表长什么样子 老师给大家看一下 这是老师从WIKI百科抓下来的表 这就是 一般 Standard Normal 的 Φ(z) 的表 CDF 表就长这个样子 怎样利用这个表来算 CDF 的值 老师给大家一个例子 比如说 这次要算 Z＝1.325 的 CDF 值 也就是说 Standard Normal 的 PDF 从 -∞ 一直积...积分积到1.325 整个 PDF 下面这个红色的面积是多少 这个表怎么看 老师教大家来看 你先看一下这个地方 这个地方其实是决定了 小数的 整数跟小数的第一位 我们今天要算的是 我们要找的是1.325 看 1.325 它整数的第一位 整数第一位跟小数第一位就是 1.3 看1...(到）1.3 在这个地方 我们就看这一行 就是 1.3 1.3 这边代表什么意思 接下来 这下一行代表是 1.3 这边就告诉你小数第二位是什么 小数就是 1.30 像这个地方 这一行呢 这边看到就是 1.3 对过来 然后这边 0.01 对下来 这边就是 1.31 我们今天要看的是什么 1.325 所以 1.325 是在 1.32 跟 1.33 之间 那我们就来把 1.32 的值 1.32 在哪边 1.32 就在这个地方 然后 1.3 对过来 跟这个0.02 对过来 这个地方就看到 1.32 1.32 的 CDF 值是什么 是 0.9066 刚才说到 1.325 是在 1.32 跟 1.33 之间 1.33 在哪里 这边 1.3 过来 然后这边小数第二位是 0.03 所以 下一个地方 是 1.33 的 Φ(z) 的值 可是老师你要的是 1.325 现在只有 1.32 跟 1.33 怎么办 我们就用内插法 就是说 你今天已经知道这个 1.32 的值 也知道这个函数在 1.33 的值 想要知道 1.325 1.325 刚好就在 1.33 跟 1.32 之间 那 1.325 它的函数值是不是就 差不多 这个应该是讲 差不多 约略等于 约略等于什么 等于 Fz(1.32)+Fz(1.33) 两个的一半 因为 1.325 刚好落在 1.32 跟 1.33 中间 那就是 1.325 的值应该非常接近 它们两个值的中间的点 也就是说 这个函数有点像长这个样子 这个可能是CDF长这个样子 要找的是 1.325 它的值 这个 CDF 的曲线 CDF 的曲线长得是这个样子 假如你要知道是这个高度的值 可是你今天只知道什么 你今天看表的话 只查到 1.32 的值在这边 还有一个 1.33 的值在这边 可是题目要问 1.325 的值是多少 那你看1.325 的值是非常接近 这个值跟这个值 两个的高度的 这个点的中点的地方 所以 它的值应该非常接近这个高度 1.32 跟 1.33 这两个高度的平均 好 那老师会问你 如果今天问的是 1.326 的话怎么办 1.326 就是稍微再过来一点 这个时候也是要用内插法 接下来 老师要介绍一个 Φ(z) 一个非常重要的性质 想想看刚才那个表 那个表是不是 z 都只有正的 z 那想要知道一个负的值的 Φ 怎么办 比如说我想知道 Φ(-2) 等于多少 刚才我们算的 1.325 我们想知道 Φ(-1.325) 等于多少 那怎么办 那个表上只有正的 z 现在有负的怎么办 所以 不用担心 老师接下来教给你这个性质 就是 你知道这个性质的话 你就不用担心 看到这个负的 z 我们来看 比如说今天想要算的是 Φ(-z) 这个 -z 是负的 要算的是从 -∞ 一直积到 -z -∞ 积到 -z 就是蓝色的这一块 这块的面积 蓝色这块面积 我们观察一下 因为 Standard Normal 它的 µ 是零 任何一个 Normal 它都对称于 µ µ 是零的话 也就是说 Standard Normal 是对称于原点 今天要算的是这一块蓝色的尾巴 蓝色的尾巴跟它另外一边的尾巴 两个长的是不是一样大 就是在 Z 这边切过去 这两块蓝色的尾巴 看起来是一样大 面积是一样大 对称于原点 现在我们就是要找这一块蓝色的 Φ(-z) 大家要记住 Φ(-z) 就是这一块 蓝色的尾巴的这个值 这一块跟这一边这个蓝色尾巴的值 两个是一样的 所以 我们只要能够算出 其中一边的蓝色尾巴的值就可以了 然后我们来观察一下 这个在 z 右边的这个尾巴 跟原来那个 Φ(z) 有什么关系呢 Φ(z) 是什么 我们再画一次 Φ(z) 就是从 -∞ 积到 z 你看看 这个 Φ(z) 这个红色这块面积跟蓝色这块面积 两个兜起来刚好是什么 刚好是整个 Gaussian 的 PDF 下面的面积 那整个 Gaussian 的 PDF 下面的面积 我们教过 整个 PDF 从 -∞ 积到 ∞ 面积等于多少 就是机率的总和 就是1 也就是说这个蓝色的尾巴 加上这个红色 也就是 Φ(z) 加起来等于 1 所以我们就得到一个式子 什么式子呢 Φ(-z)+Φ(z) 记得这个是蓝色的尾巴 blue 这个 Φ(z) 就是红色的面积 两个一加起来 刚好等于 1 这个 Φ(z) 就是红色的面积 两个一加起来 刚好等于 1 刚好等于 1 所以 我们就发现 Φ(-z)=1-Φ(z) 也就是说 只要有 Φ(z) 的表 只要 Φ(z) 知道是什么的话 那它的负的 z 的 Φ 值 我马上就知道 就 1 减掉它就好了 所以我们表只要建一半就好了 我们只要建正的这个 z 就好 那些负的 z 呢 我们都不用证 我们就不用建那个表 这就是很省事 所以这个性质也是一个 非常重要的性质 老师跟大家介绍一下 好 那我们现在 刚才已经处理过 知道 Normal 的CDF Φ(z) 我们有办法把它建表 也知道负的 z 要怎么算 现在 接下来又回到最原来的问题 这个 Gaussian 这个 random variable 的 µ 跟 σ 是任意的 任意的µ，σ 这个 Gaussian CDF 怎么办 怎么处理 我们想办法 看它能不能跟 Standard Normal 牵上关系 所以我们来看一下 任意 µ，σ 下的 CDF 这样的 Gaussian 怎样跟 Standard Normal 这个 N(0,1) 扯上关系 有关系就好办事 所以你看 关系在哪里 哦，这个关系我们就抓到了 不管你的 X 是什么样的 µ 跟 σ 我们发现一个很特别很奇妙的性质 就是 它呢 任何一个 µ,σ 不管什么 µ,σ 只要把 X 减掉它自己的 µ 再除以它的 σ 我们发现 它的机率分布 (X-µ)/σ 它是个随机变数 因为 你想想看 X 如果是一个乱的东西 乱的 是随机的 X 乱 X－µ 乱不乱 也是乱的 X－µ 乱的话 把 (X-µ) 除以一个 σ 乱不乱 除以一个常数乱不乱 还是很乱 所以它还是一个随机变数 那这个 (X-µ)/σ 就好玩了 不管你 X 是什么样的 µ,σ 产生的 Gaussian random variable 你把 X 减掉它自己的 µ 除以 σ 它就会是一个 Standard Normal 的 Distribution 它会是一个标准的常态分布 哇 这太奇妙了 怎么证明呢 我们来证证看 首先 如果你知道 X 的 µ,σ 我们根据前面讲的 你就知道 就知道它的 PDF 它的 PDF 长这个样子 现在从 CDF 出发 你既然想知道 (X-µ)/σ 想知道它是不是等于这个 Standard Normal 我们刚才已经知道 Standard Normal的 CDF 长什么样子 就是 Φ(z) 那我们从这个地方出发 如果我想要证明 (X-µ)/σ 确实等于标准的常态分布 那就先算算看 这个 (X-µ)/σ 它的 CDF 是不是真的长得跟 N(0,1) 的 CDF 就是跟 Φ(z) 长得一样 如果这个 (X-µ)/σ 它的 CDF 确实跟 Φ(z) 长得一样 我们知道 Φ(z) 是一个标准常态分布的 CDF 那就知道 (X-µ)/σ 确实就会等于是 Standard Normal 这个N(0,1) 我们来证证看 当你要算 (X-µ)/σ 它的 CDF 就是要算 (X-µ)/σ≤z 的机率 把 σ 移到另外一边 然后 －µ 也移过去 就会变成 这个机率跟算这个机率是一样的 跟算 X≤µ+σz 的机率是一样 那 X≤µ+σz 的机率是什么 就是把 PDF PDF就是 fX(x) 把 PDF 把它从-∞ 积到哪里 到 ≤µ+σz 这里 那就从 -∞ 积到 µ+σz 这里 这个积分看起来到这里卡住了 就是个死结 不是的 有些方法可以继续做 怎么做 我们来做一件事情 我们先令一个新的变数 ω 让它等于 (x-µ)/σ 令这个东西有什么好处 有好处 我们的积分就可以做一点化简 象刚才这个 (x-µ)/σ ≤z 这个机率跟这个机率是一样的 这个机率我们刚才推导到最后 就变成这个长方形 这个长方形观察一下 当 ω＝ (x-µ)/σ 这边有个 (x-µ)^2/σ^2 整个是不是等于 ( (x-µ)/σ)^2 就是 ω^2 所以 这一坨东西我们可以把它变成 新的积分就可以变成 ω^2 接下来我们来看一些东西 这边有一个 dx 跟 1/σ 我们看一下 原来这个 ω＝ (x-µ)/σ 那我们知道 两边取 d 求微积分 dω＝d (x-µ)/σ 有些同学忘了微积分 没有关系 这是微积分一个蛮基本的性质 看看就好 还记得的同学 就知道我在讲什么 d(-µ) µ 是一个常数 对它取 d 它就不见了 就剩下 x/σ 或者说 dx/σ dx/σ 会等于什么 会等于 dω 回头看原来的积分 有没有 dx/σ 有 这边有一个 1/σ 这边有一个 dx 这两个合起来就等于 dx/σ 就会等于 dω 这坨东西 1/σ 乘上 dx 就可以变成 dω 你看 原来的 σ 不见了 前面就只剩下 1/√(2∏) 最后 这个积分的上下限会变成什么 -∞ 还是-∞ 但是 上限 我们来看一下 这个地方是说 x 积分积到 µ+σz 就是 x 是等于 µ+σz 积分上限积到 x＝µ+σz 对应的 ω 是什么 记得 ω 是 (x-µ)/σ 我们刚才讲过 所以 就会等于 就会等于 µ+σz-µ 然后除以σ µ 跟 -µ 消掉以后 最后变成 σz/σ 最后等于 z 原来 x 积到µ+σz 当变数换成 ω 积分就积到这里 再观察一下这个积分 老师现在框起来这个积分 这个积分跟刚才 Φ(z) 的形式有没有不一样 Φ(z) 也是积分 从 -∞ 积到 z 那差别是差在什么地方 其实都一样 只是刚才那个 ω 这边这个 ω 在前面几页的投影片里 老师不再回到上一页 大家自己可以再去看 差别是在 这边是用 ω 刚才是用 u 就是差这个 其它都一样 积分你用什么变数型都一样 都没差 只要函数形式长得一样 积分的值还是一样 所以 最后发现 这个东西长相其实就是 就是等于 Φ(z) 呀 我们发现 (x-µ)/σ≤z 也就是 (x-µ)/σ 它的CDF 这个东西的CDF确实是等于 Φ(z) 我们知道 N(0,1) 的CDF 也是 Φ(z) 我们以前教过 两个随机变数 如果 CDF 长得一模一样的话 就表示两个是同样的机率分布 我们发现 确实 两个的 CDF 都是 Φ(z) 就是 (x-µ)/σ 一定应该也是 Standard Normal 才对 所以就得证 这个关系怎么样可以帮助我们 我们要算这个机率 任何一个 x 任何一个 µ,σ 所产生的 Gaussian 的 x 它的 CDF FX(x) 就可以从 Φ 算出来 怎么算出来 很简单 FX(x)=Φ((x-µ)/σ) 为什么这样 要用到刚才的关系 来看一下 要算的是 X 的 CDF 也就是 X≤x 的机率 X≤x 的机率 如果 X 会 ≤x 的话 X-µ 是不是也会 ≤ x-µ 所以这两个机率应该是一样的 X 如果会 ≤x 那 X-µ 也会 ≤ x-µ 如果 X-µ 会 ≤ x-µ 的话 那两边同时除以 σ 以后 是不是这个不等号还是成立 是的 所以这两个机率也还是一样的 X-µ 如果会 ≤ x-µ 的话 (X-µ)/σ 也一定会 ≤ (x-µ)/σ 这边老师跟大家提一下 记住 σ 是一个大于零的数 所以 除了 σ 以后 不等号不会改变 所以这两个机率会是一样 这个CDF值 就等于 (X-µ)/σ 这个 random variable ≤ (x-µ)/σ 的这个机率 不就是 (X-µ)/σ 的 CDF 值吗 (X-µ)/σ 刚才我们已经知道 这个东西是什么 是一个 Gaussian 等于是个 Standard Normal 一个 Standard Normal 小于等于 (x-µ)/σ 的机率是什么 就是把它代到 Φ 进去 就是 Φ((x-µ)/σ) 也就是我们这边写得比较清楚的这个式子 所以我们发现 太棒了 不管 X 是从什么样的 µ,σ 所产生的 常态分布的随机变数 你的CDF 统统都可以用 Φ 算出来 现在只要用 Φ 的一个表就可以了 我们不需要不同的 x跟σ 去建一个表 不用 我们只要用一个 Φ 的表就好了 一个 Φ 的表就可以帮助我们算出 千千万万个常态分布的随机变数的 CDF 这真是太给力了 是不是
