Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.
Canards et chasseurs
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Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1
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VARIABLES ALÉATOIRES SUR UN ESPACE FINI OU DÉNOMBRABLE (2/2)
Nous terminons le Cours 2 avec l'introduction d'un outil puissant : les fonctions génératrices. Nous étudions ensuite les couples de variables aléatoires et les variables aléatoires indépendantes.
与讲师见面
Sylvie MéléardProfesseur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René ChazottesDirecteur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham
Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique
[SON] [AUDIO_VIDE]
Nous allons commencer par une histoire de canards et de chasseurs.
Nous avons un groupe de 10 chasseurs, qui guettent le passage d'un vol de canards.
Lorsque les canards passent en groupe, les chasseurs se mettent
tous à tirer simultanément, et chacun choisit au hasard le canard qu'il vise,
et il fait cela de façon indépendante des autres.
L'hypothèse que l'on fait est que,
chaque chasseur touche son canard avec la même probabilité p.
La question qu'on se pose en premier, est : combien de canards en moyenne
vont survivre au tir, lorsque le vol se compose de 20 canards?
On calculera cette moyenne pour diverses valeurs de p.
La deuxième question qu'on se posera est : Quel sera le nombre moyen de canards
touchés, si le vol se compose d'un nombre de canards selon une loi de Poisson de
paramètre 15?
Donc vous voyez que dans la première question,
on fixe le nombre de canards dans un vol à vingt, dans la deuxième questions
on verra qu'on laisse ce nombre de canards être une variable aléatoire, ou v.a.
En ce qui concerne la première question, l'idée est d'introduire une v.a.
Xi, i va prendre les valeurs 1, 2...
jusqu'à 20, les 20 canards, et Xi est définie de la manière suivante :
elle vaut la valeur 1 si le i-ème canard survit, elle vaut 0 sinon.
Un canard survit si les 10 chasseurs le manquent,
en obtenant que la P(Xi = 1) ) = (1- P/20) puissance 10.
Alors pourquoi on a cette formule?
C'est parce qu'un chasseur, par hypothèse, choisit un canard au hasard.
Ceci, ce fait est une probabilité de 1 / 20, et il a une probabilité de le toucher.
Donc, ça donne la probabilité P / 20.
Et ensuite donc l'événement complémentaire,
qui est qu'il manque le canard quand il tire, c'est 1- (P / 20).
Et ensuite, les 10 chasseurs ayant essayé de tuer le canard,
on obtient donc (1- (P / 20) ) puissance 10.
Maintenant, on va pouvoir répondre à la première question.
On va introduire Y la v.a., qui est le nombre de canards épargnés.
On va calculer son espérance, c'est ce qui est demandé, et l'espérance de Y s'écrit
comme l'espérance de la somme de i = 1 jusqu'à 20 de Xi parce qu'en effet,
Y, c'est tout simplement la somme de i = 1 jusqu'à 20 de Xi.
Qui va compter exactement le nombre de canards épargnés,
puisque Xi vaut 1 quand le canard est épargné, 0 sinon.
On utilise la propriété fondamentale de l'espérance qui est la linéarité.
Donc cette espérance, c'est la somme des espérances de Xi, et il nous reste
maintenant à remplacer l'espérance de Xi par sa valeur et par définition donc,
Xi prend la valeur 1, qu'on pondère par la probabilité que Xi vaille 1,
et elle peut prendre aussi la valeur 0, qu'on
pondère par la probabilité que Xi vaille 0 mais cette partie ne contribue pas.
On se retrouve donc avec la somme de i = 1 à 20 de P de Xi = 1,
et on vient de voir ce que valait ce nombre,
on obtient donc 20 fois le nombre que nous avons calculé juste avant.
Donc ceci répond à la première question, et vous voyez que si nous avions pris un
nombre i de canards, au lieu de prendre 20 canards,
on aurait exactement la même formule, en remplaçant 20 par i.
Pour répondre à la question 2, on introduit une v.a.
n, qui va être le nombre de canards,
l'énoncé nous dit que n suit une loi de Poisson de paramètre 15.
Nous allons introduire une v.a.
Z qui va être le nombre de canards touchés.
Puisque nous nous intéressons au
nombre moyen de canards qui vont être atteints par les chasseurs.
Je vous rappelle donc, la loi de Poisson de paramètre 15 est
la loi suivante : La probabilité que le nombre de canards qui
passent dans un vol soit égale à k va être e -15,
15 puissance k divisé par factorielle k, et k peut
prendre les valeurs 0, 1, 2, jusque aussi grande que vous voulez.
Evidemment, cette loi rend un grand nombre de canards dans un vol très improbable.
Donc ce qui nous intéresse,
c'est l'espérance de Z, donc du nombre de canards touchés.
Et si on utilise la formule du cours, on trouve que l'espérance de Z
c'est la somme de k = 0 jusqu'à l'infini, 15 fois la probabilité que Z = k.
La difficulté de ce calcul, provient du fait que le
nombre de canards touchés va dépendre du nombre de canards qu'il y a dans un vol.
Et si on veut connaître la valeur de P de Z = k,
il faut fixer la valeur de n.
Donc l'idée va être de conditionner.
Pour cela, on va utiliser la formule des probabilités totales.
[AUDIO_VIDE]
Pour exprimer la probabilité que Z = k, en fonction
de la probabilité que Z = k sachant qu'on connaît le nombre d'oiseaux dans un vol.
Donc on va dire que c'est la somme de i = 1 jusqu'à l'infini,
de P de Z = k sachant que Z = i,
fois la probabilité que N = i.
Donc, on peut calculer l'espérance de Z
comme la somme de k = 0 jusqu'à l'infini de k,
fois cette probabilité qu'on vient d'exprimer en fonction de N = i.
Donc, je substitue somme de i = 1 jusqu'à l'infini de P de Z = k,
sachant que N = i, fois la probabilité que P(N = i).
On a une double série de termes positifs, donc on peut permuter
l'ordre des sommations d'après un résultat général d'analyses, qu'on peut
voir comme un cas particulier de Fubini, quand on permute les intégrations.
En tous cas, je vais commencer par sommer sur i puis je vais sommer sur k.
[AUDIO_VIDE] Et
je n'oublie pas de mettre que la probabilité est égale à i.
Qu'est-ce qu'on reconnaît dans le crochet?
On reconnaît l'espérance conditionnelle de Z sachant que N = i,
fois la probabilité que N = i.
Donc maintenant, le but est de calculer cette espérance conditionnelle,
donc ce nombre.
Donc, comment on s'y prend?
On va exprimer Z comme en fonction de
Y le nombre d'oiseaux épargnés, et le nombre d'oiseaux qu'il y a dans un vol.
Puisqu'il y a une relation entre nos v.a.
qui est que Y + Z = N Et donc
l'espérance de Z sachant que N = i
c'est la même chose que l'espérance de N- Y sachant que N
= i J'utilise la linéarité de l'espérance, donc j'obtiens l'espérance de N
sachant que N = i moins l'espérance de Y sachant que N = i.
On peut deviner que le premier nombre vaut i.
En effet, si je prends tout simplement la définition
du cours, cette espérance conditionnelle c'est la somme sur k de k fois
la probabilité que N = k sachant que N = i, et cette probabilité conditionnelle,
elle vaut tout simplement 0 si i est différent de k, et elle vaut 1 si i = k.
C'est pourquoi cette somme se réduit à i.
En ce qui concerne l'autre terme, l'espérance de Y sachant que N = i,
si on se souvient de la réponse à la première question,
on trouve que c'est i fois (1- (P / i ) )puissance 10.
En effet, il y a un instant nous avions fait ce calcul
quand N était égal à 20, N était fixée, était connue,
et si on prenait n'importe quel nombre de canards, entier et positif strictement,
on obtenait la même formule en remplaçant 20 par i.
Donc on obtient l'espérance de Z sachant que N = i,
elle vaut: i- i (1- (P
/ i) ) puissance 10.
Si on met ça dans la formule de l'espérance du début,
[AUDIO_VIDE] On obtient
l'espérance de Z comme la somme de i = 1 jusqu'à l'infini, de i (1- (1- (P /
i) puissance 10), le tout multiplié par la propriété P (N = i).
On peut faire le calcul des espérances du nombre d'oiseaux qui
ont été abattus pour différentes valeurs de P.
J'ai fait un petit tableau, je vous encourage à faire ce genre de calculs.
On a mis P = 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9 par exemple.
On peut comparer ce qu'on obtient avec la formule de la question 1 où l'on
supposait qu'on avait 20 canards, voilà les espérances correspondantes,
et on peut comparer avec ce qui se passe si l'on suppose que
le nombre d'oiseaux dans un vol suit une loi de Poisson de paramètre 15.
Et vous voyez d'ailleurs que ces nombres sont assez proches, si bien que, voir
un vol de 20 canards ou supposer, si l'on ne sait pas exactement combien il y en a,
que c'est une loi de paramètre 15, c'est une bonne approximation.
Voilà pour l'exercice sur les canards et les chasseurs.
