這是一個機率的入門課程，著重的是教授機率基本概念。另外我們的作業將搭配臺大電機系所開發的多人競技線上遊戲方式，讓同學在遊戲中快樂的學習，快速培養同學們對於機率的洞察力與應用能力。
6-2.c：期望值 I (下)
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来自 National Taiwan University 的课程
頑想學概率：機率二
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从本节课中
WEEK 6
本週我們將延續上週還沒說完的連續機率分布，並介紹離散的隨機變數期望值。
与讲师见面
葉丙成教授(Professor)
電機系(Department of Electrical Engineering)
好 那在概率上来讲呢
Variance呢是个非常重要的东西 好
那 Variance呢 通常在概率上面 我们用的符号
通常用σx^2来表示它 σx^2表示它
那它呢 其实就是 跟大家讲就是 x-μx 的平方
这一个大X的函数 它的期望值
那大家注意一下 有时候 在考试的时候 老师看到这个就蛮伤脑筋的
很多同学σ都写这幅德性
那你写这幅德性我根本分不出来 你这个到底是6还是σ
所以这个很伤脑筋啊 所以同学在写σ的时候
那个时候 你这样子写 很多时候就很容易混淆了
那一个比较好的写法就是 欸 从里面写出来 这样子比较好
好 写出来就比较好
好 OK 像这个就很好
所以σ 你就要写σ 要注意啊 不要写成这个
很难看 要写就写成这个样子 有没有
一个漂亮的σ要像这样
长得很像什么 很像樱桃小丸子里面那个花轮 有没有
所以σ这个写得像 画的像花轮一样的话
就水（漂亮）啦 好 你这个就很漂亮啦
OK 好 这个σ要好好写
那Variance为什么很重要呢
因为Variance 通常它隐含着一个
关于随机变量多乱的这个方面的资讯
在这个 Variance里面
怎么说呢 我们来看一下这个例子 好
假设你现在有一个PMF 那这个PMF有三个可能发生
有三个可能的值 所以有三个概率
那这三个值假如说 欸 这三个值呢还蛮接近
这三个可能发生的x还蛮接近 所以 它的μx在这附近
μx 好就是 应该就是在这三个的中间的某个地方
好 那你看看 因为这三个呢非常非常靠近
所以呢 你这个PMF非常非常靠近 所以我问你
老师问你 这个PMF如果长这样的话 这个x的值乱不乱
不会很乱啦 因为它们都在这个 μx它的附近而已
它的值呢就在μx附近 变化不会太大
所以这个不会 没有很乱的东西
那我问你 它的Variance呢 怎么样呢
你看看 因为它们三个很靠近 所以μ呢
也会跟它们 就是说 三个可能的值都很靠近
所以你看这个x-μx 这个值就会很小
它的平方 也是很小 对不对
所以呢 取期望值之后 这个量呢 就不会太大
好 所以呢 当你的这个Variance很小的时候
其实就隐含着告诉你就是说
欸 你这个x可能发生的值呢 很多都在μx附近
好那代表说 你这个random variable呢 它的行为不会太乱
因为它可能的值都落在μx附近 好
那给另外一个例子 如果你现在PMF看起来长这个样子呢
哇 这个X可能发生的值是 是散布在一个还蛮大的一个范围
这个X乱不乱 很乱啦
它从这么小的这个X值 到这么大的都有可能
好 那分布范围这么大 所以呢是一个蛮乱的一个X
好 蛮乱的一个random variable
那它的 μx 也是somewhere？ somewhere在这个中间
可能它这个μx也是差不多在这个中间的某个地方
好 那你看看呢 因为这个X呢 很乱
它落在一个范围呢 相对来讲就比较大
这个时候呢 你跟x-μx的值呢 是大或小
诶 有些x呢 像这个x的话 离μx还蛮接近
这两个 离μx还蛮接近 他可能减掉μx 的平方就还蛮小
可是呢 因为它落的范围很广 所以它也有那种离μx很远的
像这个点 有没有 还有这个点呢离μx也是很远
有没有 好
所以你看 两端的比较远的点
欸 它这个时候就会出现 有可能会有出现
比较乱的X 就有出现 有可能出现
离μx比较远的 这些x的值
那这个时候x减掉μx的平方 再取期望值的时候
就比较可能出现一些比较大的 这个项在这里面
所以整个Variance就会变得比较大
好 所以呢 Variance大或小 某种程度呢 就给我们一些
关于这个random variable多乱 分布多广
多 散布的多广多乱 的一些 一些一些资讯
一些情报在这里面 好 所以这是为什么 我们在看期望值的时候
有时候会特别 也会 我们也会特别看Variance
因为对我们来讲 是有重要的意义 好
那Variance呢 如果你把它开根号的话 通常就是我们所谓的标准差
也就是standard deviation 好
那standard deviation你看 本来是 Variance呢是 σ square
也就是σ的平方 所以要记住噢
在表示Variance的时候 这个平方不能漏掉噢 平方一定要有
好 它开根号以后 就是什么 就剩下σx
那这个σx一定是大于等于0的
好 那σx呢 就是我们所谓的标准差 也就是根号的variance
好 那这个呢 也是我们通常 用来统计的一个重要的一个指标
比如说 我们经常在这个班上同学的成绩
这个同学成绩呢它的标准差 它的成绩分布的标准差
大或小 就代表这个班的成绩 学生学习的这个程度差异
欸 是小或大
所以 标准差在我们来讲就是说很重要的一个指标
那它其实就是variance开根号 所以两个是互通的
OK 好
好 那variance这么重要 那variance怎么算呢
那你说那老师你讲的这是什么笑话 不就是按照这个定义吗
x减掉μx 它的平方取期望值
那不就是等于它呢 去summation
好比如说x-μx 的平方乘上PMF
然后把x呢 从负无穷大 summation到无穷大
不是就照着这个定义去算吗
好 那当然呢 你这个乖宝宝这样子算是可以的啦
好 但是问题是说 有的时候是 还蛮麻烦的
好所以当我们算variance的时候 我们通常是用另外一个比较容易的算法
好 怎么算呢 好 是这样子算的
好 欸 我们就先怎么样 你是x减去μx的平方嘛
然后在括号里面取期望值 所以我们就先把你这里面的就把它乘开来
x减掉μx的平方乘开来就变成这个样子
X平方减掉2*μ*x 加上μx的平方
好记住 μx是什么
μx是x的期望值 那x的期望值是什么
是常数 还是随机变量
是常数 是正 是不变的还是会变的
任何一个random variable 前面老师都讲过
任何一个random variable的期望值 都是常数
所以呢要记住 在这边这个μx 都是常数
好 那 刚刚讲过 诶 这个期望值运算的这个性质原理
就是欸你有好几个东西 凑在一起 加在一起 再取期望值
跟分别取期望值再相加是一样的
好 就跟那个alpha g of x 加上HO
加上beta h of x取期望值那个性质 还记得吗
所以 刚才是2个 但是这个是三个 三个可以拆啊
你可以拆开啊 所以呢三个呢就变成是第一项
x呢就变成x平方的期望值
第二项是 -2*μ*X 那就变成-2*μ*X的期望值
啊跟这个X平方的期望值相加
还有一个是什么 μx平方的期望值 那就是μx平方的期望值
好 那刚才老师讲过 μx是常数 那μx的平方是什么 也是常数
那一个常数的期望值是什么
啊就是它自己 已经是常数了你还期望它变什么
好对不对 好这个μx应该拉到外面来 对不对
啊那这个呢 -2*μ*X -2*μ是什么 是个常数的系数
常数的系数怎么样 刚才讲过也是可以拉到外面来
对不对 好
所以我们给它整理一下呢 你有没有发现就是说
诶 那这个X平方的期望值呢还是维持X平方的期望值
不要变动 但是-2*μ呢 被拉到外面来 这就是-2*μ在外面
里面就剩下一个x 所以就是这个E[x]
那E[x]就是x的期望值 E的x不就是μx么 所以这边就变成什么
-2*μx再乘上μx 就变成什么 -2*μx的平方啦
OK 好
那后面这一项呢 μx的平方刚才讲说 μx平方是个常数
所以它的期望值就还是μx的平方
所以 前面这边就有一个 -2*μx平方加上μx平方
两个消项以后就等于什么 变成-μx的平方
对不对 所以最后呢 我们发现最后的结果就等于这个
x平方的期望值减掉μx平方的期望值 好所以
当然你可以按照定义 用这样算 σx这样算也是可以
但是呢 我们通常发现说用这样子算 现在框起来这一个
这个算法会比较好算
因为通常在算期望值得时候你已经有μx了
这个负μx的平方你已经知道了 所以接下来你只需要算x平方的期望值
也就是刚才讲的 2nd moment 就很好算了
好 所以这就是我们通常常用的一个公式
所以 σx square 等于μx
σx square 等于x平方的期望值加上μx的平方
你把μx 的平方移过去以后你就会发现有另外一个公式就是什么
就是X平方的期望值就是2nd moment
会等于 这个σx square 就是variance
加上μx square 加上期望的平方
好这个东西只要记住的话 以后你就很好算variance啦
好 那我们现在来看一些常见的离散随机变量的它们的这个期望值
跟这个方差 这个variance
好 其中呢 第一个我们就来看这个Bernuoli(p)
Bernuoli(p)的话就是什么 它等于1的概率是p
等于0的概率是1-p 对不对
好 那所以 μx就是什么 μx就是来 把你这个可能的值
就是1乘上对应的概率就是p
另外一个可能的值就是0 对应的概率是1-p
乘出来呢 最后就是什么 就是1*p 就是p啦
好所以μx就是p
Bernuoli random variable它的期望值呢 就是p
好 那variance呢 好如果你还记得刚才讲
我们刚才不是才算了吗 variance应该等于什么
等于x平方的期望值减掉μx的平方 这是好算的算法
那这有什么好处呢 因为μx呢 我们已经知道是多少
就是p啦 前面已经算出来
所以μx的平方就是p平方
所以我们现在只需要算X平方的期望值是多少
就是X的2nd moment ?
好那x平方 x平方是个x的函数的话
所以就把所有可能的x带到这个函数里面去 对不对
所以就是summation 的x平方乘上这个PMF
好 然后再把summation写下来 对不对
X平方乘上PMF的summation写下来 就是X平方的这个 期望值
减掉 不要忘记 还有一个μx的平方 好就是前面这个μx的平方
不要忘记 还在这边
好 X平方的期望值也是这样
X呢 要么就是 不是等于0就是等于1
那就一个一个带进去嘛对不对
就是等于什么 欸 x有可能等于1
x如果等于1的话就是1的平方乘上等于1的概率 就是p
对不对 好那另外呢 x有可能等于多少 X有可能等于0
所以X平方就是x平方
就是等于0的平方 乘上等于0的概率就是1-p
好所以你处理一下发现是什么 诶
1平方乘以p 加上0平方乘以1-p 那还是
那就是p啊 对不对
好所以就变成p 再减掉p平方
那你把它整理一下 就变成是p乘上1-p
好所以 这是Bernuoli的p的variance是p乘上1-p
好 那binomial呢 Binomial(n, p)
就是Binomial(n, p)的话 如果你还记得Binomial(n, p)的话
它的μx是多少 它的μx就是等于np
好 那它的σx square 等于np*(1-p) OK 好
那 这个东西为什么这个样子呢 这个后面我们如果介绍这个
(听不清）的时候
哦 这个推导就很容易 但是 这个呢也可以直接去推
用PMF去推 那这一次 老师把它当成一个作业
因为 我认为这个推导非常非常重要
这个 我们除了会用数学之外
但是 很多一些数学的推导
这些东西我们要试着 要能够建立这样的能力
好 那Binomial(n, p) 等下老师会教你一个Poisson的这个 期望值怎么求
那你就用这个观念 这个方法 这个同样的精神去求binomial这样的一个np
你如果这个能够求出来 诶 那老师就是觉得是 你应该就是还蛮不错的
好这个 推导上的这个 这个能力就建立起来了
它的binomial np它的mean就是等于n乘上p
好那variance呢就会等于 np(1-p)
好 那这个东西你观察一下 你会发现说诶
你如果观察binomial的mean跟variance 跟bernuoli的mean跟variance
你发现有什么行为
你看着噢 bernuoli的mean是什么 是p
可是binomial的mean是什么 是np
bernuoli的variance是p(1-p)
binomial的variance是什么 是n倍的p乘(1-p)
所以你发现说诶 binomial的mean跟variance需不需要背
啊太好记啦 你只要知道Bernuoli(p)的mean跟variance的话
你把它乘上n倍就是binomial(n, p)的mean跟variance了
超好记的 对不对
那你说这个Bernuoli(p)的mean跟variance 要不要背
要背也是可以的 如果不会的话
1乘上p加上0乘上(1-p) 这么好算的
直接去算就好了啦 对不对
好 所以 bernuoli跟binomial这个mean跟variance要记起来就不是问题啦
好 那我举个例子
如果你今天是一个Binomial(5, 0.2)的话
好也就是你的n 这是你的n 是等于5
p 是等于0.2
好 那你的μx是等于多少
那μx就是等于np啊 就是5乘上0.2啊 就是1啊对不对 好
好 那你的variance等于多少
variance就是5乘上p乘上1-p
就是5就是n嘛好 就是5乘上p乘上1-p
好你算一算 发现说 诶 它就是什么 就等于0.8
OK 好
好 那另外呢 还有一个什么 Geometry(p)
这也是我们 之前看到一个 常见的一个离散的随机变量的概率
好μx是什么
μx就是把x乘上它这个Px 好把它 这个PMF 把它 summation起来
那PMF如果你还记得是什么
就是1-p的x-1次方 乘上p 对不对好
这就是它的PMF
那PMF还要什么 还要乘上x 然后再summation起来
好那 所有可能的x是什么 要不要从负无穷大
不用啊 因为这个Geometry(p)只有在x大于等于0的时候才有值啊
所以 这个就没什么 那同学会说
诶 那这个不是 大x不是大于等于1吗 怎么会有0呢
没关系 这个summation不会有问题因为什么
因为当x=0的时候 这一项刚好消失
好 所以你这个summation从1开始写跟从0开始写都可以
好 那这个东西呢 等于多少
你看看啊 这其实是一个 这边长得像是一个1-p的x-1次方
这个x一直随着x的增加而增加
好所以这看起来是一个等比级数 对不对
但是前面有一个x 有一个公差在那边
所以这是一个 等差又等比的级数
那这个计算的话 其实高中的话应该都有算过这怎么算
老师就不再赘言了
好 基本上你能推导出来它是等于p分之1
好 那variance呢
还是利用刚刚那一招 x平方的期望值减去μx的平方
好 如果你去算的话也是一样 这个数列 你去处理它
你会发现说它等于p平方分之一乘以1-p好
老师也是非常强烈建议 你这两个
μx跟σx的平方你要去推导出来
好 这都不难 那老师写给你看也没有意义
因为写给你看的话 终究还不是你自己的
你这个能力还没有建立起来
好所以这个地方 老师把答案给你
但是呢 老师等下后面会教你怎么推导
拿poisson当例子让你来推导一下
好 同样的 Paskal(k, p)的话 你会发现说
同样的μx呢等于p分之k σx square呢
variance等于p平方分之k乘上1-p 好p平方分之k乘1-p
好 那你看看 again你再比较一下这两个
Geometry(p)的期望值是什么 是p分之1
可是呢 paskal的期望值是什么 是p分之k
欸 差几倍 差k倍
geometry的variance是什么 是p平方分之1-p
可是paskal是什么 p平方分之1-p再怎么 再乘上k
也是k倍
好 所以你看看 欸 这是不是巧合呢
跟刚才那个binomial的case类似 不是巧合
好 以后我们会证明这件事情
好 但是 欸 这个就告诉我们一个很好的方式来记啊
好这个Paskal(k, p)的 这个mean跟variance你需不需要背
不用背啊 geometry记起来就好啦
对不对 好
所以呢这个性质也是要记住
这是为什么老是把geometry跟paskal配对放在这边的一个原因
好
