Седьмая задача. В этой задаче мы хотим доказать два тождества. Значит, первое тождество выглядит так, доказательство 4n-нной на Σ (i) от 0 до n. То есть 2i по i умножить на C2, C из 2 умножить на -i по n-i. Ну, когда мы видим какое-нибудь страшное тождество, то как мы его доказываем? Ну, давайте попробуем написать производящую функцию для левой, правой частей, посмотреть что у нас получается. Если мы напишем производящую функцию для левой части, то это будет просто Σ по n (0- ∞) 4n на xn, так будет производящая функция. Ну, и как мы уже видели на этом семинаре, мы можем это объединить в 4x и записать это в виде 1 на (1- 4x). Мы это для любого λ делали. Поэтому сейчас, как раз для 4 это подходит. Ну, или можно это переписать как (1- 4x) в -1 степени. Давайте посмотрим, что такое правая часть. Ну, мы видим, что тут, на самом деле, слагаемые это просто C из 2n по n, умноженные с разными индексами i, ну, и дальше просуммированные. Давайте напишем производящую функцию, обозначим ее g (x), производящую функцию для последовательности C из 2n по n и заметим, что если мы ее умножим на себя, то мы получим ровно функцию 4 в степени n, согласно этому тождеству. Значит, как это выглядит? Если мы возьмем такое произведение, значит, C из 0 по 0, C из 2 по 1 * x плюс C из 4 по 2 на x² +, ..., и все это умножить на себя же вот, мы получим, что если мы посчитаем коэффициент при x в степени n, то у получившегося произведения, то мы должны его будем просто проссумировать значит, из этого ряда, мы возьмем коэффициент x при степени η, будет C из 2i по i, из этого ряда, коэффициент при xn степени i, равен C из 2 на (n- i) по (n- i). Ну и по ряду если мы посчитаем коэффициент xn у произведения этих двух рядов. то будет ровно та сумма, которая написана справа. То есть, сумма справа — это коэффициент при n-нной степени у степенного ряда g² (x). То есть, если это равенство выполнено, то тогда же в ²(x) у нас равно 1- 4x в -1-ой степени. Но откуда, видимо, g(x) должен быть равен (1- 4x) в степени -1/2. То есть если мы докажем, что у этого ряда ровно вот такие коэффициенты, то это то же самое, такое же тождество, потому что для этого ряда очевидно, что корень из 2x равно (1- 3x) в -1 степени, у ряда (1- 4x) в -1 степени вот такой коэффициент при n-нной степени, а у такого ряда в квадрате, такого ряда в квадрате вот такой коэффициент при n-нной степени, Ну, значит, мы хотим найти коэффициенты вот такого ряда. Ну, у нас на лекциях была формула, сейчас я ее напишу, формула обобщенного биномиального коэффициента, она выглядела так, (1 + x) в степени α равно сумма по n от 0 до ∞, C из α(n) на x в степени n, где α — произвольное число. Но значит, если мы поставим сюда -4x, то это будет выглядеть так. 1- 4x в степени -1/2, это будет сумма по n от 0 до ∞, C из -1/2 (n) умножить на -4x в n-нной степени. Ну, давайте для начала вычислим вот этот обобщенный биномиальный коэффициент, а потом его поставим сюда и посмотрим, что у нас здесь получится. Но, давайте перейдем на ту доску. Значит, мы хотим посчитать C из -1/2 по n. Ну, давайте по определению. То есть, по определению мы делим на этот факториал, а в числителе мы пишем произведение -1/2 (-1/2- 1), ..., и тут должно быть ровно один сомножитель, то есть последний сомножитель будет (-1/2- n + 1). Давайте все приведем к общему знаменателю и вынесем 2 за скобку, значит у нас 2, скобок всего n, значит 2 встречается n раз. Мы ее напишем в знаменателе. Тут будет 2n на n факториал. Ну, давайте сначала, ставим в скобки, значит, тут будет (-1) тут будет -1/2- 1, то есть -3/2 то есть тут будет -3 на -5..., ну, и последнее. Значит, что здесь будет? Давайте я подробно запишу (-1 -2n и + 2). То есть будет -2n- 1. Значит, если я вынесу -1 за скобку, то это будет выглядеть так -1, так, давайте, лучше я перейду на новую часть, тут не влезет ничего, новую строку, значит, -1 в n-нной умножить на 1 на 3 на 5, ..., и последнее будет (2n- 1) поделить на 2n, 2 в n-нной умножить на n факториал. Вот давайте поймем, насколько это отличается от того, что мы хотим доказать. Мы хотим доказать, что это 2n факториал, ведь 2n на n факториал. Но чтобы это был 2n факториал, нужно домножить на все четные числа: 2, 4, 6, 8, ..., 2n. Вот давайте на них домножим и разделим. Мы получим, что это будет -1 в n-нной степени умножить на 2n факториал делить на 2 в n-нной умножить на n факториал и умножить на четные числа, на которые мы домножили: 2, 4, 6, 8, ..., 2n. Но заметим, что если мы отсюда, с каждого сомножителя вынесем двойку, то у нас будет ровно 2 в степени n на n факториал, то есть ровно то, что написано здесь. Поэтому это будет равно -1 n-нная умножить на 2n факториал и делить на 2 в степени n на n факториал, n факториал и еще 2 в степени n. То есть, это будет C из 2n по n — то, что мы хотим доказать и умножить на такой самый множитель. Это будет -1 в степени n делить на 4 в степени n. Но теперь давайте вспомним, что мы хотим доказать. Значит, мы хотим написать коэффициенты ряда (1- 4x) в степени -1/2. Как я уже писал, это будет сумма по n от 0 до ∞. Дальше же нужно поставить коэффициент C из -1/2 по n, и умножить это все на -4x в степени n. Давайте подставим то, что здесь написано и вынесем -4. Значит, мы получим- 1 n-нная делить на 4n на C из 2n по n и все это умножить на -4 в степени n на x в степени n. То есть смотрите, у нас все сокращается -1 n-нная сокращается с -, а 4n сокращается с 4n-нной. И мы получаем в точности ряд с коэффициентами из 2n по n на x в степени n. То, что мы хотели. То есть мы доказали, что вот такой ряд что (1- 4x) в степени -1/2 равен сумме n от 0 до ∞ C из 2n по n на x в степени n. Значит, он в квадрате равен (1- 4х) в степени- 1 и мы получили доказательство тождества, которое мы хотели получить. Так, переходим к пункту б). Давайте я перейду на ту доску. Сейчас я возьму условие, чтобы не забыть. Значит, тут мы хотим доказать следующее тождество. C из n по 0 в квадрате- C из n по 1 в квадрате +...+ -1 n-нная C из n по n². Значит, надо найти не тождество, а найти сумму. Чему это равно? Ну, давайте подумаем. Ну, опять же мы хотим представить это как какую-то производящую функцию. Как бы нам ее представить? Пусть это будет у меня an, значит, я хочу написать вот такую производящую функцию. Вот смотрите, что здесь происходит. Мы, явно здесь, разные числа остатков равенства, давайте мы их немножко перепишем. А именно, запишем an как, так где бы, давайте здесь запишу. Вместо того, чтобы написать в квадратах, я напишу их, перейду к противоположному, то есть заменю C из n по k на C из n по n- k, тогда у меня получится вот такое произведение. Значит, an у меня равно вот такому произведению, ну, смотрите, теперь явно у меня есть тут произведение каких-то двух рядов, видите, у меня коэффициенты C из n по i добавляется на коэффициент из C по n- i. Давайте рассмотрим две производящих функции. Значит, одна функция у меня будет f(x) это будет просто сумма, по n от 0 до ∞, C из n. Так, тут надо написать какую-нибудь i, да C из n по i на x в степени i ну, то есть понятно, что я просто не для i больших n, у меня этот коэффициент будет равен 0. Ну и g(x), я возьму тоже самое, только будет тут коэффициент еще -1 в степени i, C из n по i, x в степени i. Ну и для простоты можно сказать, что у нас тут сумма естественно идет только до n, до n-нной степени. Так, ну, и если еще преобразовать, то это просто будет не что иное, как 1-ое будет не что иное, как (1+x) в степени n, а второе будет не что иное, как (1- x) в степени n. Это в бинуале то, что мы уже встречали на первых лекциях. Вот теперь смотрите, an это ровно n-нный коэффициент у произведения этих рядов. Ну, это понятно, потому что мы ровно, когда мы берем этот коэффициент под нулевой степенью 1-го ряда умножить на n-нный коэффициент второго ряда. А это там первый коэффициент там ряда g(x), коэффициент первой степени ряда g(x), а это коэффициент при n- 1 степени ряда f(x) и так далее. Ну, значит, что у нас получается, что эта сумма, значит, эта производящая функция — это просто f(x) умножить на g(x), то есть, это будет (1 + x) в степени n умножить на -x в степени n. Но это не что иное, как (1- x²) в степени n. То есть an-нные — это просто коэффициенты вот такого ряда. Ну, отсюда легко получается формула для n. Значит, давайте как можно раскрыть этот ряд. Что у нас получится? Значит, это будет сумма по i от 0 до 2n. И дальше у нас коэффициенты будут встречаться только при четных степенях, ну, то есть коэффициенты в степени i, то есть это будет n в степени i, C из 2n по C из n по i умножить на x в степени 2i. Ну все, значит у меня вот этому равно n. Значит, у меня n будет равно 0, если n — нечетно. и -1 в степени i на C из n по i, если у меня i пробегает i = 2k и пробегает от 0 до 2n. Да, только сейчас тут надо было написать, тут надо было написать наверное ai видимо тогда. Так будет правильно написать. Вот ответ. Все — задача решена.
