好，我們剛剛跟各位同學介紹了如何找到 桿件、
桿件間相對的集合，那是等於說各自都要有四個參數來描述
那現在我們的下一步，就是要在這個知道這四個參數的狀態下 我們要怎麼在桿件上面加裝一個
frame 因為我們在之前的講義內容中有說過，說我們今天建立一個
frame 之後，就可以很輕易地找到，這個桿件的移動跟轉動的狀態
所以等於說我們現在有了每個桿件間的相對集合 我們希望在每個桿件上面都各自裝上一個
frame 之後 我們間接地代表說，我們就可以知道所有桿件在空間中的運動的狀態
那我們今天建立 frame 的方法，其實就像是這個講義上面寫的，我們的
轉軸的方向，我們就一般就把 Z 的方向定義跟轉軸的方向是一樣的，那我們的
X 就是我們今天剛剛找出中間跟這兩個轉軸相互垂直這個線段 的方向，叫做 X。
所以我這裡如果說再按一下，我們可以看到說 這個 i-1 的轉軸，它的
Z 的方向就是在 i-1 的轉軸的方向，是同向 i 軸也是一樣。
那我們的 X 就是沿著這個剛剛講的這個綠色虛線，就是跟這一條線段的方向
所以 Z 跟 X 都知道了之後，其實 Y 就知道了
那這裡圖中畫了其實是已經是有一點假設說，我們這個轉軸 i-1 轉軸跟 i 轉軸之間，它是有一個距離的
那如果說今天它兩個是相交在一起，在機器人身上這個狀況倒是也是蠻多的，那我們該怎麼辦？
那相交其實就像是這個圖中所示的，我們假設說 第 i 軸跟 i+1
軸是相交在一起，那這時候我們 Xi 取的方向 基本上就是取跟 Zi
跟 Zi+1 都垂直的方向，我們把它定義成 Xi 在後續的例子中我們就會有一些例子可以看到
那我們這裡，Z 跟 X 都定了之後，Y 其實就可以決定，那 Y
基本上是依循著右手定則，就等於說 我們是，是 X 方向去
cross Y 方向，會得到 Z 方向，這是右手定則
那這因為是平面上的投影，所以有時候看起來會有一些錯覺，那基本上 就是 X cross Y 得到 Z 的方向。
那我們這裡這樣子一講完之後，我們就可以看到說 我們今天在
i-1 的這個軸上，我們的 坐標是定在這一個位置，就等於說精準地定出說它的原點
就是我們今天綠色線跟我們的轉軸的交匯點 那我們的
Z 就在轉軸方向上面，X 在這個綠色線方面 對 i 桿件上面的
i 轉軸也是一樣的，我們是 綠色的這個 ai
跟 轉軸方向交叉點，就是我們的坐標的原點 那 Z
跟 X 就照著跟剛剛一樣的方式把它定義下來 那我們有了這個資料之後
我們來看一下比較特殊的地方，就是說剛剛講的是第 i 桿、 i-1
桿 那我們今天針對第 0 桿，就是所謂的地桿跟最後一桿，因為它的條件會少一點
等於說我們的定義就要一點特殊的方式去補償它，我們才有辦法找到
那這個圖基本上跟剛剛是一樣的，而只是這裡我就刻意把剛剛的 i-1
變成 0，就等於說今天 圖中所畫的這個左側的這整塊它是不會動的，它整個這個桿件
Link 0 是不動的 那 Link 1，就是右邊的這個第 1 桿，它會動 它會動。
那我們這個地桿這樣子設計了之後，我們要怎麼去定義地桿的 frame
好，那我們定義的方式其實 我們如果說為了最簡化，我們就是把地桿的
frame 跟 1 桿的 frame 當成是一模一樣，然後是在它驅動軸
還沒有開始動的時候，什麼叫驅動軸還沒有開始動的時候？我們這裡來看，好，我們今天等於說 今天，如果說我們是一個旋轉的
joint，好，那我們就今天就把我們的第 0 桿的 frame 跟第
1 桿的 frame 完全重合，那重合時候選的時機 是選
θ1，通常會選擇 0 了，我這裡是寫說是任意角度
通常會選擇 0 的時候，那個時候的姿態的第 1 個 frame
的姿態 當成是第 0 個 frame 的姿態，那要兩位重合，所以它的 d1
就會等於 0 那如果是移動的 joint
那我們是一樣，就等於說我們也是選擇在 d1 等於 0
的時候，通常 的那個時候的姿態來當成是我們第 0 桿的姿態。
所以等於說在這個圖中來 來畫的話，我們就基本上就是畫在這個紅色的位置這裡 是第
0 桿，d1 = 0 的時候，這個時候是我們的第 0 桿件的 frame
的位置 那最後一個桿件也一樣，因為最後一個桿件我們就沒有下一條
一個能夠跟兩個垂直的線段，因為我們這裡基本 上已經沒有下一根軸了嘛，所以我們就沒有下一條綠色線
所以我們基本上最簡單的方法，就是讓我們 X 的設定
Xn，等於說是最後一個桿件的 X 方向的設定 跟
Xn-1 選擇一樣就好了，那這個事情等於說就是兩個是一個方向繼續往前延伸下去
這是一個比較簡單的方式
那這邊其實也是一樣，就剛剛我們選擇這個角度的時候 這等於說 θn
是會動的，是旋轉的，然後如果是移動的時候 我們是 dn
是會動的，然後另外一個就都設成 0，就是選擇同向之後也就把它設成
0，這樣子比較方便 好，那等於說各位同學我們
剛剛看到了這幾個桿件的定義之後，等於說這裡像是一個最後一個總結的表 就等於說我們已經找到了手臂上面從第
0 桿 到第 n 桿，中間所有相對幾何的定義方式
這個圖形是有點亂，就是剛剛上面講的內容我們都有講過，但是我們就快速地來再看一遍
就是說我們今天所謂的 α 它所代表的就是
Zi-1 的這個方向跟 Zi 這個方向的夾角
那這個夾角的算法是從 Xi-1 的這個的方向去看
所以如果說今天這個圖中這樣畫的話 大家如果是 X Y
方向去看的話，這個基本上，理論上是一個逆時針的旋轉 所以這個 αi-1 是正的值。
那今天我們來看這個 αi 的時候 我們從這邊可以看出來說，比較像是一個從
Xi 的方向來看的話，它是一個順時針的旋轉 所以就等於說今天這個
αi 本身是一個負值，因為我們一般還是以逆時針當成是正值 那我們的
a，基本上就是像剛剛講的那個線段的長度 那由於它本身是長度，所以今天
ai-1 跟 ai 它都是一個正的 數字，它基本上就是 Z 軸之間的相對距離
那 θi，就基本上對旋轉件來說，它就是我們的驅動關節
那驅動關節的轉的方向基本上就是以 Zi 的方式來看，所以
像這個圖中這樣畫的這個第 i 軸，我們這樣轉是等於說以 Zi 來看的話，它是一個逆時針的旋轉
所以 θi 它就是一個正的值，那我們的 di 就等於說是針對
移動的時候它就是一個變動，移動的 joint 時候它就是一個變動的參數
那這裡向上畫，它是以一個正的方向向上動，我每次都要說 在這裡的時候 di 它是一個正值。
那等於說藉由這四個參數 我們就可以很精準地表達每一個桿件它所有軸
兩個軸之間的相對關係，那因為兩兩、 兩兩、
兩兩 我們都清楚地知道，我們就等於說在這個參數都知道的狀況下
我們就可以很精準地抓到從第一桿到最後一桿中間所有的相對姿態大概是怎樣
林沛群教授兼副系主任 (Professor and Associate Chair)
