Так, давайте рассмотрим такой замечательный пример стандартный. Он есть, например, в классическом задачнике Зубкова, Севастьянова и Чистякова – в хорошем задачнике по теории вероятностей. Есть театр. И у этого театра есть два входа, ну так сложилось. Значит, есть один вход и есть второй вход. Не с одного входа можно входить, а с двух разных. Давайте считать так: около каждого из входов имеется свой гардероб. То есть люди, которые заходят через левый вход они, естественно, раздеваются вот в этом гардеробе, а люди, которые заходят через правый вход, естественно, раздеваются в правом гардеробе. Давайте считать, ну вот это предположение немножко такое, конечно, практически не совсем корректное, ну давайте все-таки так предположим, что люди выбирают вход взаимнонезависимо с вероятностью 1/2. Так, люди выбирают вход взаимнонезависимо с вероятностью 1/2. Ну то есть приходит очередной человек, он думает: куда бы мне пойти? Ну и случайно с вероятностью 1/2 он идет сюда, с вероятностью 1/2 он, ну там или она, идет туда. Самое неудачное в этом предположении то, что конечно вы понимаете обычно в театр люди ходят не по одиночке, а парами или даже с детьми, семьями, компаниями. Ну, ладно, давайте считать вот пока что так жизнь устроена, конечно это все можно уточнять и тоже получать соответствующие результаты. Так, давайте считать, что в театре 1000 мест. И у нас каждый день аншлаг, то есть каждый день приходит ровно 1000 человек, чтобы занять эту 1000 мест. 1000 мест и 1000 человек. Вопрос такой: какого размера нужно сделать каждый из этих гардеробов, ну давайте считать, что гардеробы будут вмещать в итоге одинаковое количество одежды, одинаковое количество вешалок в каждом из них будет. Вот какого размера нужно сделать каждый из этих гардеробов, чтобы вероятность переполнения хотя бы одного из них ну была, например, меньше, чем 1/300-я? Ну то есть, чтобы несчастье такое, что вот люди приходят, выбирая по собственным каким-то причинам вход слева или справа, несчастье, состоящее в том, что очередной человек, придя сюда или очередной человек, придя сюда, обнаружил, что ему некуда повесить куртку, ну вот чтобы это несчастье случалось примерно раз в 300 дней. Ну не каждые 300 дней, ну примерно раз в 300 дней. То есть очень редко, примерно раз в год, считая, что лето – это еще к тому же не сезон. Вот, ну давайте. Значит, мы хотим, чтобы вероятность переполнения гардероба, хотя бы одного гардероба, была примерно, условно говоря 1/300-я. Ну или меньше, чем 1/300-я, чтобы в среднем гардероб переполнялся не чаще, чем в раз в 300 дней. Такой, казалось бы, очень казалось бы сильное условие. Давайте обозначим x – тот самый искомый минимальный размер гардероба. Ну и попробуем прежде не применять никакую теорему, а просто подумать. Конечно, если x ≥ 1000, то наша задача решена. Вероятность переполнения гардероба просто равняется нулю. Даже если все люди ломанутся в один гардероб, они все равно там поместятся, то все в порядке. Наоборот, если x < 500, то нам точно ничего не светит, потому что людей-то больше, чем дважды x, то есть они точно просто суммарно в этих гардеробах не поместятся, то все очень плохо, то все плохо. Но обычно, когда стоишь перед живой аудиторией, спрашиваешь: ну и как вы думаете, к чему ближе ответ? К 1000 или к 500? Глядя на вот эту 1/300-ю, которая с обыденной точки зрения почти равна нулю, кажется, что ну где-то 900 там, 950 надо мест, чтобы такая была маленькая вероятность переполнения гардероба. Но ответ совершенно неожиданный для тех, кто еще не сталкивался с подобной задачей. Ну или конечно из того пафоса, который я вкладываю в свою речь, можно догадаться где лежит ответ. Но это так, из общих соображений. А интуитивно должно казаться, что даже не посерединке, а где-то ближе к 1000. Но нет, ответ x... ну я точно не помню, чему он там равняется, сейчас мы вычислим. Ну что-то типа примерно 540. Или даже и того меньше. То есть почти 500. Чуть-чуть отступили от той минимальной величины, ниже которой все плохо, и сразу с вероятностью почти равной единице, никаких переполнений не будет. Ну и наоборот, с вероятностью почти равной нулю случится переполнение. То есть такой вот абсолютно удивительный результат. Но на самом деле суть-то вот какая. Давайте возьмем вот эту вот функцию e в степени (–x²/2), которая присутствует под значком интеграла в теореме Муавра-Лапласа. Если нарисовать ее график, то это будет такой вот колокольчик, и нетрудно посчитать просто численными средствами, что практически вся площадь под этим интегралом сосредоточена от -3 до 3. Ну вот так вот сложилось. Вы можете просто посчитать, если хотите, на компьютере или взять готовую таблицу и увидеть, что вот эта вот площадь она равна примерно 0,997. То есть, если угодно это 1-1/300-я. Вот этим замечательным фактом мы сейчас и воспользуемся, все очень плотно сконцентрировано около серединки этого графика. Вот. Если это понятно, то дальше уже ничего удивительного нет.