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5-1：機率密度函數 PDF

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頑想學概率：機率二 (Probability (2))

国立台湾大学

4.8（59 个评分） | 3.2K 名学生已注册

這是一個機率的入門課程，著重的是教授機率基本概念。另外我們的作業將搭配臺大電機系所開發的多人競技線上遊戲方式，讓同學在遊戲中快樂的學習，快速培養同學們對於機率的洞察力與應用能力。

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从本节课中

Week 5

歡迎各位小夥伴加入「頑想學概率：機率二」！本課程延續「頑想學概率：機率一」，是前者的進階課程。在這一週我們將介紹專於於連續隨機變數的一個函數──機率密度函數 PDF ──並介紹連續機率分布。

5-0：咱們來聊聊14:09

5-1：機率密度函數 PDF19:25

5-2：連續機率分佈 I18:12

教学方

葉丙成
教授 (Professor)

脚本

[音樂] [音樂] [音樂] [音樂] 好，同學，那我們接下來進入我們這個第五周的機率課。那上禮拜老師介紹了個CDF還有PMF，這是機率上面很重要的一個函數兩個函數，那接下來這個禮拜我們要介紹一個專屬於連續隨機變數的一個函數，叫做PDF 這個是我們這個禮拜另外一個重要的内容。那第三個呢我們就要介紹一些常見的，一些連續的這個機率分佈，那也是分兩部分，我們今天這個禮拜先介紹第一部分。好那接下來呢我們跟大家介紹一個機率上另外一個非常重要的概念，特別是針對連續的隨機變數- 很重要的一個概念叫做機率密度函數，Probability Density Function。那這個簡稱叫做PDF，所以以後我們都用PDF來表示它好，首先我們來看一下這個探討，就是説我們在離散這兩個禮拜我們學到離散的隨機變數都有PMF，PMF可以告訴我們說這個random variable x 等於某個這個數字這個發生的機會是多大，這個機率，對不對？那連續的機率分佈，雖然我們在一開始用的是個幸運之輪，是0到1這裡面任何數字發生的機率機會是- 均等的，對不對？可是在很多情況之下發生的機會并不見得均等啊，比如説睡覺時間長度，我們很多人睡覺時間- 長度，可能你就是 5點多個小時，6點多個小時，這個發生的機會會比，比如説你睡13個鐘頭，這個機會應該要高很多吧，真的睡13個鐘頭那簡直是沒天理，對不對。所以睡覺時間，你這個睡覺睡眠，因爲你固定的一個睡眠的習慣，睡覺時間長度可能在某些時間長度是發生機會比較大，某些時間發生的這個睡的長那個度是比較少發生的，對不對？所以呢，對連續的隨機變數我們也很想要知道說，那既然每個數字發生的機會有可能不一樣，我也很想知道說某個數字發生的機會多大，那我們就- 想說那PMF不是可以告訴我們每個數字發生的機會多大嗎？那我們是不是可以用PMF來試試看呢？那呢，我們來看一下接下來這個問題比如説，我們就以那個幸運之輪爲例子，就是0到1裡面每一個數字被發生的這個機會是均等的，我們要問一個問題說，它剛好停在0.7這個機率是多少呢？幸運之輪停在0.7的機率是多少呢？我們來思考一下這個問題第一個我們假設思考的點是說，0 到1這裡面每個數字發生的機會都均等，對不對？如果說每個數字發生，你停在0.7的這個機率跟你停在0.371的機率都是一樣的，對不對？所以我們用一個小p，用p來代表這個機率好了。那老師問大家一個問題你想想看0到1之間有多少數字，有非常非常多個數字啊！有沒有超過一百萬個數字，10的 6次方個數字，有啊！那每一個數字，如果說停在每個數字上的機率都是p 那有超過一百萬個數字，那是不是一百萬乘上p 這個東西至少這個機率，這一百萬個，落在這一百萬個數字上面的機率的總和應該要比1小吧？對不對？所以一百萬乘上p是小於等於1，所以p呢一定要比百萬之一還要小但是我現在問你一個問題，那0到1之間裡面有沒有超過一億個數字呢？也有啊！那這一億個數字乘上p，它這一個數字，落在這一個數字上的總和加起來是不是也應- 該小於等於1呢？也是啊，那這樣說p是不是要小於等於億分之一，就是10的-8次方，是 10的6次方這樣，10的8次方這樣，那10的10次方，10的 10次方，沒完沒了啊！對不對？所以你要不然說 0到1裡面有無窮多個數字，而且我們上個禮拜講這是不可數無窮多，那是無窮多中的無窮多- ，多到不可限量了這麽多的數字，因爲每一個發生機率如果是一個不等於0的數字p的話，一乘上去，哇！完了- ，這一定會爆掉，一定會超過1了可是機率的公理告訴我們說，機率它不能超過1啊，對不對。這個宇集 Universal Set，這個樣本空間，就是它的樣本空間，樣本空間發生的機率不能超過1啊所以這就是個問題，我們就發現說，那這樣子看起來似乎你這個幸運之輪停在0.7上面的機率應該是什麽？應該是趨近於0啊，應該就是0吧是不是？所以是的，所以p落在0.7上面的這個機率是0，也就是你落在任何一點上面的機率都是0，可是這個時候大家覺得很奇怪你落在每一個點上的機率是0，可是你又，你又落在 0到1裡面這個發生的機率又是1，那這個，這就是一個跟以前這個離散的隨機分佈，離散的隨機變數很不一樣的一個地方，離散隨機變數是發生在每一個值上面的機率都是一個機率，不等於0的機率可是連續的不是，連續的發生在每個點上面機率都是0，但是這麽一整個，它又機率又等於1，這個是連續的隨機變數跟離散隨機變數很不一樣的地方，那這個東西有沒有辦法，是不是有時候不是- 很好理解，老師等下給你個例子，你就可能比較能夠有這個連結，比較能夠有這種感覺，希望能夠幫助你理解這個意思。所以這個悲哀啊連續的隨機變數跟PMF注定就是沒有辦法在一起啊，因爲它落在每個點上的機率都是0啊，所以你算PMF沒有用，PMF落在每一點機率上面都是0啊 PMF就在算落在點上的機率是多少嘛，所以就是很悲哀，你就沒辦法用PMF嘛所以這關鍵是什麽？關鍵是在連續的這個世界，在連續的隨機變數上面你落在每一個數字上面發生的機率統統都是0。可是我們還是很想知道說，你落在某個數字上面的機率是多大怎麽辦呢？好，在講這個怎麽辦之前，老師先給你看一個例子，雖然是講亂七八糟的例子，但是我自己覺得這個例子其實對你應該是會蠻有幫助的。好，比如説你今天剛好因爲這個某個劇組它要拍戲，他說他需要訂做一個合金的寶劍而且這個寶劍相當地貴氣，是用銅跟金這個打造，講好說這個成分要多高。可是如果你這個劍拿回來，我們怎麽知道這個劍有沒有被偷工減料，你怎麽知道這個劍它打得好不好，質地好不好有沒有被偷工減料，你怎麽知道這個事情？你想想看，這個跟剛才的機率很像啊，怎麽説呢這整根棒子，整根這個寶劍，它的質量，它很重沉甸甸的，整根棒子它是有質量的，可是你如果去切，每一個點來看你切在不管任何一個點，落在那個點的質量是多少是0啊，因爲任何一個點，點的那個體積是趨近於0的你切一刀，切我就這個棒子上的任何一個點切在那個點上它的質量都是0，落在那一點的質量都是0 可是它一整個棒子聚合起來，又有一個質量，不等於0的質量這是不是跟機率剛才那個連續隨機變數的case很像，落在每一點上面的那個機率是0，可是整個0到1這個幸運之輪這個區間合起來落在這個區間的機率又是等於1，很熟悉吧，對不對？所以呢我們看一下如果你今天你說我想要知道它有沒有偷工減料，可是我切任何一個點，我又沒有辦法看那個點的質- 量，因爲點的體積是無窮小，它的質量是0，我沒有辦法看質量，所以你能夠看什麽？我們就看什麽，我們要看密度啊，所以怎麽說呢比如説我們就畫一個坐標軸，把它從0開始標，然後呢在這個位置x地方它的密度是怎麽算，就是你在這個x 跟Δx這個小區間裡面這麽一小段它的這個質量，質量我可以量的，我可以算質量我把這一小段的質量去除以Δx，那就是你這個棒子的這個它的質量密度嘛對不對？那重點是你要算密度，這個Δx一定要非常非常非常小，趨近於0，很小很小很小。所以呢你就在那個地方棒子的每一小段，你可以截一小段一小段一小段一小段，每一小段去量它的重量，然後算它的- 密度，然後接下來你就可以把它密度函數畫出來，你就看到哪個地方質地然後它這個比較重，銅比較重我不知道金或銅哪個比較重，我已經不確定，假設是其中某一種比較重，你看那個密度你就可以知道說，哦哪個地方他用哪個地方用的這個銅的量比較多或少，金用的比較多或少跟你當初這個要求的一不一樣，一看就知道有沒有偷工減料，對不對？那聰明的同學一定會問老師，老師那你既然要算這個密度，你這切的Δx、 Δx去量質量算密度，那你這樣的做法，你那寶劍最後不是也變廢物了，就變成一堆一小段一小段的Δx 這個你講的也沒錯嘛，這個確實是這個樣，不過我們爲了追求真理，很多時候就是需要犧牲啊，okay，這點犧牲爲了求真理，或許也是必要的嘛。 Okay，好，從這個棒子你就發現說那這樣子的話，是不是我們在機率、連續隨機變數，我們可以仿照這樣的概念呢？如果我想要知道說哪個地方發生的機會比較大，哪個地方發生的機會比較小，雖然它的機率是等於0，每個點的機率等於0，但是我是不是可以從密度這個觀念來看呢，你看- 這個棒子每個地方的質量都等於0，但是我還是可以從高高低低的密度的高低可以知道哪個地方質地比較用的料比較好，哪個地方用的料比較差，對不對？哪個地方比較重，哪個地方比較輕，我們還- 是可以看得出來，是不是？所以連續的東西，它的關鍵就在於密度、密度寶劍有密度，機率也可以有密度，對於隨機變數random variable x來講的話它的機率密度，我們就仿照一下剛才、剛才那個質量的密度是什麼？質量的密度是說落在 x 跟 Δx 之間的那一小段的質量，我們把它除以 Δx 好，讓 Δx 趨近於 0，那這個就是一個密度，對不對？那機率的密度呢？你剛才是質量的密度是以落在那一小段的質量除以 Δx，那機率密度當然就是你的 x 會落在那個 x x + Δx 那一小段的那個機率去除以 Δx，我們算這個東西的極限，這個就是我們的機率密度，也就是我所謂的 PDF，好所以 PDF 的函數呢也是一樣、跟 CDF 一樣，它會有一個足標，這個大 X 代表說你是什麼 Random Variable 的這個 PDF，如果是大 X 的 PDF，那這邊就是 fx(x)，如果你這有個 Random Variable 叫 y 的話，那這邊就是 f(y) 你這個隨機變數，隨機的這個變數的這個一定要放在這個 PDF 下，人家才知道這是哪一個。 OK 好那這個東西呢，你如果把它算一算，你看落在這個區間裡面的這個機率，根據我們上個禮拜講的這個 CDF，是不是可以把它表示成 CDF 後面的那個 CDF 的值減掉前面的 CDF 的值好，是可以的。所以你看這邊的分子是 Fx(x + Δx) 減掉 Fx(x)，那當然同學會說誒老師那這邊有個等號，沒關係，因為它是連續的，所以有沒有- 等號是沒有差，因為等號發生在那個點的機率是 0，所以差個 0 是沒有差的。你再看一下誒，那這樣的話，看這個機率密度它既然是等於 CDF 在 x + Δx 的值減掉 x 的 CDF 值，再除以 Δx，然後 Δx 趨近於 0，這個是什麼？這個如果你高中或是大學有學過微積分，你就會發現說這個不就是這個 F'x(x) 嘛，不就是 CDF 的微分嗎，對不對？所以這個就是一個很漂亮的一個關係，什麼關係？就是說 CDF 跟 PDF 兩個之間是有關係的你如果人家給你這個 CDF 大 Fx(x) 你只要做微分，你就可以得到 PDF fx(x)，但是如果人家給你的 fx(x) 是 PDF 的小 fx(x) 你要得到大 Fx(x) 就是 CDF 啊，怎麼辦呢？好，從 PDF 到 CDF 就是積分，從 CDF 到 PDF 就是微分。 OK，所以它們兩個有一個非常漂亮的關係，所以給你任何一個，你都可以得到另外一個。兩個都決定了這個機率分佈那 PDF 呢？跟機率的關係是什麼？它是機率密度，但是它雖然是個機率密度函數，但是它還是要用 F 幫我們算機率的好，怎麼算呢？因為我們習慣了是處理機率了，所以我們看 PDF 怎麼跟機率連結呢？從這個式子來看。上個禮拜我們假如我說 X 落在 a 跟 b 之間的機率，就是 Fx(b) CDF 在 b 的值減掉 CDF 在 a 的值，對不對？那這個東西呢，剛才已經講過大 F 就是 PDF 這個小 f 的積分，從負無窮大一直積到 x，所以你今天如果要算說這個 CDF 在 b 的值是什麼就是等於把這個 PDF 呢，從負無窮大一直積到什麼？積到 b。這就是這一個那你今天要扣掉 a，那就是什麼？PDF 呢要積分積到哪裡？積到 a，OK 這就是你的這個大 F 在 a 的值，兩個相減、這兩個積分相減，你可以把它合成一個積分因為兩個相減這個它會等價于就是說，一個是從頭積到 b 那減掉從頭積到 a，那等於就是結果就等於 a 只積到 b 而已嘛，對不對？也就是說，今天如果人家給你一個機率密度函數像圖上這個樣子，然後人家問你說，誒我想要知道說 x 會落在這個 a 跟 b 之間的這個機率是什麼？那根據這個式子，它就告訴你說，那你就怎麼樣？你把機率密度函數 PDF 這個小 f，就把它從 a 到 b 裡面把它積分起來，也就是什麼？就是這一塊黃色的面積，這一塊黃色的面積你把它積起來就代表這就是你 x 會落在 a 跟 b 之間的這個機率。這就是 PDF 跟機率之間的關係那 PDF 跟機率還有另外一個關係是什麼關係？我們可以從這個當初我們這個機率密度這個函數的定義出來，它是等於 Δx 分之這個 X 落在小 x 跟 x + Δx 之間的機率，落在這個小區間的機率去除以 Δx，所以當 Δx 很小的時候，你會發現說誒這個呢是不是就有一個很接近的一個近似的值。就是說因為這個東西是在 Δx 很小的時候，這個關係式是成立的。所以你把 Δx 呢，把它移到另外一邊去，我們是不是就發現說誒那上面的這個大 X 落在這個小區間的機率，會非常接近你的機率密度函數乘以 Δx，而且當 Δx 越趨近於 0、越小的時候，這個近似值越準。所以很多時候，你如果想要知道說誒我這個 X，大 X 會落在這個某個數字附近的那個機率是什麼？很簡單，你就是把那一點的機率密度函數 PDF 值去乘上你想要知道落在那個小區間，那個小區間是多長。也就是說，人家給個機率密度函數長這個樣子我今天想要知道說，它落在 x 跟 x + Δx 那個小範圍之間的機率，那根據前面的定義我們就知道，如果機率密度函數你就是什麼？這個機率就會等於這個面積嘛，把它從 x 積到 x + Δx，對不對？但是 x 積到 x + Δx，你看看它跟這一個正方形是不是非常接近？如果你 Δx 夠小的時候 Δx 很小的時候，這一個綠色的，就是剛才那個藍色、現在已經變成綠色，因為我上面給它放了一個綠色遮上去這一個面積，這個曲線下面的這個面積是不是會跟這個綠色的這個長方形是很像的？是的，而且特別是在 Δx 越小的時候，這個差距越小。因為差距現在差只是差這一塊、差只有差這一塊小的三角形這一塊，對不對。這一塊當 Δx 很小的時候這一塊差距其實是會很小，很接近於 0 的，對不對？那你看這個長方形這個綠色長方形的體積是多少？它的高，它這個 x 在這個地方，這個高就是 x 的什麼？ PDF 值，那它的寬度是什麼？你現在看的是一個小區間 Δx，就是 fx(Δx)，所以你看看綠色下面這一塊面積，綠色這一塊面積就是這一塊，對不對？這一塊面積，它是不是跟這一個剛才講這個長方形，這個是長方形這一塊面積兩個是不是很接近？當你 Δx 很小的時候，它們就會很接近。所以這是另外一個對機率密度函數我們常用的一個跟機率連結的一個地方。把它用在近似大 X 會落在一個 x 附近的那個機率，那就是機率密度乘以 Δx。那 PDF 有哪些性質呢？其實這邊老師列了一些：比如說第一個，剛才已經講過了，PDF 就等於 CDF 的微分，這個大家已經知道了。另外一個，因為它是它的微分，所以呢它就會，這個 CDF 就等於 PDF 的積分，這剛才也提過了。另外一個剛才也講過了，這個它落在 a 跟 b 之間的機率就等於 fx 呢從 a 積到 b，那這個東西呢，如果把 a 代負無窮大，b 代負無窮大代進去，就等於把你 x 會落在負無窮大到無窮大之間的機率，那是什麼？就是 1 嘛。所以，任何一個 PDF 函數從負無窮大積到無窮大它一定要是 1，如果它積起來不等於 1，這個 fx 就不夠資格當做一個 PDF。那最後一個是什麼？ fx(x) 呢它一定要大於等於 0，機率密度函數一定要大於等於 0 因為你只要不大於 0，如果是小於 0，我在你那附近積一點點，就變成會等於、會有小於 0 的一個負的數字，那你想想看，機率是不可以是負的啊，所以機率密度函數不能是負的。但是我問你哦 PDF 的值可不可以大於等於 1？是可以的密度是可以大於等於 1，因為我們只有說機率要小於等於 1，所以你可能某個地方密度很高但是它密度很高的地方可能只有一點點，所以積下來之後，它的機率還是很小、沒有超過 1，所以這是沒關係的啊。所以 PDF 的值呢、 PDF 的值呢，這個記住啊，PDF 的值呢 Can be larger than 1 機率的密度可以比 1 大，這個是很多同學會以為機率密度也要小於等於 1，這是錯的。 OK 這個觀念要弄清楚。所以這一節呢，我們來回顧一下這個我們探討的是連續隨機變數的 PDF，那為什麼呢？最主要的是因為連續隨機變數它發生在每一個點上面的機率都是什麼？都是 0 啊，跟 discrete 是很不一樣的那所以呢為了要知道，但是我還是想知道說發生在每一個數字上面的這個機率的大或小，所以- 我們就引進了機率密度的這個函數這個概念。那 PDF 跟 CDF 的關係是什麼？就是 PDF 是 CDF 的微分，那 CDF 是 PDF 的積分那 PDF 的性質是什麼呢？誒剛才這個就在我們前面列的那一頁。最主要的就是它落在 a 跟 b 之間的機率是等於 PDF 從 a 積到 b，這是最重要的一個性質。那這就是我們的 5-2 好。 [音樂] [音樂] [音樂] [音樂]

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