Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.
Enfants d'une famille
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Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1
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VARIABLES ALÉATOIRES SUR UN ESPACE FINI OU DÉNOMBRABLE (2/2)
Nous terminons le Cours 2 avec l'introduction d'un outil puissant : les fonctions génératrices. Nous étudions ensuite les couples de variables aléatoires et les variables aléatoires indépendantes.
与讲师见面
Sylvie MéléardProfesseur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René ChazottesDirecteur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham
Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique
[AUDIO_VIDE] Passons au deuxième exercice de cette
séance, qui concerne une modélisation du nombre d'enfants d'une famille.
On suppose que Z est le nombre d'enfants d'une famille,
donc c'est une variable aléatoire.
X, le nombre de filles et Y, le nombre de garçons.
Et on suppose que la probabilité qu'une famille ainsi choisie possède k enfants,
dont n filles est donnée par la formule suivante : donc on note p k,
n la probabilité que Z égal k et que X égal n,
et on pose cette loi de probabilité pour le couple Z et X.
Donc c'est exponentielle moins 2, 2 puissance k 0,52 puissance n
0,48 puissance k- n divisé par n!
(k- n)!.
L'indicatrice qui est à la fin donc, c'est pour que n soit plus petit ou égal à k.
On ne peut pas avoir n plus grand que k, par définition.
On vous demande de montrer que les variables aléatoires Z et X ne sont pas
indépendantes, mais que Y et X le sont.
La deuxième question qu'on vous pose est de déterminer la loi conditionnelle de X,
sachant que Z est égal à k.
Puis d'en déduire l'espérance conditionnelle de X sachant Z.
Donc, pour répondre à la première question, il va falloir calculer les lois
de Z, Y et X, commençant par la loi de Z.
Donc il nous faut calculer la probabilité que Z est égal à k.
Pour cela, il faut donc prendre la probabilité jointe de Z et
X et sommer sur les valeurs possibles de X.
Donc on somme p k, n de n est égal à 0 jusqu'à
k, puisque n doit être plus petit ou égal à k.
Si on fait ça, on trouve e moins 2 2 puissance k
sur k factorielle, qui est une loi de Poisson
de paramètre 2.
Alors, comment on trouve cette loi de Poisson?
On va faire le calcul ensemble.
Quand je somme p k, n sur les valeurs de n, qui vont de 0 jusqu'à k,
donc je peux sortir e- 2, je peux sortir 2 puissance k, qui ne dépend pas de n.
Je me retrouve avec la somme de n = 0 jusqu'à k de quelque
chose que je vais écrire comme 1 sur factorielle k fois k factorielle
divisé par n factorielle k moins n factorielle.
Vous voyez, j'ai juste multiplié,
divisé par k factorielle pour faire apparaître un coefficient binomial.
Il me reste à multiplier par 0, 0,52 puissance n et 0,48 puissance k- n.
Donc ce 1 sur k factorielle, on peut le sortir.
Là, vous reconnaissez la somme de loi binomiale
de paramètres k et 0,52.
Et donc une variable aléatoire qui suit une binomiale
de ces paramètres, quand on somme sur toutes les possibilités, ça donne 1.
Donc on obtient bien ce résultat.
Passons maintenant à la loi de X.
Cette fois-ci, on va sommer sur les valeurs de k.
La probabilité que X = n, on va la calculer pour tout n.
Cette fois-ci, il faut sommer k est plus grand ou égal à n,
donc il faut sommer k = n jusqu'à l'infini p k, n.
En fait, on trouve l'exponentielle de moins 1,04
1,04 puissance n divisé
par factorielle n, qui est une loi de Poisson
de paramètre
1,04.
En effet, si on calcule cette série,
donc cette fois-ci nous avons une somme avec une infinité de terme je
peux sortir
0,52 puissance
n divisé par 0,48 puissance n.
Je peux sortir e moins 2,
1 sur n factorielle, ça ne dépend pas de k.
La somme que j'ai à calculer, c'est k
égal n jusqu'à l'infini de 2 puissance k 0,48
puissance k sur k moins n factorielle.
Ce que j'ai fait ici,
c'est tout simplement factoriser le 0,48 puissance moins n, qui est devenu
cette division par 0,48 puissance n.
Là, c'est un infini.
Pour réussir à sommer cette série, il faut un tout petit peu la remettre en forme et
on constate que on a envie de sommer à partir de k égal à 0 jusqu'à l'infini.
Pour cela, j'écris ça comme la somme de i égal à 0 jusqu'à l'infini
de 2 fois, je peux mettre le 2 et le 0,48 ensemble,
2 fois 0,48 puissance i divisé par i factorielle.
J'ai juste sommé sur i qui vaut k moins n.
Alors là, en faisant ça, j'ai fait une petite erreur qu'il faut que je compense
et qui est qu'il faut multiplier par 2 fois 0,48 puissance n.
Voilà.
Et maintenant, cette série, c'est tout simplement l'exponentielle de 0,96.
Donc si on met tout ça ensemble,
on obtient 0,52
fois 2 fois 0,48 divisé par 0,48, le tout à la puissance n
fois l'exponentielle de 0,96 moins 2.
Et il reste le 1 sur 1 factorielle.
[AUDIO_VIDE] Qui est exactement ce qu'on avait annoncé.
Nous constatons immédiatement
[AUDIO_VIDE]
que X et Z ne sont pas indépendantes
car si vous comparez le produit de Z est égal à k
fois la probabilité que X vaille n au produit
que Z est égal à k et que X est égal à n.
Ces deux nombres sont différents.
Donc on obtient vraiment deux choses différentes,
il suffit juste de comparer les formules.
Passons maintenant à la loi de Y.
Et Y s'écrit comme Z moins X, par définition.
Donc la probabilité que Y vaut m,
c'est la probabilité que Z est égal à X plus m
et on peut la calculer en sommant p de
n plus m, n sur la valeur de n.
Et on trouve exponentielle moins 0,96
0,96 puissance m sur m factorielle.
C'est un calcul du même genre que ce que nous venons de
faire, puisqu'en effet, si vous sommez...
p (n + n, n) sur toutes les valeurs de n.
Vous obtenez ce
nombre-là, à sommer.
[AUDIO_VIDE] Ici,
donc, puisqu'on prend n, puisqu'on prend k de la forme n + m,
on obtient (n !) * (m !).
Je peux sortir ce qui ne dépend pas de m.
De n, pardon.
(e -2) / (m !) * 2 puissance m
* 0,48 puissance m,
et il nous reste la somme sur n de ( 2 puisance n *
(0,52) puissance n ) /
(n !) qui est (e 1,04).
Donc, on obtient 0,96
puissance m, qui vient de cela.
* e (-2 + 1,04), qui vient de ce terme et de ce terme,
qui donne bien - 0,96.
divisé par (m !).
On vérifie
sans peine que maintenant,
si on regarde la probabilité que X = n et que Y = m,
c'est égal à la probabilité que Z = n + m et que x = n,
et que c'est égal au produit des probabilités
que X = n et que Y = m.
Donc, les variables aléatoires
X et Y sont indépendantes.
[AUDIO_VIDE] Cet exercice illustre une
fois de plus que le concept d'indépendance est loin d'être évident et intuitif,
et que donc il faut faire attention à quand on veut
conclure que deux variables aléatoires sont indépendantes.
Pour terminer, il nous faut déterminer la loi conditionnelle de X sachant Z = k.
C'est la dernière chose qu'on nous demande dans cet exercice.
La loi conditionnelle
de X sachant Z = k,
il faut calculer ces nombres-ci.
Probabilité que X = n sachant que Z = k.
On veut calculer cela pour tout n qui est compris entre 0 et k.
On applique la définition.
Donc, cela c'est la probabilité que X = n,
et que Z = k, divisé par la probabilité que Z = k,
Si vous faites le petit calcul, vous voyez immédiatement qu'on retrouve n parmi k,
le coefficient binomial, * 0,52 puissance n * 0,48 puissance (k- n).
Juste en divisant les deux expressions que nous avons obtenues précédemment.
Donc, la loi de X sachant que Z = k,
je note cela comme cela, on constate que c'est une binomiale
Bin donc de paramètres k et 0,52.
Donc, on a vu en cours quelle est l'espérance d'une
variable aléatoire binomiale.
[AUDIO_VIDE] Et,
on a vu que c'était tout simplement le produit des paramètres,
0,52 * k.
On peut donc conclure que l'espérance conditionnelle de X sachant Z,
c'est 0,52 * Z.
Et donc, j'attire votre attention sur le fait qu'il s'agit d'une variable aléatoire
et non d'un nombre, donc on a calculé juste au-dessus
ce que valait l'espérance de X, sachant que Z = k pour tout k.
Ce qui fais qu'en fait on a défini une nouvelle variable aléatoire
qui est l'espérance conditionnelle de X sachant Z.
