Bien donc en résumé,
on voit que on a pu écrire notre fonction périodique complexe f de t sous la
forme d'une série de Fourier, et on sait comment calculer les coefficients Cn.
Donc on va appliquer ça tout de suite.
Donc là j'ai reporté ici l'ajustement qu'on avait fait à la main, de
notre fonction cible, qui était une suite de gaussiennes ici représentée en gris,
et on était arrivé à la fonction bleue, et on avait une erreur qui était de 0,2.
Donc cette erreur était due au fait qu'on n'avait pas ajusté au
mieux les valeurs des différents coefficients.
Donc si j'applique la méthode de Fourier pour déterminer les coefficients Cn,
regardez-bien ce qui va se passer.
On a un bien meilleur ajustement de la fonction.
On a une erreur qui maintenant est beaucoup plus faible.
Numériquement, l'erreur a été divisée par deux,
on n'a plus que 12 % d'erreur entre les deux fonctions.
Alors d'où vient cette erreur?
Elle vient simplement du fait qu'ici on
s'est limité aux cinq premiers coefficients de Fourier.
On va de oméga zéro jusqu'à oméga quatre.
Évidemment, la série de Fourier va normalement aller de n égal moins
l'infini jusqu'à n égal plus l'infini, et pas de moins quatre à quatre,
donc il faut ajouter des coefficients.
Donc simplement, au lieu de m'arrêter à n égal quatre je vais jusqu'à n égal six,
vous voyez que maintenant on a une erreur beaucoup plus faible.
On a une erreur qui est seulement de 2 %.
Les deux courbes sont quasiment identiques, on perçoit juste une
très légère oscillation, qui doit être une oscillation de fréquence oméga sept,
et vous imaginez bien que si on faisait maintenant une série jusqu'à l'infini on
aurait évidemment un ajustement exact de la fonction cible.
Donc on a bien compris les séries de Fourier,
qui s'appliquent à des fonctions complexes périodiques,
et on va maintenant s'intéresser à des fonctions non-périodiques.
Et dans ce cas-là il existe également une transformation qu'on appelle la
transformation de Fourier, qui permet d'écrire ces fonctions
non-périodiques comme une décomposition d'exponentielle complexe.
Alors ces fonctions non-périodiques, je vais quand même supposer qu'elles sont
suffisamment gentilles, on va dire que ce sont des fonctions non-périodiques qui
tendent vers zéro lorsque t tend vers l'infini.
On va supposer qu'elles tendent vers zéro assez vite lorsque t tend vers l'infini.
Donc je vais pouvoir prendre ma fonction, petit f de t,
qui sera une fonction non-périodique, et je vais construire à
l'aide de cette fonction une fonction F de t, qui est représentée ici simplement en
répétant le motif, ma fonction petit f de t, avec une période grand T.
Donc sur cette fonction périodisée, en quelque sorte,
je vais pouvoir calculer les coefficients de Fourier, ils sont représentés ici,
ce sont les coefficients Cn, qui sont en nombre discret.
Alors là ils sont représentés en fonction de n,
et ce que je vais faire c'est que je vais, je vais faire deux choses,
d'abord je vais les représenter non pas en fonction de n mais en fonction de oméga n,
donc maintenant les points ne sont plus espacés de un mais sont espacés de deux pi
sur T, puisque les fréquences oméga n sont égales à n fois deux pi sur T.
Et puis l'autre chose, c'est que je ne représente pas le coefficient Cn mais je
représente le coefficient Cn multiplié par T, c'est-à-dire que j'ai fait passer le T
qui était là, je l'ai fait passer de l'autre côté ici.
Donc précisément, ce que je vais faire maintenant, c'est que je
vais augmenter la période de ma fonction période de ma fonction périodique ici,
donc vous voyez que les différents éléments de mon motif vont s'espacer,
ce que vous voyez c'est que dans l'espace que je vais appeler l'espace de Fourier,
eh bien évidemment les points vont être de plus en plus resserrés.
Puisque l'espacement entre ces points c'était deux pi sur T,
si j'augmente la valeur de T dans l'espace direct,
eh bien évidemment je vais resserrer les points dans l'espace de Fourier.
Et donc à la limite où grand T va tendre vers l'infini,
ben vous voyez que ces points qui sont extrêmement proches les uns des
autres vont finalement me construire une fonction continue de oméga,
et c'est cette fonction qu'on va appeler la transformée de Fourier.
Qu'est-ce que ça change au niveau mathématique?
Donc si je commence par l'expression ici en bas pour f de oméga,
ça change pas grand chose.
Ici on intégrait sur une période de moins T sur deux à plus T sur deux,
comme maintenant T tend vers l'infini, ben on intègre la même fonction, f de t fois
exponentielle i oméga t, mais on l'intègre de moins l'infini jusqu'à plus l'infini.
Là où ça change un peu plus, c'est dans l'autre expression,
l'expression qui exprimait la fonction F de t à l'aide des coefficients de Fourier,
donc initialement c'était une série.
En fait, quand les fréquences oméga n sont de plus en plus proches les
unes des autres, eh bien évidemment ce que vous avez ici,
c'est cette série va tendre vers une intégrale de Riemann, c'est la définition
d'une intégrale au sens de Riemann, et donc on va avoir l'intégrale qu'on a ici.
Les facteurs que vous avez ici, le facteur deux pi,
ça c'est un peu une question de convention.
Personnellement donc dans ce cours, je vais suivre cette convention-là,
où on intègre ici sur en fait, oméga divisé par deux pi,
c'est la fréquence, donc on intègre sur la fréquence,
et dans le domaine temporel on va directement intégrer sur le temps.
Évidemment je n'ai pas démontré ces égalités, ce sont des mathématiques qui
sont un peu plus compliquées que ce qu'on vient de faire là.
Mais je vous ai simplement montré comment on pouvait tendre des séries de
Fourier aux transformées de Fourier.
Donc on va évidemment admettre ces relations.
Alors en fait, ce qu'on appelle la transformée de Fourier c'est la
relation que vous avez en-haut, quand on passe de f de oméga à f de t,
avec ici un signe moins, et la relation en-bas c'est ce qu'on va appeler la
transformée de Fourier inverse, qui permet de revenir de f de t jusqu'à f de oméga.
Et nous allons voir dans la suite de ce cours, des applications de ces
transformées de Fourier pour nous familiariser avec cette nouvelle notion.
Manuel JoffreDR CNRS et Professeur associé à l'Ecole polytechnique
Vincent KemlinChargé d'enseignement à l'Ecole polytechnique
