Bonjour. Dans la session précédente, nous avons vu quelques préliminaires de théorie des groupes, nous allons les appliquer aujourd'hui, pour démontrer le théorème de l'élément primitif pour les corps finis. Alors, de quoi s'agit-il? Je rappelle que l'on a démontré que si K/k est une extension finie de corps de caractéristique nulle, donc ce qui entraîne que ces 2 corps sont infinis, alors il existe x appartenant à K qui engendre K/k, c'est-à-dire que tout élément de K s'écrit comme polynôme à coefficient dans k en x. On écrit de la façon habituelle K = k[x]. C'est ce résultat dont nous allons montré qu'il reste vrai pour les extensions de corps finis. Donc, le théorème s'énonce de la façon suivante : soit K/k une extension de corps où les 2 corps sont finis, alors il existe x dans K tel que K = k[x]. Alors, ce théorème est conséquence d'un lemme qui a son importance en soi et qui est plus général dans sa portée. Le lemme s'énonce ainsi, je considère k un corps pas obligatoirement fini, et G un sous-groupe fini du groupe multiplicatif k*. La conclusion du lemme, c'est que G est engendré par un seul élément. Donc ça signifie la chose suivante, que si n est le cardinal du groupe il existe un élément g de G avec g^n = 1 et G est égal à l'ensemble des puissances successives de g, c'est-à-dire 1, g, g^2, g^(n-1) et on s'arrête là puisque g^n est égal à 1 qui est déjà dans la liste. Le groupe G est donc l'ensemble de toutes les racines n-ième de 1 dans k. Le lemme entraîne facilement le théorème, en effet si K est un corps fini, on peut appliquer le lemme au groupe multiplicatif K* qui est fini, si K est le cardinal q, K* est le cardinal q-1, et il existe donc d'après le lemme un élément x de K* tel que K* soit l'ensemble des puissances successives de x, c'est-à-dire 1, x, x^2, etc. jusqu'à x^(q-2). A fortiori, K est engendré par x sur n'importe quels de ces sous-corps puisque les éléments de K sont les puissances de x donc a fortiori des polynômes en x. Si on revient à K, ces éléments sont donc les éléments de K* plus 0, c'est-à-dire 0, 1, x, etc. jusqu'à x^(q-2) avec x^(q-1) = 1. Donc si on numérote les éléments de K de cette façon, la table de multiplication est facile à écrire, mais c'est la table d'addition qui est maintenant difficile. Voici maintenant un exemple qui illustre, ce que l'on vient de faire dans un cas particulier. Ce cas particulier, c'est celui du groupe multiplicatif du corps F11 à 11 éléments. Pour trouver un générateur de F*11, on va procéder un petit peu au hasard, on va prendre le premier susceptible de l'être, c'est-à-dire 2, et on calcule ses puissances successives. Si on arrive au résultat qu'il y a 10 puissances successives différentes modulo 11, on aura montré que 2 est bien un générateur. Donc, allons-y, c'est pas très difficile, les puissances de 2 : 2, 4, 8, ensuite 16 mais comme on travaille modulo 11, c'est égal à 5, je continue à multiplier par 2, 5, 10, 20, 20 modulo 11 c'est 9, etc. on continue, on obtient 7, 3, 6 et 1. On voit ainsi qu'il y a 10 puissances différentes de 2, l'ordre de 2 dans le groupe F sans étoile est donc 10, et cela montre que 2 engendre le groupe multiplicatif F*11. Je voudrais mentionner que en général, c'est difficile de produire explicitement un générateur du groupe F*p, lorsque p est un entier premier grand, par exemple. Alors, à vous maintenant de tester sur un quizz votre compréhension de ce que l'on vient d'expliquer. Maintenant, il nous faut revenir au lemme dont on n'a pas à faire la démonstration. Avant de commencer la preuve, je vais rappeler quelques notions de base sur la décomposition des nombres entiers en produit de nombres premiers. Donc, tout nombre entier strictement positif n se décompose de façon unique en produit de puissance de nombres premiers. Donc, on écrit ce produit de la façon suivante, que vous voyez sur l'écran donc n est égal à un produit sur l'ensemble des nombres premiers p des p puissance, cette puissance, on la note nu p de n. Alors évidemment ce produit est fini, donc (nu)p(n) sera nul pour tous les nombres premiers sauf un nombre fini. Une fois qu'on a écrit 2 nombres m et n strictement positifs de cette façon, il est facile d'obtenir leur pgcd et leur ppcm, donc par les formules qui apparaissent à l'écran, donc on voit que le pgcd, c'est le produit des nombres premiers p, la puissance étant le minimum des (nu)p(m), (nu)p(n) et pour le ppcm c'est le maximum. Alors, on en déduit en particulier la relation qui nous servira tout à l'heure que le pgcd(m, n) fois le ppcm(m, n) est égal au produit mn. Une autre remarque simple qui nous servira dans la démonstration, c'est que si q est une puissance p^(nu), d'un nombre premier p et que si q divise le ppcm de m et n alors il divise m ou n. En effet, puisqu'il divise le ppcm, c'est que la puissance nu est inférieure ou égale au max des (nu)p(m), (nu)p(n). Donc, soit nu est plus petit que (nu)p(m) auquel cas q divise m, soit nu est plus petit que (nu)p(n) auquel cas q divise n. Donc c'est ça que je voulais démontrer. On va maintenant passer à la preuve du lemme, alors il faut petit peu s'accrocher, c'est un petit peu difficile à suivre, vu qu'il y a beaucoup de notations. Allons-y! Alors, je rappelle de la session précédente les notions de base sur l'ordre d'un élément d'un groupe fini. C'est l'inf des exposants b strictement positif tels que la puissance bm de cet élément soit l'élément neutre, donc dans notre cas, l'élément neutre, c'est 1. On a une autre caractérisation de l'ordre qui nous dit que pour tout entier m positif ou négatif, alors g^m = 1, si et seulement si m est divisible par l'ordre de g. Donc, je vous rappelle que notre sous-groupe G est fini, donc l'ordre de tout élément est fini et inférieur ou égal au cardinal du groupe. Je peux donc trouver un élément g de G qui soit d'ordre le plus grand possible que je note d. Je prends n'importe quel autre élément h de G et je note e son ordre. Le premier pas de la preuve consiste à démontrer que e divise d et pour cela, on va résonner par l'absurde. Donc, je suppose que e ne divise pas d. Si l'on se souvient de la décomposition de e et de d en produits de puissance de nombres premiers, cela signifie qu'il existe une puissance q', d'un nombre premier, tel que q' divise e mais pas d. Je pose alors h' égal h puissance e divisé par q', qui est bien un entier. C'est un nouvel élément de G qui est d'ordre q', cela résulte facilement la caractérisation de l'ordre que j'ai donné tout à l'heure. Je considère maintenant l'élément (gh') de G et je note r son ordre, c'est-à-dire qu'on a (gh')^r égal 1, qu'on peut encore écrire puisqu'on est dans un groupe commutatif (h')^r égal g^(-r). Je vais maintenant élever les 2 membres de cette égalité à la puissance d divisé par le pgcd de d et r qui est bien un entier. J'obtiens donc h'^(dr/pgcd) égal g^(-dr/pgcd), que je peux encore écrire (g^d)^( -r/pgcd), et ça, ça vaut 1 puisque g^d = 1. J'ai donc ainsi une puissance de h' qui est égale à 1, par la caractérisation de l'ordre que j'ai rappelé tout à l'heure, cela signifie que l'ordre q' de h' divise cette puissance. Cette puissance est dr/pgcd. J'ai rappelé tout à l'heure que ce n'est autre que le ppcm de d et de r. Donc, notre entier q' qui est une puissance d'un nombre premier, divise le ppcm de d et de r. Comme il ne divise pas d, par choix q', c'est qu'il divise r cela résulte des rappels d'arithmétiques que je viens de faire. On a donc h'^r = 1. Revenons à l'égalité h'^r = g^-r on en déduit que g^r = 1, et de nouveau par la caractérisation de l'ordre rappelée tout à l'heure, cela entraîne que l'ordre d de g divise aussi r. On a ainsi montré que l'entier r est divisible à la fois par d et par q' et donc par leur ppcm, mais comme q' ne divise pas d, ce ppcm est strictement supérieur à d. Ainsi, l'élément (gh') de G est d'ordre r strictement supérieur à d, ce qui contredit le fait que g a été choisi d'ordre maximal d dans G. On obtient ainsi une contradiction, ce qui signifie que l'hypothèse faite que l'ordre e de h ne divisait pas d n'était pas vraie. Ainsi l'ordre de h divise d, cela signifie que h^d = 1 mais h est un élément quelconque de G, cela signifie que tous les éléments de G sont des racines du polynôme X^d- 1. Je rappelle qu'un polynôme de degré d dans un corps à au plus d racines. Cela signifie donc cardinal de G inférieur ou égal à d, mais les éléments 1, g, g^2, etc. g^(d-1) sont tous distincts puisque d est l'ordre de g. Cela signifie que G a exactement d éléments et que ces éléments sont 1, g, g^2, etc. g^(d-1) ce qui est, ce qu'il fallait démontrer. Comme on l'a déjà mentionné, si K est un corps fini, on peut appliquer ce lemme au groupe K* tout entier qui si K est de cardinal q, est de cardinal q-1. Donc le lemme entraîne que tous les éléments de K* vérifie l'équation X^(q-1) = 1, donc si on rajoute 0, on peut dire que tous les éléments de K vérifie l'équation X^q = X. Alors, c'est cette remarque que l'on va utiliser dans la session suivante pour vraiment construire un corps fini de cardinal q. Je vous remercie de votre attention et à bientôt à la session suivante.
