вероятность ωn – это есть какое-то число p.
Вот совершенно общая ситуация выглядит таким образом: мы просто
берем и полагаем вероятность каждого из элементарных исходов равной какой-то
конкретной чиселке.
Но все-таки, наверное, что-то нужно про эти чиселки сказать.
Какими-то свойствами они должны обладать для того,
чтобы сама вероятность, как мы ее задаем, была определена корректно,
чтобы она обладала теми самыми свойствами, которые мы для нее наблюдали и в
классическом случае, и в случае схемы испытаний Бернулли.
Ну, разумеется, надо предполагать что каждое pi-тое –
это число из отрезка 0,1, потому что иначе у нас просто...
Ну, говорить о вероятности не придется.
Дальше, конечно, надо предполагать, что сумма этих чисел p1, +...
+ pn = 1.
Ведь хотим же мы считать,
как всегда у нас это было, что вероятность Ω = 1.
Если мы не потребуем вот этого условия, то,
конечно, вероятность Ω = 1 у нас точно не получится.
А с точки зрения вычисления вероятности произвольного события действовать
будем так же, как в рамках схемы испытаний Бернулли.
То есть возьмем произвольное подмножество, множество Ω,
и его вероятность положим по определению равной
сумме по всем ω маленьким, которые благоприятствуют реализации этого события.
Так, ну, давайте, ω маленькое i-тое, чтобы не путаться.
Ну а сумме, конечно, вероятностей этих ωi-тых, то есть pi-тых,
как мы их определили.
Вот, если так определять вероятность события,
и если потребовать то, что мы здесь написали, то, конечно,
вероятность Ω, то есть, достоверного события, окажется равной единице.
Ну, понятно, что из этого определения сразу следует,
что вероятность отрицания – это есть единица минус вероятность самого события.
И все прочие свойства вероятности,
которые мы наблюдали ранее в конкретных наших моделях, то есть в классической
схеме и в схеме испытаний Бернулли, они, конечно, здесь тоже присутствуют.
То есть, вероятность объединения двух событий – это есть вероятность A плюс
вероятность B минус вероятность пересечения этих событий.
Вероятность объединения некоторого числа событий,
ну, скажем, m штук, точно не превосходит суммы по i от 1
до m вероятности Ai-тых, ну и так дальше, и так дальше, прямо по тому списку,
который у нас был, когда мы изучали, ну, скажем, классическую вероятность.
Там были в точности те же самые свойства вероятности, которые мы теперь наблюдаем.
То есть на самом деле оказывается, что, в общем-то,
мир клином не сошелся на карточных играх или играх в кости, когда можно считать,
что кость абсолютно симметричная и все исходы равновозможны.
Вот, пожалуйста, пример более общей ситуации.
Да с той же костью она очень легко реализуется.
Представьте себе, что кость со смещенным центром тяжести, тогда у нее каждая
сторона имеет какую-то свою вероятность выпасть при случайном бросании на стол.
Поэтому получается более общее пространство элементарных исходов с
соответствующей вероятностью на нем.
Вот. Я просто очень хотел подчеркнуть, что,
конечно, в зависимости от той конкретной, может быть, даже прикладной ситуации,
с которой нам придется иметь дело, выбор вот этих вот вероятностей,
которым равняются вероятности элементарных исходов – это вещь вполне подвластная нам.
Мы можем выбирать их так, как нам заблагорассудится.
Лишь бы выполнялись вот эти два ограничения,
из которых все стандартные свойства вероятности, как классической,
так и бернуллиевской, будут, конечно, следовать.