быть так всегда?
Нет, бывают любые ситуации, на самом деле, давайте я соответствующие примеры приведу.
Тут надо быть осторожными.
Уверенность в сходимости есть только внутри круга.
А на границе такой уверенности нет.
Смотрите, вот такие вот можно рассмотреть примеры.
Берем сумму по n от 0 до ∞.
Ну, скажем, x в n-ной ÷ n.
То есть у нас сейчас коэффициенты нашего степенного ряда — это числа, равные 1 ÷ n.
А n-ная— это 1 ÷ n.
Ну, как устроен радиус: радиус — это 1 ÷ верхний предел,
при n, стремящемся к ∞ √ n-ной степени из 1/n.
1/n — это как раз наша, а n — вот из него надо извлечь корень n-ной степени.
Ну, нетрудно видеть, что этот предел равен 1, то есть радиус сходимости равен 1.
Ну и действительно: если мы подставим здесь x = 1, то есть лежащий, вроде как,
на границе интервала сходимости, то, как очень многим, я не сомневаюсь,
хорошо известно, получается гармонический ряд, который расходится.
Который растет, примерно как логарифм, частичные суммы которого растут,
примерно как логарифм, поэтому этот ряд расходится, и, действительно,
на этой стороне интервала сходимости сходимости нет.
Но если мы подставим x = −1, то есть возьмем точку с левой
границы интервала сходимости, то все не так плохо.
Опять же из курса анализа,
любого стандартного курса анализа хорошо известно, что вот такой вот ряд сходится.
Есть соответствующий признак Лейбница, который это показывает.
То есть, видите, бывает так, что на одном конце интервала сходимости-таки нету,
как это было вот в этом, например, примере.
А на другом конце интервала вот здесь сходимости тоже нет,
А здесь пожалуйста – она вполне себе имеется.
Ну и можно рассмотреть вот такой пример: ∑ по n от 0 до ∞,
x в n-ной ÷ на n в квадрате.
Нетрудно видеть, что здесь радиус сходимости тоже равен 1,
потому что корень n-ной степени из n в квадрате тоже сходится к 1.
Также точно, как корень n-ной степени из n.
Однако здесь можно подставлять и 1, и −1,
и хорошо известно, что в обоих случаях получится сходящийся ряд.
Например, даже при x = 1, у нас получается такая вот замечательная
сумма: по n от 0 до ∞ 1 ÷ n в квадрате.
Некоторые даже со школы знают,
как находить такую сумму – такой довольно классический результат, не очень простой.
Называется дзета-функция Римана от 2.
Но неважно, что бы это ни значило, многие знают, что вот это = π квадрат ÷ 6.
Ну, кто не знает, тот порадуется, потому что это довольно красиво и забавно.
Что такая вот сумма, казалось бы, совершенно нетривиальная,
вычисляется явно и равняется π в квадрате ÷ 6.
Откуда бы здесь π взялось?
Ну вот берется некоторым образом.
Вот. Так что бывают всякие ситуации,
с точки зрения сходимости на границе.
Это надо четко понимать.
И уверенность в сходимости есть только, если модуль x строго меньше ρ.
Вот. Для нас это было очень важно,
потому что мы собираемся использовать технику производящих функций именно
как функций, а не как картинок с прошлой лекции,
и для того чтобы ее использовать грамотно, корректно, очень важно понимать,
когда эти производящие функции действительно хорошо определены.
Если производящая функция в какой-то точке не определена, то есть
соответствующий ряд не сходится, то, извините, пользоваться этим уже нельзя,
и я соответствующие подвохи тоже вам продемонстрирую.
Ну, давайте постепенно разбираться с примерами того,
как работают производящие функции на практике, в комбинаторике.