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Voilà, vous avez à droite de l'écran la forme de la transformée de Fourier,
vous voyez qu'elle est consitutée de deux pics,
ça correspond effectivement à une sinusoïde.
Si je grossis le signal qu'on a à droite,
qu'on a ici sur l'écran, donc je vais pouvoir changer le calibre, donc
voyez qu'on a effectivement une fonction sinusoïdale, avec une période ici, donc là
j'ai 500 microsecondes par division, donc j'ai une période d'oscillation qui est un
petit peu inférieure à une milliseconde, donc peut-être 800 microsecondes,
donc ça correspond à une fréquence légèrement supérieure au kilohertz,
donc c'est effectivement ce qu'on obtient là, puisque effectivement cosinus oméga t
ce sera exponentielle moins i oméga t plus exponentielle i oméga t, donc j'ai dans la
transformée de Fourier un pic pour oméga et un pic pour moins oméga.
Donc on va recommencer avec toutes formes de signaux,
si je prends simplement la transformée de Fourier, que je suis en train de dire,
voyez que j'ai un spectre, ce qu'on appelle le spectre,
ce sera l'ensemble des valeurs prise par E de oméga, alors ce qui est représenté ici
c'est le module de E de oméga, la transformée de Fourier inverse de E de t,
ici E de t est le signal numérisé, donc je vais faire quelques exemples.
Voyez qu'on a comme ceci différents types de transformées de Fourier ici.
La première chose qu'on remarque, c'est qu'à chaque fois, cette fonction module de
E de oméga est une fonction qui va être une fonction paire.
Vous avez la même information pour les fréquences négatives que pour les
fréquences positives, donc on va d'abord voir d'où cela provient.
Bien, donc j'ai rappelé ici la définition de la transformée de Fourier,
d'une fonction F de oméga qui me donne une fonction f de t, donc vous
vous rappelez que c'est l'intégrale de f de oméga exponentielle moins i oméga t,
t oméga sur deux pi,on va toujours intégrer sur,
non pas la pulsation mais sur la fréquence oméga sur deux pi.
Et puis la transformée de Fourier inverse, qui nous permet à partir de f de t de
calculer f de oméga, c'est exactement la même formule, simplement au lieu d'avoir
un moins i oméga t, on a un plus i oméga t, on a juste ce changement de signe.
Donc on peut dire que f de t est la transformée de Fourier de f de oméga,
et que f de oméga est la transformée de Fourier inverse de f de t,
mais plus simplement on dira que f de t et f de oméga sont reliés par transformée de
Fourier, ce qu'on symbolisera par cette double flèche ici.
Bien alors, intéressons-nous maintenant à
l'effet de la conjugaison complexe sur le transformée de Fourier.
Donc si je calcule ici f étoile de t, eh bien je vais devoir prendre le conjugué
du terme qu'on a à droite, donc évidemment je vais prendre f étoile de oméga,
et puis je vais devoir conjuguer ici exponentielle moins i oméga t,
ça me donne bien sûr exponentielle plus i oméga t.
Si je veux revenir à la définition de la transformée de Fourier où j'ai moins i
oméga t, ce que je vais être obligé de faire, c'est que je vais en
fait écrire ici que j'ai moins i multiplié par moins oméga t.
Donc voyez qu'on peut y arriver en faisant un simple changement de
variable dans l'intégrale en remplaçant oméga par moins oméga.
Et si je fais ça, évidemment le f de oméga ici, va devenir f de moins oméga.
Donc vous voyez que, si f de t est associé à f de oméga par transformée de Fourier,
eh bien on peut en déduire que f étoile de t est associé non pas à f étoile de oméga,
mais à f étoile de moins oméga par transformée de Fourier.
Donc c'est similaire à ce qu'on avait vu pour les coefficients de Fourier,
je vous rappelle qu'on avait vu que les coefficients de Fourier associés à f
étoile de t c'était c étoile moins n.
Donc on avait à la fois la conjugaison et le changement de signe qu'on retrouve ici.
Une autre question qu'on peut se poser,
c'est à quelle fonction va correspondre f de moins t?
Donc si je mets moins t ici, je vais évidemment avoir moins t à ce niveau-là,
et une façon simple de ne rien changer c'est de
mettre ici moins oméga multiplié par moins t.
Donc à nouveau ça correspond à un changement de variable,
je remplace oméga par moins oméga.
Donc vous voyez par cette formule ici,
que f de moins t va être tout simplement associé à f de moins oméga.
Donc c'est une formule aussi qui nous sera utile la transformée de
Fourier de f de moins t,
ou la transformée de Fourier inverse de f de moins t c'est f de moins oméga.
Et puis en combinant les deux expressions qu'on vient de voir,
on a évidemment que f étoile de moins est associé par transformée de Fourier à
f étoile de oméga.
Donc de ces relations qui seront très utiles,
on peut en déduire un certain nombre de propriétés.
La première chose,
c'est que la transformée de Fourier inverse d'une fonction réelle sera
telle que E de moins oméga est toujours égale à E étoile de oméga.
Puisqu'en effet, pour une fonction réelle, eh bien,
E de t sera égale à E étoile de t par définition, puisque c'est une
fonction réelle et donc E de oméga sera égale à E étoile de moins oméga.
C'est la relation qu'on a ici, et cette relation explique pourquoi, quand je
représentais le module de E de oméga, eh bien le module de E de moins oméga, était
évidemment égal au module de E étoile de oméga et donc au module de E de oméga.
Donc le module de E de oméga,
pour une fonction E de t réelle sera toujours une fonction paire.
C'est ce que qu'on a observé.
Et non seulement ça, mais vous voyez même qu'il n'y a aucune information dans la
partie de E de oméga pour oméga positif,
puisqu'on peut toujours à partir de la connaissance de E de oméga pour E positif,
on pourra en déduire E pour les fréquences négatives, simplement en prenant
le complexe conjugué de l'information pour les fréquences positives.
Donc pour une grandeur réelle, il n'y a pas d'information dans la partie du
spectre correspondant aux fréquences négatives.
Alors une deuxième propriété qui sera utile, qu'on a,
qu'on peut déduire simplement de cette relation,
c'est que la transformée de Fourier d'une fonction paire sera une fonction paire,
puisque f de moins t correspond à f de moins oméga.
Et en combinant ces deux propriétés, on a la propriété que la transformée de
Fourier d'une fonction réelle et paire sera une fonction réelle et paire.
Donc si vous avez une fonction réelle et paire, c'est-à-dire que f de t est égal à
f étoile de t et qu'en plus f de t est égal à f de moins t eh bien toutes ces
expressions ici sont identiques et donc vous aurez la même chose pour f
étoile de oméga qui sera égal à f de oméga et qui sera égal à f de moins oméga.
Donc la transformée de Fourier d'une fonction réelle et
paire est une fonction réelle et paire.
Manuel JoffreDR CNRS et Professeur associé à l'Ecole polytechnique
Vincent KemlinChargé d'enseignement à l'Ecole polytechnique
