Pour les fonctions : transformée de Fourier de phi, rond A moins 1 est égale
à valeur absolue du déterminant de A,
multipliée par phi rond, transposée de A, Fourier.
Donc, appliquons cette formule, pour
continuer notre calcul sur les distributions.
Transformée de Fourier de T rond A appliquée
à phi est égale, vous voyez que les déterminants
se simplifient. On trouve simplement, la distribution
T appliquée à phi rond transposée de A, Fourier.
Par la définition de la transformée de Fourier d'une
distribution, ceci est égal à la transformée de Fourier de
T appliquée à phi rond, transposé de A qui est
égal, grâce à la formule sur le changement de variable
à 1 sur la valeur absolue du déterminant de A multiplié par transformée de
Fourier de T, rond transposé de A moins 1 appliqué à phi.
Et donc, le calcul est terminé, puisque nous
avons obtenu que la transformée de Fourier de
T rond A est égale à 1 sur la valeur absolue du déterminant de A multiplié
par la transformée de Fourier de T, composée avec transposée de A
moins 1, ce qu'était la formule demandée. Nous allons,
maintenant, démontrer la formule que nous avons utilisée pour les fonctions.
Pour les fonctions, c'est
un simple calcul de changement de
variables dans une intégrale. Donc, transformée de Fourier de A
composée avec A moins 1 au point
xi, est égale à phi Fourier A moins
1 xi, par définition. Et ceci est égal, donc, par
la formule de la transformée de Fourier d'une fonction
à e moins i, produit scalaire de x par A moins 1, xi
phi de x, dx. Ceci est encore égal à
exponentielle moins i, produit scalaire de la transposée
de A moins 1, appliquée à x, xi, multipliée
par phi de x, dx. On utilise maintenant, bien sûr,
le changement de variable y est égal à transposée de A moins 1 x.
Autrement dit, x est égal à transposée de A, y.
Le jacobien de ce changement de variable est
tout simplement la valeur absolue du déterminant de A.
Donc, on obtient ce terme-là.
Multiplié par l'exponentielle moins i, produit scalaire de y avec xi,
multiplié par phi, transposé de Ay, dy.
Et ceci, bien sûr, est égal à la valeur absolue du déterminant de A multiplié par
la transformée de Fourier de phi rond transposée de A au point xi.
Donc, ceci démontre bien la formule désirée, pour les
fonctions que nous avons utilisé dans la page précédente.
Finalement, pour terminer cet exercice, nous
allons traiter la question b, en donnant
quelques applications de la formule que
nous venons de démontrer sur les distributions.
Première application de la formule démontrée.
En dimension 1, d'espace, et en considérant
A égal, là, tout simplement, à moins 1.
C'est-à-dire que l'automorphisme, c'est tout simplement
moins l'identité.
Dans ce cas-là, la formule que nous avons démontrée se réduit
à une propriété très simple qui est que T rond moins l'identité,
Fourier, donc, la transformée de Fourier de T rond moins l'identité, est
égale à la transformée de Fourier de T composée avec moins l'identité.
Donc, cette formule a des conséquences très simples.
C'est que si T est paire,
donc, si une distribution T est paire, alors, par
paire je veux dire que T rond moins l'identité est égale à T.
Donc, par définition, T paire signifie que T rond moins l'identité est égale à T.
Eh bien, si tel est le cas pour T, eh bien, T Fourier sera également paire.
Donc, ceci est équivalent à dire que la transformée
de Fourier de T sera également paire. De même, on dit qu'une distribution T est
impaire, si et seulement si, T rond moins l'identité est égale à moins T.
Eh bien, ceci sera équivalent à dire que
la transformée de Fourier de T est également impaire.
Donnons maintenant, une autre application en dimension quelconque.
Prenons le cas où les matrices A sont des matrices orthogonales.
Dans ce cas-là, la formule est plus simple,
puisque nous obtenons que la transformée de Fourier
de T rond A est égale à 1 sur la valeur absolue du déterminant de A.
Donc là, je ne fais que recopier la formule, pour l'instant.
Transformée de Fourier de T composée avec transposée
de A moins 1.
Mais ici, le déterminant est égal à 1, puisque j'ai considéré une
matrice orthogonale, et la transposée de A moins 1 est égale à A.
Donc, nous obtenons, tout simplement, transformée
de Fourier de T, composée avec A.
Donc, ceci étant vrai, quelque soit A, matrice orthogonale.
En particulier, si la distribution T est
invariante par rotation. Par ça, je veux dire que pour toute
matrice orthogonale, T rond A est égal à T.
Donc, si ceci est vrai, alors, ça sera
également vrai pour la transformée de Fourier de T.
C'est-à-dire que la transformée de Fourier
de T sera également invariante par rotation.
Donc, cela signifie, par exemple, que si une
distribution T, en quelque sorte, ne dépend que de
la distance à l'origine, eh bien, il en sera
de même pour la transformée de Fourier de T.
Donc, cette formule est bien connue pour les
fonctions, mais elle est également vraie pour les distributions.