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表决啊，作为一门学问，要严格地来讨论呢，
所谓偏好关系是一个基础。偏好关系的概念，
既可以刻画参与表决的个人对表决对象的相对看法，
也可以刻画群体的决定。毕竟表决在多数场合
都是要在表决对象之间给出一个高低。
与偏好关系相关的有一套
严格的语言，最基本的呢是讲两个候选项之间，
X和Y，两个候选项之间，X和Y，认为哪一个更好一些，
或者说更被偏爱一些，或者说更优一些。
甚至有时候又讲更大于一些。看怎么方便，这都可以。
用这种像大于号的符号来表达
为了不至于引起混淆的话呢，甚至
就用大于号。为了区别不同的参与人的态度呢，有时用这么一个下标，啊这个下标表示第几个人。
那么给定一个候选项的集合，那可能有多个候选项。
可能多于两个元素，就可以问关于每一对元素之间的偏好。
现在我们呢考虑一个具有K个候选项的集合，K个候选项的集合。
称在它的基础上形成的偏好的集合为
偏好关系。
就好像是一个人对有关候选项看法的一个汇总。看下面这几个例子，
这个集合呢，我们一共有五个候选项A,B,C,D,E 这是候选项集合。
按照上面的定义，这个R1到R6，这些个
这些个，它们都是偏好关系。
这个R1呢，包含有四个偏好， 它说A大于B，B大于C，C大于D，D大于E
或者说就偏好右移等等就这个意思。R2呢有三个，
那说的是B大于A，B大于C，C大于E
R5呢有多少个呢？R5有十个。R5有十个。
等等，我们都可以数的出来。那我们注意到，这个R3有点特别，
这个R3有点特别。怎么特别啊？它包含有
两个偏好。它又说A
大于B，又说B大于A。我们说它包含有一个
对称的偏好。那么在表决的意义下，这个显然是有些矛盾。
这个R6呢，没有对称的偏好，这个R6没有对称的偏好。
但是我们也发现它包含的偏好形成了一个循环，
怎么形成循环啊？它说A大于B，B又大于C，
C又大于D，D又大于E，那么E又大于A。
那我们看到它这个关系中呢，有一种循环。在表决的意义下呢， 这个也是矛盾，也是矛盾的。因为这时候你说不清楚
到底谁比谁更好。1和2这两个呢，
它们没有上面这两个问题，但它们不完整。
什么叫不完整啊？也就是说它们没有反应出
对所有元素对之间的关系。比如我们不知道，
这两个偏好关系里头关于B和E之间的态度到底谁怎么样，
它们不完整。那这些呢，在我们后面都会讲，在表决的意义下我们要做一定的限制。
因此啊，针对表决问题的需要，
我们最好排除那些个不合理的情况。
也就是有这么几个要求。一呢是叫反对称性，就是给出来的偏好关系里头不能，
你说A又比B好，B又比A好，这个时候你自己是一个自相矛盾。我们说不能有那样的情况。
二呢是完备性，这个完备性。
也就是说对每两个元素，你都要有态度。
而且都要有明确的态度，就是到底谁比谁怎么样。
这叫完备性。第三呢，有一个非常重要的叫传递性。
传递性就是说，如果你认为A比B好，
那么也认为B比C好，那么你一定要认为 A也要比C好。我们这里说的X,Y,Z也是一样的。
如果你偏好X，那么你就认为X比Y好，
那么同时呢，你也在Y和Z的比较中，也认为
Y比Z好。那么你必须要有
X比Z好的这么样的一个偏好。 这就叫反对称性、完备性和传递性。
我们也可以体会到这里的反对称性，其实有点像是
传递性要求的一种特例，因此我们常常就会不专门提反对称性这个事儿了，
这个传递性，你可以认为它，隐含着它。在这个我们表决的意义下。
完备性和传递性的要求呢，是讨论表决的基础。
也就是说如果每一个人提供的表决的态度
不具有完备性和传递性，我们就认为他这个投票不合理。
那么一个同时具有完备性和传递性的偏好关系， 蕴含着一个很方便的性质，那就是
等价于在候选项元素之间有了一个全序。
如果一个偏好关系满足了完备性和传递性，
它就等价于在这个元素之间排了一个顺序。
也就说里头有一个最好的，有一个次好的等等，一直到一个最差的，
是这样一个情况。我们 来看看刚才说的这个等价关系的意思。
还是用前面见到过的这两个例子来体会这个关系，这两个例子呢我们看到第一
它是完备的，它包含有十个偏好，
而且它是没有那种传递性的。那么我们怎么说它们就
是一个全序呢？我们来看一看这个情况。
这个R4似乎比较容易看到，这个R4说了什么呀？它说的A大于B，
B大于C，C大于D， D大于E。我们可以用我们前面学过的所谓的有向图来表达，
大于这种关系呢，也不妨可以写成这样的关系。
我们就有这个关系，大于C，
大于D，大于D，是吧，还有这个。
不光是这样，而且它还有A也大于C，
A也大于这个D，是不是？A也大于E。
还有什么呢？还有AC,AD,AE。
BE，还有这个CE。
就是所有的这样的关系都是满足的，就是满足这样一个
传递关系。然后我们就能看到呢，实际上呢
这里头的A，就是所谓最大的，B呢就是第二大的，
C呢就是第三大，D就第四，一直最后。 那么下面一个看起来就有点麻烦，我们
怎么能看到它其中的顺序呢？到底谁是最大的呢？
一个简单的办法就是我们看到有五个元素，有ABCDE这么五个元素
然后我们看到谁它管的最多呢？比方说
这里头谁管的最多？我们就看C。C管的A,B,
C，还管了D，还管了E。这个C似乎是比它们每一个人都大。我们这时候可以写成一个C。
那么它大于，我们说A，它还比这个B要大，
这个D，这个E。
就是这个C有这个关系。我们再看谁可能是第二？C比所有的其他都大。
那么这个B好像是比它大，那它管了三个。 除了没有C大，它比它都，它就是管了这个A，
那么它还管E，它还管住D。
对不对？它还管其他三个，所以我们看到的C排在第一，
这个B看起来排第二，那么谁排，可能排第三呢？
A管几个呢？A管两个。A管两个。
那么A看起来第三，A又管这个D，这个有点乱了。A又管
这个E。看起来就是A排第三。谁排第四？那么E排第四。
D排第五。
看起来我们在一个这个完备又传递的 这个偏好关系上我们实际上就有一个序，有一个
从大到小的序。这个在我们的教材上面呢有这样的符号表示。
就是用这么一连串的这种
偏好关系，它隐含着它们之间就有这么一个序。
刚才这样一种从一个完备传递的偏好关系中，
来得到这种所谓它们的排序的
这么一个过程，其实呢就是我们下面来证明
等价关系的基本思路。我们来证明
完备传递的偏好关系，它就等于一个全序这么一件事情。
这么一件事情啊，一方面 我们说如果一个集合的所有元素之间有一个单一的优劣的排序，
它就不仅蕴含着任何两个元素之间都有一个先后关系，
也就是完备性。而且呢还意味着这种先后关系是传递的。
因此，这个等价关系的一个方向。等价关系一定要是两个方向，那么这个关系
从一个全序 到完备传递的偏好关系这件事情，我们看起来是容易理解的。
反过来，当我们面对一个完备并且传递的偏好关系时，
我们总是可以挑到一个元素，比方我们挑到某个元素，
我们管它叫X。它所直接大于的那些个元素的个数最多，
我们就用刚才那个有向图的形式，它大于这个，大于这个，比方说大于许多，
大于许多。它比其他的都要好。而且我们挑这个X它是大于的元素最多的
那么一个。如果它不比所有的元素都大，
比方说W，这个X不比这个W大，
那么这个W一定就要比X大了，因为
完备性嘛，是吧，一定要讲两个人之间有关系。那么X不比W大呢，这个W呢它就应该比
X大。对吧？那么由于传递性，
那么这个W就也得比原来比这个X直接小的那些都要大，
这叫传递性。所以这就与刚才我们说这个X
直接大于的元素最多的这个假设矛盾。其实那就说这个W应该是那么一个
大于更多的那么一个元素。于是呢这个X
就必须是比所有的其他元素都大。 那么它就是候选项集合中一个最大的。
于是我们就可以去掉它和相关的一些偏好，留下来的呢
是在少一个这个候选项集合上的一个完备并且
传递的关系，就是这前面第一条。我们去掉它以后
我们剩下来的也是一个完备传递的关系，我们可以继续找第二
大的，第三大的等等，这么一直做下去。这就实际上就完成了我们
证明的另外一个方向。紧跟着我们有这么一个思考题。
好了，那么这一节呢，我们讨论了偏好， 偏好关系的概念。特别强调了针对
表决问题呀，要求偏好关系满足这个完备性和传递性。这个要求呢，
它对应着我们在候选项集合上的一个全部的排序，或者叫全序。
这也就对应于我们在做表决的时候，相当于
我们在做表决的时候，要求每一个参加表决的人给出一个
关于候选对象的排名表。它是这么个意思。
李晓明 （Li Xiaoming）教授（Professor）
邱泽奇 （Qiu Zeqi）教授 (Professor)
王卫红（Wang Weihong）lecturer
