Давайте разберем задачу про книжную полку.
Прежде всего, напомню ее условие, чтоб было максимально понятно, о чем идет речь.
Итак, книжная полка вмещает 40 книг.
Книжная полка вмещает 40 книг.
И вот у нас есть 40, естественно, различных книг,
которые мы в совершенно случайном порядке расставляем по этой книжной полке.
То есть она вмещает 40 книг,
и 40 различных книг мы совершенно случайно расставляем по этой книжной полке.
Так, ну давайте это запишем.
Расставляем 40 книг
по полке в случайном порядке,
в случайном порядке.
А да, среди этих 40 книг, среди этих 40 книг, есть трехтомник Пушкина.
И вот спрашивается, с какой вероятностью при такой случайной расстановке 40
книг по 40 позициям, которые имеются у нас в распоряжении, с какой вероятностью, эти
3 тома Пушкина стоят в правильном порядке, но не обязательно вплотную друг к другу?
Давайте это тоже запишем.
Есть 3 тома Пушкина.
[ПОКАШЛИВАНИЕ] Спрашивается,
какова вероятность,
что эти
3 тома стоят друг за другом в правильном порядке.
Эти 3 тома стоят в
правильном порядке,
но не обязательно вплотную друг к другу.
Не обязательно вплотную друг к другу.
Ну прежде всего,
давайте сообразим, что конечно,
это типичная задача на классическую вероятность, но очень важно понять,
очень важно понять, коль скоро мы говорим про классическую вероятность,
что в этом месте является элементарным исходом.
Потому что если мы не поймем, из чего состоит пространство элементарных исходов,
элементарных событий, то и классическую вероятность мы найти не сможем.
Но вот чтобы правильно решить эту задачу,
надо прежде всего зацепиться за то, про что сказано слово случайно.
Вот сказано, что 40 книг по полке расставлены в случайном порядке,
в случайном порядке, то есть это значит,
что случайным здесь является порядок книг на полке.
Не что-нибудь, не тома Пушкина, а случайным является порядок книг на полке.
То есть уже из вот этой вот фразы, из этого выражения, становится понятно,
что равновероятные элементарные исходы — это не тома Пушкина,
не что-нибудь, а именно расстановки книг по полке.
Вот давайте от этого стартовать.
Это очень-очень важный момент,
без которого такая задача конечно решена быть не может.
Итак, случайным является
порядок книг на полке,
порядок книг на полке.
Ну давайте сообразим, давайте сообразим, а сколько всего таких порядков бывает.
То есть сколькими способами можно расставить 40 книг по полке,
которая вмещает 40 книг?
Ну это простой комбинаторный вопрос, на который, я думаю,
что все присутствующие ответить легко могут.
Это просто 40!.
То есть у нас есть всего 40!
элементарных исходов, 40 факториалов элементарных исходов,
каждый из которых представляет собою перестановку книг на полке.
Вот можно сначала поставить, скажем, на первую позицию первый том Пушкина, на
вторую позицию поставить какой-нибудь том, не знаю, Толстого, на третье Достоевского,
на четвертое Гоголя, на пятое опять Пушкина, на шестое еще кого-то.
И вот все возможные такие распределения томов по тем позициям, которые в
нашем распоряжении имеются, они считаются равновозможными, равновероятными.
Именно это кроется за утверждением, что тома,
которые есть в нашем распоряжении, расставлены по полке совершенно случайно.
40!
элементарных исходов.
Ну если хотите, я их так уж для начала занудно обозначу: Ω1, ...,
Ω40!, и вот множество этих Ω маленьких — это есть Ω большое,
которое, собственно, и представляет пространство элементарных исходов.
Понятно, что все эти расстановки не только равновероятны,
но они образуют действительно полную группу событий.
Понятно, что они попарно несовместны,
то есть если у нас уже есть какая-то расстановка книг по полке, то естественно,
никакая другая в этот момент уже возникнуть не может.
Ну и мы полностью исчерпали всю нашу вселенную.
Так что действительно, это пространство элементарных исходов с точки зрения того,
как это было рассказано на лекции — тут все корректно.
Таким образом, мы можем считать,
что каждый элементарный исход имеет по определению,
по классическому определению вероятности, вероятность, равную 1 поделить на 40!.
И нас интересует по-прежнему, вероятность вот такого более хитрого события,
которое, как здесь написано, состоит в том, что 3 конкретных тома Пушкина,
у нас их всего 3 в нашем распоряжении, стоят в рамках вот этой
вот расстановки книг по полке в правильном порядке, но не обязательно рядом.
То есть нас устраивает, например, вот такая раскладка.
Π1 — это том Пушкина с номером 1, потом идут какие-то тома — не важно,
кого там: Достоевского, Толстого, Гоголя и так далее, затем появляется Π2,
то есть Пушкин с номером два, дальше еще что-то, что-то,
может быть ничего, это уж как повезет, и наконец, том Пушкина с номером три.
Ну, или вот такая вот ситуация.
Любая такая ситуация благоприятствует нашему событию.
То есть не благоприятствует нашему событию ситуация, когда, наоборот,
Π2 стоит где-нибудь левее всех, Π1 посередине, а Π3 правее.
Или скажем, Π3 стоит в начале, потом где-то через несколько шагов,
несколько томов стоит Π1 и, наконец, в самом конце Π2.
Вот ни одна из таких ситуаций не благоприятствует событию,
вероятность которого, мы желаем посчитать.
А вот то, что я нарисовал, с какими угодно многоточиями, это благоприятствует.
Ну отлично.
Значит вероятность нашего события, давайте обозначим его А, А — это,
по-прежнему, событие, вероятность которого мы ищем,
— это есть, как мы определяли на лекции, отношение числа
благоприятствующих исходов к общему числу элементарных исходов.
То есть в знаменателе стоит попросту 40!
— это общее количество наших элементарных исходов, вот они,
а в числителе стоят все возможные перестановки томов,
40 томов по полке, при которых порядок вот такой, как здесь нарисовано.
Ну давайте сообразим,
как посчитать количество таких благоприятствующих элементарных исходов.
Ну, наверное, проще всего рассуждать следующим образом.
Можно сказать, что давайте сперва выберем те три позиции,
1, 2 и 3, на которые в последствии мы поставим томики Пушкина.
Естественно, выбор этих трех позиций из 40 возможностей осуществляется
с помощью простой комбинаторики, и это количество способов
есть С из 40 по 3 — обычный биномиальный коэффициент, число сочетаний.
Значит С из 40 по 3, повторяю, это просто количество способов зафиксировать три
позиции для будущих томов Пушкина.
Но смотрите, коль скоро мы зафиксировали эти три позиции,
то дабы благоприятствовать нашему событию, мы уже обязаны
поставить 1-й том Пушкина на первую из этих позиций, на самую левую скажем так,
2-й том Пушкина — на среднюю и 3-й том Пушкина — на самую правую.
То есть здесь уже никакого выбора нет, ни на что умножать не приходится.
Вы скажете: это все?
Это уже есть вероятность?
Нет, это не есть вероятность, потому что после того, как мы зафиксировали позиции
для томов Пушкина и сами эти тома Пушкина по этим позициям рассовали однозначно,
мы еще вольны как угодно переставить все остальные 37 томов,
которые остались в нашем распоряжении.
И это, конечно, делается 37!
способами.
Итак, получается, что благоприятствующих элементарных исходов — их С из
40 по 3 умножить на 37!.
Ну а дальше давайте просто воспользуемся стандартной формулой для C-шки,
для биномиального коэффициента, это будет 40!
на 3!
на 37!, дальше переписываем вот этот 40!
в знаменатель и вот эти 37!
в числитель.
37!
сократились, 40!
сократились и благополучно осталась 1/6.
Вот и все, совершенно каноническое решение задачи.
Тут небольшое замечание.
Конечно многие слушатели могут сказать, ну ёлки-палки,
ну ведь ответ-то был очевиден с самого начала.
Конечно, вероятность должна была получиться равная 1/6.
И зачем было такой огромный огород городить, когда можно было сказать проще?
В принципе-то ничего не зависит от того, какие именно 3 позиции
мы зафиксируем для наших томов Пушкина вот из этих имеющихся 40.
В принципе, можно, как принято говорить, читать без ограничения общности,
что это уже конкретные 3 позиции.
И вот из 6 возможностей перестановки томов Пушкина по этим 3 позициям,
3!, нас устраивает только одна,
при которой вот они идут именно в таком порядке, в правильном.
Ну а все остальное, как бы кластеризуется, разбивается на эти случаи,
и конечно в ответе получается 1/6.
На это я скажу так: да, в общем, в принципе, можно рассуждать таким образом,
но то решение, которое я сейчас предложил, оно в каком-то смысле
чуть-чуть более аккуратное, оно более формализованное что ли.
То есть у нас в рамках этого решения не возникает вообще никаких сомнений в том,
почему и как мы выбрали вот такое вот пространство элементарных событий.
Вот очень просто убеждать оппонента,
который пытается вам на пальцах доказать что вероятность другая, что нет,
этот оппонент не прав, вероятность именно такая, какая у нас получилась,
потому что вот в этой фразе в случайном порядке расставлены тома,
заложено то пространство элементарных исходов, с которым приходится работать.
Мы берем все возможные порядки и дальше аккуратненько разворачиваем
ту комбинаторику, которая в итоге и находит нам интересующую нас вероятность.
Ну мне кажется, что вот так вот должно быть предельно понятно.