Давайте, наверное, теперь докажем одно из простейших и в то же время
важных неравенств, которые можно получить,
зная математическое ожидание случайной величины.
Неравенств, касающихся как раз распределения этой случайной величины.
То есть, сейчас мы выведем некоторое свойство распределения,
которое можно узнать, зная математическое ожидание.
То есть, как я обещал, в некотором смысле обратить вот эту формулу; что-то
сказать про распределение, коль скоро мы знаем среднее значение,
а нашли его каким-то хитрым путем без знания вот этих вероятностей.
Значит, эта теорема,
которая называется неравенство Маркова.
Совершенно классический результат.
Мы постараемся его еще обязательно применить в некоторых контекстах.
Так, неравенство Маркова в нашей ситуации, когда пространство элементарных исходов
конечно, утверждает следующее: пусть
ξ принимает только неотрицательные значения.
Принимает только неотрицательные значения.
Ну, например, число треугольников в случайном графе – это, конечно, такая ξ,
но число треугольников не может быть отрицательным.
Таких ξ на свете бывает много.
Пусть, далее, a – это какое-то положительное число.
Просто фиксированное число.
Тогда вероятность того, что ξ больше, либо равняется a,
вероятность того, что ξ уклонится, так сказать,
вот так вот вправо, она не превосходит
математического ожидания ξ, поделенного на a.
Вот сейчас я докажу этот результат, а потом применю его как раз
к пресловутым треугольникам в случайном графе, чтобы можно было убедиться в том,
что даже зная математическое ожидание, кое-что интересное можно сказать.
Итак, давайте докажем неравенство Маркова.
Прочитаем его,
если угодно, справа налево, то есть,
сначала напишем одно из определений математического ожидания, а потом покажем,
что оно больше, либо равно вероятности, умноженной на a.
Так, ну, одно из определений такое: это сумма по j от 1 до k,
yj-ых на вероятность того, что ξ равняется yj-му.
Это одно из определений математического ожидания.
Давайте сумму разобъем на две части.
В одной части будут находиться только те j,
для которых yj-е больше, либо равняется a.
Но суммироваться, конечно,
будут эти yj-ые на вероятность того, что ξ равняется yj-му.
Дальше мы прибавляем оставшуюся часть, то есть,
сумму по всем j, для которых yj-е строго меньше, чем a,
yj-е на вероятность того, что ξ равняется yj-му.
Вот так представим нашу сумму.
Дальше опять тупо совершенно заметим,
что yj-е у нас – это неотрицательное число, потому что ξ, как мы сказали,
по условию неравенства Маркова принимает лишь неотрицательные значения.
Ну, значит, каждое yj-ое не меньше нуля.
Вероятность, она просто по определению неотрицательна.
Вероятность не может принимать отрицательные значения.
Ну, значит, вся сумма, конечно, неотрицательна.
То есть, мы абсолютно плюем на величины этих слагаемых,
лишь бы они были неотрицательными.
Но это, конечно, очень большое огрубление.
Тем не менее это больше, либо равно тем самым просто суммы по j,
таким, что yj больше, либо равняется a,
yj на вероятность того, что ξ равняется yj.
Теперь смотрим: у нас же здесь все yj-е больше, либо равны a по определению суммы.
То есть каждая вот эта вот yj-е больше, либо равняется a.
Ну, давайте так и напишем: больше, либо равняется a (a выносится за знак
суммирования, потому что оно абсолютно общее для всех) на сумму
по тем j, для которых yj-е больше, либо равняется a,
вероятности того, что ξ равняется yj-му.
Ну и все.
Понятно, что мы просто взяли вот здесь событие,
состоящее в том, что ξ больше, либо равняется a,
и разбили его на непересекающиеся кусочки.
Мы посмотрели на каждое конкретное значение, которое больше,
либо равняется a, и посчитали его вероятность.
То есть, если вот это вот – это какое-то событие a, вероятность которого нас
интересует, то здесь стоят события Aj-е, и понятно,
что A – это просто дизъюнктное объединение таких вот A1, A2...
Поэтому по свойству вероятности интересующая нас вероятность – это,
действительно, сумма вероятностей, как здесь и написано.
В итоге, получаем: a умножить на вероятность того,
что ξ больше, либо равняется a.
Снова читаем вот это дело справа налево и получаем ровно то, что заявляли.
Вероятносто того, что ξ больше, либо равняется a не
превосходит математического ожидания ξ, вот оно, поделенного на вот это a.
Вроде как и вся недолга.
Очень простое неравенство.