這是一個機率的入門課程，著重的是教授機率基本概念。另外我們的作業將搭配臺大電機系所開發的多人競技線上遊戲方式，讓同學在遊戲中快樂的學習，快速培養同學們對於機率的洞察力與應用能力。
6-2.d：期望值 I (末)
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来自 National Taiwan University 的课程
頑想學概率：機率二
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从本节课中
WEEK 6
本週我們將延續上週還沒說完的連續機率分布，並介紹離散的隨機變數期望值。
与讲师见面
葉丙成教授(Professor)
電機系(Department of Electrical Engineering)
最后一组呢 我们就是来介绍这个 POISSON
如果你是X是 Poisson Alpha random variable
他的期望值跟variance统统都是Alpha
两个都是一模一样 这个很有意思啊
然后呢 如果你今天这个X呢
是UNIFORM（a,b) 是 DISTRIBUTE UNIFORM 这种概率分布的话
均匀的概率分布的话
他呢 期望值是什么啊？
刚好就是a跟b的中点 就是（a+b)/2
那他的variance呢就是 1/12的(b-a)乘上(b-a+2)
这些呢 通通都是可以推导的
老师呢 希望你们去推导
这个作业里面 这个
有个作业呢 老师希望你们去推导
这个几个 某几个…
期望值跟variance的值
你呢 可以自己去推导
不然呢 就是有些你自己推导过了以后
推导几次推不出来的话
那你可以去 找一下书啊 或者是什么来看
这到底是什么 去图书馆找书
但是呢 务必自己要搞懂
老师作业里面 问你自己有没有
推导 自己会不会推导 有没有推导过
大家都是诚实的
作为老师的学生 老师已经跟大家讲
老师相信各位 你们是不会作弊的
对不对
所以呢 就自己好好做 老师希望你自己能够把它推导出来
不然就是自己去查书
但是当然啦 能不要查书就不要查书啦
因为我已经教你怎么证了你还去查书 对不对
那不是喊我们这个…不会教吗 对不对
好 总的这个样子呢 说实在的
老师这次传授给你们
这个是 我多年来做概率这些问题
其实概率 或者是数学的这些推导或证明
他的这个终极奥义 是什么？
就是一个要诀啦 什么要诀？
就是凑
凑字决
什么意思呢 老师给你个例子
我们就以poisson(alpha)他的这个期望值为例子
我们来推导 看看poisson(alpha)这个期望值是怎么推导的
你看下 当你要推导poisson(alpha)期望值的时候你先要知道些什么
你要知道你要的poisson的PMF长什么样子啊对不对
你连PMF都不知道 那你怎样去推导人家期望值
他的PMF呢 长这个样子
X阶乘分之alpha X乘上e的负alpha次方
X 从 0, 1, 2 一直到 无穷大都有可能
所有的数学证明或推导
你在真的要去推 要去证明之前
推导或证明之前 你要先想想看 你手上到底有什么
到底有什么有利的条件跟情报
可以让我们等下后继有用
你想想看哦 如果人家告诉你PMF长这个样子的话
如果有人告诉我们PMF
有个东西的PMF长这个样子的话
你手中有什么情报 你手中有什么公式和情报可以用
有的 什么公式 就是PMF
所有的PMF值加起来会等于1 有没有？
所以就是这个
所有的X阶乘分之阿尔法X次方乘以e的负阿尔法次方
把他从X 所有可能X从0到无穷大 把他summation起来
最后出和等于多少 会等于一
所以这个就是 非常有利的一个情报啊
等一下我们证明的时候就要想办法要
好好利用这个条件 就是
就是这整个东西summation起来 等于1
这个公式我们要好好利用
所以呢 PMF要不要背 要
每一个PMF就是一个公式
如果你记住PMF的话 你就是多了一条公式可以用
就是PMF加起来等于1
那回过头来
X的期望值是什么 X的期望值就是
X乘上他的PMF值
X乘上PMF值 把他SUMMATION起来
那这个X跟X的阶乘呢可以消掉
一个X阶乘的X
所以X的阶乘 这边分母的X阶乘就变成X-1的阶乘
所以我们就变成是
(X-1)!分之alpha的x次方乘以e的负alpha次方
就把他summation起来 对不对
那这个东西呢 我们就卡在这个地方了 这个东西怎么做
没做过啊 (X-1)!分之alpha的x次方乘以e的负alpha次方 这个summation是等于多少
这个级数 我们学过等比级数 等差级数 但是这个东西
现在这个级数 这是什么东西啊
根本看不出来这是什么东西啊 对不对
怎么办 那我们回过头来看看我们手上有什么东西
数学的推导证明都是这样
先看你手上有什么情报 有什么条件可以用
我们手上 刚才讲 我们有这个条件啊
我们有这个summation 我们知道这样形式的summation等于1
那我们现在要说的是这个的summation
那我们现在想到一个问题说
好啦 那下面这个
我们有没有办法 想办法凑得跟上面这个很像
那我们就有机会凑出答案了 对不对
那我们来观察一下上面这个东西
上面这个东西的summation从哪里开始 从0开始
但是这边下面这个东西summation从哪里开始 从1开始
对不对 就不太一样
上面这个东西 你看一下
alpha的X次方跟x阶乘的x是一样的
可是这个地方
alpha的次方是x 下面是x-1的阶乘 你还是不一样
至于e的负alpha次方 e的负alpha次方 大家都还是一样 那就还好
但是我们来想 我们先想办法先来凑吧
上面这个地方 这个alpha的次方跟这个什么的阶乘这个东西
这两个东西是一样的 对不对
那下面我们就来想办法看看能不能凑成一样
你这边既然是x-1的阶乘
那我上面就把你想办法凑成一样
就变成alpha的次方要凑 就是变成alpha的x-1次方
所以我就凑得一个 x-1的阶乘
上面是alpha的x-1次方 这两个凑成一样
可是原来人家是alpha的x次方
你给我变成alpha的x-1次方 那就表示什么
外面就要多乘一个alpha 就要把一个alpha拉到外面
所以你看 目前我们跟上面这个summation比较一下
x阶乘 这个阶乘的这个地方跟次方这地方 把他弄成一样
这个地方跟次方一样 good ok?
但是人家这个东西是什么 人家是x啊
你这个 人家这是一个变数x 那你这个x-1看起来很难看啊 对不对
所以怎么办
我们就做一个变数变换 我们就把整个x-1叫做x' 好不好
所以呢我们就令x'等于x-1
如果令x'=x-1的话 那这边就变成alpha的x' 次方
下面这边x'的阶乘 看起来就跟上面有点像咯
看起来就是 x'的阶层 上面alpha的x' 次方 对不对
但是呢 本来原来summation是从x开始
你现在给它变成x'
那你summation的上下限我们就要改一下啦 对不对 你看看
原本的X是怎么样
x是从1 原本的x是从1到无穷大 对不对
那x'等于什么 x'就等于x-1嘛 对不对
那x既然从1到无穷大 那x'等于什么
它应该从1-1到无穷大-1 对不对
x从1到无穷大嘛
那x'等于x-1的话 x'的话 x的话从1开始的话就是1-1
到 x是到无穷大结束 就是无穷大减1 对不对
所以这个东西你把它整理起来他是什么
就是0到无穷大嘛 对不对 就是0到无穷大
所以 你整理一下发现就是说
那这个alpha' alpha乘上这个summation的话
那这个x'的范围就是什么
应该就是从 x'就是从0到无穷大
所以你把它整理一下就变成 x'= 0到无穷大
那x'的阶乘分之alpha的x'次方乘上e的负alpha次方
我们把这个summation 跟上面这个summation
这个1号和2号比较一下 你会发现怎么样
有没有一样 你发现说 这个呢
这边叫x 但是我这边叫x'
这边叫alpha的x次方 这边叫alpha的x'次方
这边是x summation x从0到无穷大 我这边是把它改成x'
但是它也是从0到无穷大
所以发现说 这整个东西怎么样
它的这个指数是等于1 是的 就等于1啦
所以 我们就是辛辛苦苦
终于一步一步把他凑成
跟我们手上有的这个条件长相是很像的
是一样的一个式子
那你就可以直接利用它等于1
所以就变成alpha乘上1 最后就等于alpha
有没有 所以这个推导过程 老师就是希望让你
给你看到 就是希望传授给你
就是说 概率的证明或者是很多的数学证明
都是凑 哦 凑
你要做这个问题之前
要推导一个东西之前 要证明东西
先想想看 先注意看一下
你手上 先清查一下你手上 有什么公式 有什么条件
在我们这边呢 我们的条件就是这个
然后呢你在证明过程中 推导过程中
就想办法把你碰到的一些
处理的一些很怪 长相很奇怪的式子
想办法让它长的越来越像你手上有的那个条件
手上有的那个条件 有的那个式子的话
那 你就可以把它化简出最后一个很简单的答案
这个就是所谓的凑字诀
所有的数学的证明跟推导
凑字诀都扮演了一个非常重要的角色
但是 很多书很多人是不会跟你讲这个事情的
因为这个东西它是老师的心得
在这个地方跟大家分享
大家是有缘呐 老师就跟你分享了
好 讲了这个凑字决
POISSON的这个期望值alpha
POISSON(alpha)这个期望值我们推导出来是alpha之后
那接下来说 你的Variance的值是多少
那Variance的值呢 就等于什么
x平方的期望值减去μx的平方
μx我们已经证出来时什么 是α对不对
所以现在怎么样 现在我们只需要
说实在 我们只要证出x平方的期望值
能够推导出来是什么 我们就可以得到答案
x的平方期望值是什么
x的平方期望值根据定义的话 x平方是x的函数对不对
那你应该把x的平方带进去
就是小x的平方乘以x的PMF 这个summation是多少
好 那这时候老师要问你啦
这个东西一定要证哦
这个非常重要哦
这个东西能够证出来的话 你能自己推导出来的话
那就表示你没有问题了 你期望值学的通透了
可是老师给你一些hint 一些提示
again
当你想要推导这个东西之前 先想想看 先清查一下
你手上有哪些有利的情报
这个情报有没有 还是可以用啊
PMF加起来等于1 还是可以用
所以 1号情报我们还是可以用
好了 还有什么情报
光是这一条 1号 够不够
很遗憾地 不够 你还需要一条其他
应该还有一些 还有更多情报来能够帮助你
但是你想想看 还有什么情报
你手上还有没有什么公式
除了这个PMF加起来会等于1 还有没有什么公式
有的 我们刚才还推导出来什么
我们刚才才推导出μx等于α
也就是x的期望值等于α x的期望值是什么
就是这个式子嘛
x乘上PMF之后 summation来的α
所以这整个式子等于α
这是什么 这是第三式
所以 1号跟3号式子都是我们的什么
都是我们的出发点 现在我们手上有的这个情报啦 所以
你看看 当你推出来 μx之后
我们手上又多了一个条件
所以你现在就是要靠 1号条件跟3号条件这两个式子
这个式子 这个式子
然后利用这两个 看你能不能 把它凑出一个东西出来
x的平方乘PMF 看看能不能凑出来跟3号式子 1号式子很像的一些数值
然后最后看他长相长什么样子
老师答案已经跟你讲说它是α
但是你要证明出来为什么它是α
这个问题值得好好做
还有那个binomial(N,p)也值得你好好去推导
如果Poisson的variance和Binominal的variance你能推导出来
ok的 就表示你学通了
好 那我们这一节来回顾一下
我们为什么想要知道期望值 因为
对于一个随机变量 它的数值是乱的 我们无从掌握
所以我们很希望说有没有一个好的方式可以估算它
期望值就是一个我们很常用来估算 估测一个随机变量的一个方法
根据大数法则 期望值会等于什么
期望值会等于你做
无穷多次实验之后 所得到的这个实验结果的平均值
所以这是一个期望值直观上的一个很重要的意义 根据大数法则来的
那随机变数 他的期望值 我们会求
那函数的期望值又怎么样
g(x)概率我们会不会求
我们会求啦 就是直接小x带到g里面去
然后再乘上对应的x的PMF的值 summation起来
那其中我们觉得最常用 最重要的一个是什么
就是Variance
就是变异数 那变异数的意义是什么
它其实某种程度告诉我们 你这个随机变量多乱
这个数字的分布范围有没有分布很广 或者说有没有很乱
这个是Variance
有的时候它可以告诉我们这方面的information
那数学 或者是一些推导
概率啊 或者是数学的一些证明
最重要的一个要诀是什么
就是刚才老师告诉你的 凑字决
非常重要 然后你务必要自己推导过 老师在作业里面要求你推导的
那你才能够真正领悟凑字决这个要义
OK 好 那这个就是今天我们这个课啦
那我们下个礼拜再见啦 拜拜
