Всем привет. Сейчас буду разбирать задачи седьмой недели курса ОКТЧ для Coursera. Первая задача. Ну первая задача — это задача для того, чтобы вы не пугались страшных определений на лекциях, где были верхние пределы. Давайте мы вычислим верхний предел последовательности корень n-ной степени из модуля an, которые у вас были на лекциях, для двух последовательностей. Пункт a) an = n в квадрате. Ну что здесь нужно сделать? Мы хотим выяснить, чему равен вот такой предел. Ну на самом деле, когда последовательность an = n в квадрате, то тут ни о каком верхнем пределе можно не говорить, потому что эта последовательность просто имеет обычный предел. Ну, это значит, что при больших n корень n-ной степени из n в квадрате будет очень близко какому-то числу. Это число — единица. Значит, как мы это будем доказывать? Мы будем... Доказывается вот такое неравенство. Значит, очевидно что корень n-ной степени из n в квадрате у нас всегда ≥ 1, когда n больше 1, мы будем доказывать, что при больших n у нас выполняется вот такое неравенство. При больших n и значит любого, и, то есть для произвольного x > 0, у нас такой большой n, что это выражение будет меньше, чем 1 + x. Тогда так читать: при любом x при больших n выполняется вот такое неравенство. Ну как мы будем искать, значит, для данного x такой n, что это неравенство выполняется? Давайте запишем это неравенство. Значит, корень n-ной степени из n в квадрате меньше, чем 1 + х. Ну преобразуем его, возьмем левую и правую части в n-ной степени. Получаем такое выражение. (1 + х) в степени n можно раскрыть по биному Ньютона. Это, значит, формулу мы знаем, это будет C из n по 0 + C из n по 1 * x + C из n po 2 * x в квадрате +... + C из n по n * x в степени n. Давайте мы оставим здесь только одно слагаемое для удобства. А именно, нам будет достаточно взять третье слагаемое. То есть мы будем считать, что n у меня больше 3, и рассмотрим вот такое неравенство: n в квадрате < C из n по 3 на x в кубе. C из n по 3 раскроем по определению. Это будет n * (n − 1) * (n − 2) ÷ 6 * x в кубе. Ну можно сократить на n и перенести (n − 1) в правую часть, и получим такое неравенство: n ÷ (n − 1) < (n − 2) ÷ 6 * x в кубе. Значит, как только у нас вот это правое выражение станет больше 1, то оно станет заведомо больше, чем n ÷ (n − 1), потому что n ÷ (n − 1) < 1. Ну и тогда мы напишем неравенство (n − 2) ÷ 6 * x в кубе > 1, и отсюда можно легко найти n. Значит, (n − 2) больше чем сколько... значит, будет 1 ÷ x в кубе * 6. Значит, n > 1 ÷ х в кубе * (6 + 2). Что мы получили? Если мы возьмем вот такое вот n, у нас будет выполнено вот эти неравенства, и в частности, корень n-ной степени из n в квадрате будет < (1 + х). То есть мы доказали следующее утверждение: что какой бы мы маленький x ни взяли, всегда начиная с какого-то n, вот это выражение будет < 1 + x. Ну, и с другой стороны, оно всегда будет ≥ 1. Но это в сущности означает, что предел при n, стремящемся к бесконечности, в форме n-ной степени из n в квадрате, он равен 1. Ну, и в частности, верхний предел вот такого выражения тоже будет равен 1. [ПИШЕТ НА ДОСКЕ] Так, все, решили задачу. Так, пункт b) я тогда перейду на ту доску. Значит, в пункте b требуется найти верхний предел в случае когда an = λ1 в n-ной + λ2 в n-ной, где λ1 и λ2 — это произвольные числа. Давайте запишем. Значит, нам нужно отыскать такой верхний предел. Ну, опять же, здесь можно, мы сейчас будем на примере этого предела будем доказывать, что просто предел этого выражения чему-то равен. Ну, сначала для удобства мы предположим, что модуль λ1 ≤ модулю λ2, из ограничения "iii' можно так считать, ну и рассмотрим сразу случай, когда λ2 = 0, тогда сразу автоматически λ1 = 0, потому что модули меньше, чем модуль λ2, ну, и последовательность состоит из одних 0, и тогда предел корень n-ной степени из модуля an, а значит, и верхний предел, они = 0. Теперь что будет в случае, когда λ2 ≠ 0. В этом случае мы сделаем следующее: мы запишем эту последовательность и разделим ее на λ2. Вот запишем n-ный член нашей последовательности и разделим его на λ2. Ну... Мы будем доказывать, что вот предел такой последовательности, он = 1. Как мы это будем делать? Значит, когда λ не равно нулю, то мы можем здесь разделить на модуль λ2 Так, так будет удобнее. Хорошо, давайте внесем модуль под скобку, и перепишем наш член. Значит, это будет выглядеть так [ПИШЕТ НА ДОСКЕ] Так, внесем, значит, делаем общий модуль ну, и разделим тогда на λ2, получится вот такое выражение. Теперь можно обозначить λ1 на λ2 через y и написать, что это такое выражение, значит, корень n-ной степени из модуль y в n-ной степени + 1, где y — это есть λ1 ÷ λ2, то есть это число, которое по модулю ≤ 1. Вот, и мы хотим доказать, что предел вот такой последовательности, он всегда = 1. Ну, давайте это сделаем. Понятно, что если у меня модуль y ≤ 1, то и модуль y n-ного ≤ 1, y в n-ной степени ≤ 1. Ну это значит, что у меня моя эта последовательность, она выглядит следующим образом: что это либо просто корень n-ной степени из y в n-ной + 1, если y положительное, и если y отрицательное, то я могу поменять знак, то есть это будет значит, чему равен у меня будет модуль, если y отрицательное, у меня это будет просто, ну будет равен y в −n-ной, но я это перепишу вот так вот. Я могу доказывать, что это будет, ну если я изменю y на −y, то это будет либо вот такая последовательность, либо такая последовательность. Я должен доказать, что корень n-ной степени из такой последовательности, он стремится к 1. Ну давайте это докажем, ну давайте рассмотрим какой-нибудь случай, например случай, когда y ≥ 0. Рассмотрим вот такую последовательность. Что с ней будет происходить? Значит, я должен доказать, как и в прошлом случае, что это число очень близкое к 1. Ну очевидно, что оно всегда ≥ 1, мы хотим доказать, что это < 1 + x для любого x, начиная какого-то n, что это выражение будет < 1 + x. Ну опять же, как в предыдущем пункте, давайте все возведем в n-ную степень [ПИШЕТ НА ДОСКЕ] Опять раскроем по биному Ньютона, но я даже помню, что мы это сделали, можем сократить и оставить только одно слагаемое, первое, давайте напишем что это просто < 1 +n * x Ну и тогда мы получим, что можно найти такое n, что просто y в степени n < n * x. Ну давайте возьмем такое n. Для удобства даже можно сказать, что у нас y ≤ 1, так как y n-ное < y, то я могу взять просто такое n, которое > y ÷ x. Значит, если я возьму такое n, то что будет выполнено? То у меня y будет < n * x, y будет > y n-ное, больше либо равно. Ну и дальше выполнено это неравенство, значит, выполнено вот это неравенство, и дальше выполнено вот это неравенство. Ну все, мы сказали, мы доказали, что если возьмем такое n, то тогда будет выполнено вот такое неравенство, а значит, предел такой последовательности будет равен 1, как мы и хотели. [ПИШЕТ НА ДОСКЕ] Ну, осталось посмотреть вот этот случай. Что будет, когда, в случае, когда у нас последовательность чуть меньше 1, y у меня > 0 "iii"корень n-ной степени из 1 − y в n-ной степени. Ну давайте опять напишем неравенство. Значит, понятно, что тут уже очевидно, что это выражение у меня всегда ≤ 1, ну теперь нужно доказать, что это больше, чем 1 − x. Ну, для этого мы значит, давайте мы докажем следующее. Опять же, мы упростим это. Давайте заметим, что корень n-ной степени из 1 − y в n-ной, он больше либо равен, чем просто 1 − y в n-ной. Потому что корень для чисел меньше 1 его увеличивает. Но если мы напишем просто неравенство 1 − y в n-ной. Давайте я здесь очерчу, чтобы было видно, что происходит. Если я напишу просто неравенство 1 − y в n-ной ≥ 1 − x, то это значит, что x у меня, я перенесу вот сюда, x ≥ y в n-ной. То есть если я найду такой x, то есть, если я для каждого x смогу найти такой n, что x ≥ y в n-ной, начиная с какого-то n, то тогда у меня будет выполнено вот такое неравенство. Осталось проверить выполнение, добиться выполнения вот такого неравенства. Ну и здесь мы опять воспользуемся воспользуемся тем, что мы уже проделали несколько раз. Значит, как мы это можем сделать? Но мы знаем, что у нас, из пункта а) мы знаем, что у нас корень из n в квадрате n-ной степени у нас < 1 + x. То есть мы знаем, что n в квадрате у нас меньше, чем 1 + x в n-ной степени для любого числа чуть больше 1. Давайте я напишу, x', чтоб он не путался вот с этим x. То есть мы доказали, что число в n-ной степени > n. А тут мы хотим доказать, что число в n-ной степени... вот это число больше 1, в n-ной степени оно > n в квадрате. А тут мы хотим сказать, что число < 1, оно меньше, чем константа. Давайте мы перевернем, запишем неравенство 1 на y в n-ной ≥ 1 на x Ну и вот, мы получаем, что если мы возьмем в качестве 1 на y какое-то число, то оно уже гарантированно больше, чем n в квадрате. И гарантированно больше, естественно, любой константы. И тогда мы получим, что это неравенство выполнено начиная с какого-то n, то есть, значит, выполнено вот это неравенство значит, выполнено вот это неравенство, и значит, мы доказали, что вот это число при больших n, оно просто близко к 1. То есть значит, вот этот предел тоже равен 1. [ПИШЕТ НА ДОСКЕ] Ну отсюда следует, что в итоге вот этот весь предел, он просто равен 1. А это что значит? Это значит, что для нашей последовательности этот предел просто равен модулю λ2. [ПИШЕТ НА ДОСКЕ] Вот, задача решена.
