[SON] [AUDIO_VIDE] Le premier exercice concerne un problème d'accidents dans une usine. Et, voici l'énoncé. Le nombre d'accidents N, durant une semaine dans une usine est une variable aléatoire d'espérance m et de variance sigma carré. On suppose que le nombre d'ouvriers X blessés lors d'un accident est également une variable aléatoire d'espérance mu de variance tau carré. Tous ces événements sont supposés indépendants. On se pose deux questions. La première question est de calculer la fonction génératrice du nombre Y d'ouvriers blessés par semaine, en l'exprimant à l'aide des fonctions génératrices de N et de X. De là, on en déduira, ce sera la seconde question, la valeur des espérances et variances de Y en fonction de m, sigma carré, mu et tau carré. On va introduire les variables aléatoires X i, qui vont être le nombre de blessés dans le i-ème accident. [AUDIO_VIDE] En effet, si j'introduis ces variables aléatoires, je peux exprimer Y comme la somme des X i i allant de 1 jusqu'à grand N. Vous voyez tout de suite, que la particularité de cette somme de variables aléatoires c'est qu'il y a un nombre aléatoire de termes. Donc, cette petite difficulté va être résolue en conditionnant et cela va nous permettre de calculer la fonction génératrice de Y. Donc, G Y (s), on prend s un nombre entre 0 et 1. G Y (s), par définition du cours, c'est l'espérance de s puissance Y. Je remplace par sa valeur, c'est l'espérance de s à la puissance la somme des X i, et pour pouvoir calculer cette espérance, on va conditionner. On va décomposer sur les événements N = k, et on va sommer sur toutes les possibilités, ce qui nous donne somme sur k, l'espérance de s puissance la somme des X i, étant donné que N = k, fois la probabilité que N = k. Donc là, on a utilisé une fois de plus la loi des probabilités totales. Maintenant, on va exploiter l'indépendance des variables aléatoires N, X 1, X k. Et, utiliser le résultat du cours, qui nous dit qu'on peut, tout simplement, factoriser cette espérance comme un produit d'espérances. Donc, somme sur k, espérance de s puissance X 1, fois etc, espérance de s puissance X k, fois la probabilité que N = k. Donc ici, pour cette égalité, on a utilisé l'indépendance de N, X 1, etc, X k. Donc, on obtient la formule suivante. La fonction génératrice de Y c'est la somme sur k de la probabilité que N = k, et ici on reconnaît chacune de ces espérances, et la fonction génératrice de X. Elles ont toutes la même loi. On obtient donc G X (s), et comme on a un produit de k espérance, chacune de ces espérances est égale à G X (s), on trouve G X (s) puissance k. Et par définition, de la fonction génératrice, on voit que c'est la fonction génératrice de Y évaluée en G X (s). Voilà pour le calcul de la fonction génératrice. Pour trouver l'espérance de Y, d'après ce qu'on a vu en cours, il faut dériver cette fonction en s égal 1. Donc, dérivons cette fonction en s = 1. Donc, on a une fonction composée, et si on calcule la dérivée, on obtient que G ' Y (1), c'est G ', il y a une erreur au-dessus, dans reprenons la ligne G Y (s). Ce calcul, évidemment, ici, on reconnaît la fonction génératrice de N évaluée en G X (s). Donc, ici c'est un N. Voilà. Donc, si on reprend le calcul de la dérivée de G Y, on trouve G' N ( G X (1) ) fois G ' X (1). Tout simplement, dériver une composée de fonction et j'ai pris le résultat en s = 1. Il faut se souvenir que d'après les définitions des fonctions génératrices et leurs propriétés, on a une valeur suivante pour tous les nombres qui rentrent dans cette formule. G (1) c'est 1, cela c'est juste le fait que X est une variable aléatoire qui suit une loi de probabilité. G ' Y (1), c'est un résultat général que la dérivée en 1 d'une fonction génératrice, c'est l'espérance. G ' X (1), c'est l'espérance de X. Et enfin, G ' N (1), c'est également l'espérance donc de N. Donc, on arrive à une formule pour l'espérance de Y, qui vaut tout simplement l'espérance de N fois l'espérance de X. Et, on l'a appelé m, l'espérance de N, et l'espérance de X, on l'a appelé mu. Voila donc l'espérance de Y. En ce qui concerne la variance, c'est un calcul un peu plus pénible, qu'il faut savoir faire. Alors, je vous rappelle la formule du cours. Formule générale que la variance d'une variable aléatoire Z s'obtient par la dérivée seconde de la fonction génératrice évaluée en 1, moins le carré de la dérivée de la fonction génératrice évaluée en 1, plus la dérivée de la fonction génératrice évaluée en 1. Z est une variable aléatoire. Donc, cela c'est une formule générale. Il va falloir calculer chacun de ces termes. Donc, calculons la dérivée seconde en 1. Pour cela, on va dériver une seconde fois l'identité qui nous a conduit à calculer l'espérance de Y. Donc, évidemment, là c'est un Y, excusez-moi. On dérive l'identité suivante, qui est G ' (s) c'est G ' N ( G X (s) ) fois G ' X (s). On va dériver donc cette expression, que nous avions utilisé juste avant, évaluer en 1 pour trouver l'espérance de Y. Donc, si on dérive cette relation, on obtient G " Y (s), c'est G " N (G X (s)) fois le carré de G ' X, plus, puisqu'on dérive un produit et le premier terme c'est une fonction composée. G ' N ( G X (s) ) fois G " X (s). Autrement dit, si maintenant on l'évalue en 1, on trouve G " N (1), puisque G X (1) vaut 1, fois G ' X (1), qui est l'espérance de X, au carré. plus G ' N ( G X (1)), donc cela fait G ' N (1), donc cela fait l'espérance de N, fois G " X (1). Il nous faut calculer maintenant G ' Y (1) au carré. Cela c'est tout simplement le carré de l'espérance de Y. [AUDIO_VIDE] Et enfin, donc G ' Y (1), c'est l'espérance de Y. On va substituer en la formule qui donne, la générale qui donne la variance, donc la variance de Y va être G '' N (1), l'espérance de X donc c'est mu, donc il y a mu carré, plus l'espérance de N qui vaut m, donc cela fait m * G " X (1), Et il faut retrancher donc le carré de l'espérance de Y, on a vu que cela faisait m * mu, donc cela fait m carré * mu carré. Et il faut ajouter l'espérance de Y, qui vaut m * mu. Donc, là c'est un carré. Donc, l'idée consiste à faire apparaître la variance de N et la variance de X, en utilisant toujours la formule générale, et donc si j'exprime G " N (1) en fonction de sigma carré, cela me donne donc sigma carré * mu carré, et il faut que j'ajoute le terme qui est la dérivée de G ' N (1) au carré, et que je retranche G ' Y (1). Donc, cela me donne plus m carré * mu carré, moins m * mu carré, là c'est, donc j'ai remplacé G " N (1) par sigma carré, en compensant ce qui manquait. Je fais pareil pour l'autre terme, donc cela me fait m * tau carré. Je fais apparaître la variance. Et donc, il faut que je retranche ce qu'il faut. Cela fait m * mu carré- m * mu. Et je reporte ce qu'il y avait déjà à la ligne d'au-dessus, qui est - m carré * mu carré + m * mu. Vous voyez qu'il y a des compensations. Cela s'en va avec cela. m * mu carré disparaît avec ce m * mu carré. Et celui-là avec celui-là. Nous terminons donc avec sigma carré * mu carré + m * tau carré. Voici donc la formule finale pour la variance de Y. Et donc, nous avons terminé avec cet exercice.
