Une fonction discontinue peut-elle être solution d'une équation différentielle? Comment définir rigoureusement la masse de Dirac (une "fonction" d'intégrale un, nulle partout sauf en un point) et ses dérivées? Peut-on définir une notion de "dérivée d'ordre fractionnaire"? Cette initiation aux distributions répond à ces questions - et à bien d'autres.
Corrigé exercice 17
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Initiation à la théorie des distributions
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Cours 6
与讲师见面
Prof. François GolseProfesseur à l'Ecole polytechnique
Département de mathématiques
Prof. Yvan MartelProfesseur à l'Ecole polytechnique
Département de mathématiques
Dans cet exercice, nous allons calculer la transformée de Fourier de la
composée d'une distribution T tempérée avec un automorphisme de Rd.
Donc, prenons une matrice A, carrée, de taille d à valeur réelle
et inversible, d'abord par le cours, donc, c'est une application de la formule du
changement de variable du cours. Nous savons que T composée avec A,
appliquée à phi est égale à 1 sur le déterminant de A en valeur
absolue, multipliée par T, appliquée à phi rond A moins 1.
Donc, c'est une application de la formule du cours,
au cas des changements de coordonnées, au cas des automorphismes.
Donc, pour résoudre la première
question, qui consiste à faire un calcul, nous allons, tout de même, montrer que
T rond A, déjà, est effectivement une distribution tempérée.
Donc, pour cela, on rappelle, tout d'abord, que si phi est une
fonction dans l'espace de Schwartz, dans la classe de Schwartz de Rd, alors,
phi rond A moins 1, puisque c'est ce qui apparaît dans le crochet
de dualité de la ligne au-dessus, appartient
également à la classe de Schwartz sur Rd.
De plus, ce que l'on a appelé la norme Np,
dans le cours, quand on a défini la classe de Schwartz, donc,
Np de phi rond à moins 1 est majoré par une
constante que j'appelle C1 A, et qui dépend seulement de A,
multiplié par la norme Np de phi.
Donc, cette formule est une application simple, directe, de la formule de Leibniz.
Donc, ceci étant dit, je vous rappelle qu'une distribution tempérée, c'est une
distribution telle que il existe un entier p avec T appliqué à phi en valeur
absolue, et majoré par une constante multiplié
par la norme Np de phi.
Donc, ici, appliquons cette formule, à T rond A appliqué à phi.
Donc, dans le cas présent, T rond A appliqué à phi
en valeur absolue est donc, majoré par une constante
C2 de A, qui dépend de A, parce qu'il y
a le déterminant de A dans la formule qui définit
T rond A, multiplié par la valeur absolue de T appliqué
à phi rond A moins 1. Donc, comme T est une distribution
tempérée, ceci est majoré par une constante, disons, C3 de
A, multiplié par la norme Np appliquée à phi rond A moins 1.
Mais ceci, nous l'avons vu et majoré, donc, par une autre
constante, Np de phi.
Et puisque T rond A phi en valeur absolue est majoré par une constante Np de phi,
eh bien, T rond A est également une distribution tempérée.
Donc, ça, c'est le premier point de la question petit a.
Passons au deuxième point de la question petit a, qui consiste
à calculer, explicitement, la transformée de Fourier de
T rond A. Par définition, on sait que la transformée
de Fourier de T appliquée à phi, est égale à T appliquée à la transformée
de Fourier de phi. Donc, ici, la transformée de Fourier de T
rond A appliquée à phi sera égale à T rond A appliquée à la transformée
de Fourier de phi.
Maintenant, j'utilise la formule de T rond A.
Je trouve 1 sur la valeur absolue de déterminant de A multiplié par T appliqué
à la transformée de Fourier de phi, rond A moins 1.
Maintenant, il me faut une formule pour les fonctions.
Donc, il me faut une formule comparable à celle que
je veux trouver sur les distributions, mais pour les fonctions.
Donc, je vais écrire cette formule.
On l'utilisera
pour terminer le calcul sur les distributions,
et je démontrerai la formule, juste après.
Donc, voilà de quoi on va se servir pour les fonctions.
On va se servir de la formule suivante.
Pour les fonctions : transformée de Fourier de phi, rond A moins 1 est égale
à valeur absolue du déterminant de A,
multipliée par phi rond, transposée de A, Fourier.
Donc, appliquons cette formule, pour
continuer notre calcul sur les distributions.
Transformée de Fourier de T rond A appliquée
à phi est égale, vous voyez que les déterminants
se simplifient. On trouve simplement, la distribution
T appliquée à phi rond transposée de A, Fourier.
Par la définition de la transformée de Fourier d'une
distribution, ceci est égal à la transformée de Fourier de
T appliquée à phi rond, transposé de A qui est
égal, grâce à la formule sur le changement de variable
à 1 sur la valeur absolue du déterminant de A multiplié par transformée de
Fourier de T, rond transposé de A moins 1 appliqué à phi.
Et donc, le calcul est terminé, puisque nous
avons obtenu que la transformée de Fourier de
T rond A est égale à 1 sur la valeur absolue du déterminant de A multiplié
par la transformée de Fourier de T, composée avec transposée de A
moins 1, ce qu'était la formule demandée. Nous allons,
maintenant, démontrer la formule que nous avons utilisée pour les fonctions.
Pour les fonctions, c'est
un simple calcul de changement de
variables dans une intégrale. Donc, transformée de Fourier de A
composée avec A moins 1 au point
xi, est égale à phi Fourier A moins
1 xi, par définition. Et ceci est égal, donc, par
la formule de la transformée de Fourier d'une fonction
à e moins i, produit scalaire de x par A moins 1, xi
phi de x, dx. Ceci est encore égal à
exponentielle moins i, produit scalaire de la transposée
de A moins 1, appliquée à x, xi, multipliée
par phi de x, dx. On utilise maintenant, bien sûr,
le changement de variable y est égal à transposée de A moins 1 x.
Autrement dit, x est égal à transposée de A, y.
Le jacobien de ce changement de variable est
tout simplement la valeur absolue du déterminant de A.
Donc, on obtient ce terme-là.
Multiplié par l'exponentielle moins i, produit scalaire de y avec xi,
multiplié par phi, transposé de Ay, dy.
Et ceci, bien sûr, est égal à la valeur absolue du déterminant de A multiplié par
la transformée de Fourier de phi rond transposée de A au point xi.
Donc, ceci démontre bien la formule désirée, pour les
fonctions que nous avons utilisé dans la page précédente.
Finalement, pour terminer cet exercice, nous
allons traiter la question b, en donnant
quelques applications de la formule que
nous venons de démontrer sur les distributions.
Première application de la formule démontrée.
En dimension 1, d'espace, et en considérant
A égal, là, tout simplement, à moins 1.
C'est-à-dire que l'automorphisme, c'est tout simplement
moins l'identité.
Dans ce cas-là, la formule que nous avons démontrée se réduit
à une propriété très simple qui est que T rond moins l'identité,
Fourier, donc, la transformée de Fourier de T rond moins l'identité, est
égale à la transformée de Fourier de T composée avec moins l'identité.
Donc, cette formule a des conséquences très simples.
C'est que si T est paire,
donc, si une distribution T est paire, alors, par
paire je veux dire que T rond moins l'identité est égale à T.
Donc, par définition, T paire signifie que T rond moins l'identité est égale à T.
Eh bien, si tel est le cas pour T, eh bien, T Fourier sera également paire.
Donc, ceci est équivalent à dire que la transformée
de Fourier de T sera également paire. De même, on dit qu'une distribution T est
impaire, si et seulement si, T rond moins l'identité est égale à moins T.
Eh bien, ceci sera équivalent à dire que
la transformée de Fourier de T est également impaire.
Donnons maintenant, une autre application en dimension quelconque.
Prenons le cas où les matrices A sont des matrices orthogonales.
Dans ce cas-là, la formule est plus simple,
puisque nous obtenons que la transformée de Fourier
de T rond A est égale à 1 sur la valeur absolue du déterminant de A.
Donc là, je ne fais que recopier la formule, pour l'instant.
Transformée de Fourier de T composée avec transposée
de A moins 1.
Mais ici, le déterminant est égal à 1, puisque j'ai considéré une
matrice orthogonale, et la transposée de A moins 1 est égale à A.
Donc, nous obtenons, tout simplement, transformée
de Fourier de T, composée avec A.
Donc, ceci étant vrai, quelque soit A, matrice orthogonale.
En particulier, si la distribution T est
invariante par rotation. Par ça, je veux dire que pour toute
matrice orthogonale, T rond A est égal à T.
Donc, si ceci est vrai, alors, ça sera
également vrai pour la transformée de Fourier de T.
C'est-à-dire que la transformée de Fourier
de T sera également invariante par rotation.
Donc, cela signifie, par exemple, que si une
distribution T, en quelque sorte, ne dépend que de
la distance à l'origine, eh bien, il en sera
de même pour la transformée de Fourier de T.
Donc, cette formule est bien connue pour les
fonctions, mais elle est également vraie pour les distributions.
