Une fonction discontinue peut-elle être solution d'une équation différentielle? Comment définir rigoureusement la masse de Dirac (une "fonction" d'intégrale un, nulle partout sauf en un point) et ses dérivées? Peut-on définir une notion de "dérivée d'ordre fractionnaire"? Cette initiation aux distributions répond à ces questions - et à bien d'autres.
Corrigé exercice 9
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Initiation à la théorie des distributions
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Cours 3
与讲师见面
Prof. François GolseProfesseur à l'Ecole polytechnique
Département de mathématiques
Prof. Yvan MartelProfesseur à l'Ecole polytechnique
Département de mathématiques
Dans cet exercice nous allons résoudre les trois équations : x T égal à zéro, x T
égal à 1 et x T égal à delta zéro, au sens des distributions.
Donc, résoudre, ici, signifie que nous voulons trouver
toutes les solutions en distribution de ces équations.
Dans le cas x T égal à zéro, nous connaissons déjà une solution évidente,
qui est T égal à zéro.
Il y a aussi la solution vue dans le cours, qui est la masse de Dirac en
zéro, puisque nous savons que x multiplié par la
masse de Dirac en zéro est égal à zéro.
Donc, la question consiste à savoir s'il y a d'autres solutions ou si delta zéro
est la solution à une constante multiplicative près.
Nous commençons par
un rappel : si
phi, une fonction test, vérifie
phi de zéro est égal à zéro,
alors la fonction qui à x
associe phi de x sur
x est également une fonction
test, c'est-à-dire qu'elle est également C infini et à
support compact dans R. De plus, si nous avons une telle fonction
test, avec phi de zéro égal à zéro, on a automatiquement que T, phi est égal à
zéro. En effet, T, phi est égal à T multiplié
par x, phi de x sur x. Par définition du
produit, ceci est égal à x T multiplié par phi de x sur x.
Comme x T est égal à zéro, on trouve, ici, zéro.
C'est-à-dire, que si x T est égal à zéro, alors
T s'annule sur l'ensemble des fonctions test qui va de
zéro en zéro. Soit maintenant, khi, une fonction
test, fixée, khi vaut 1 dans
un voisinage de zéro, par exemple khi vaut 1 sur l'intervalle
moins 1, plus 1. Je vais calculer T, phi en
décomposant T, phi vaut
T, testé contre phi de zéro, fois la fonction
Khi, plus phi, moins phi zéro fois la fonction khi.
Nous avons décomposé la fonction test, phi, en une fonction test qui s'annule
en zéro, et la fonction test, une constante fois la fonction test khi.
Donc, par linéarité, nous trouvons que c'est égal à phi zéro multiplié
par T, khi plus T testé contre phi moins phi zéro, khi.
Le deuxième membre est égal à zéro, T contre phi moins phi zéro,
khi est égal à zéro, puisque phi moins phi zéro, khi s'annule en zéro.
Et donc, on trouve
tout simplement, lambda fois phi zéro, où lambda est égal à T, khi.
Et ceci est général, ici, nous n'avons rien supposé sur la fonction test phi.
Donc, nécessairement, T est égal à lambda fois la masse de Dirac en zéro.
Nous allons maintenant résoudre l'équation x T est égal à 1.
Donc, de façon un peu naïve, on a envie de dire que T est égal à 1 sur x.
Mais 1 sur x, nous l'avons vu, n'est pas sommable au voisinage du point zéro
et donc ne peut, cette fonction, 1 sur
x, est trop singulière pour être une distribution.
Et nous avons vu dans le cours que la valeur principale de 1 sur x
était une notion, c'est une distribution, qui
est là, en quelque sorte, pour remplacer la
fonction 1 sur x.
Donc, nous allons voir, nous allons vérifier, en fait, que la valeur
principale de 1 sur x vérifie l'équation x T est égal à 1.
Donc c'est un calcul simple, qui utilise la définition de la valeur principale.
Donc je calcule x fois la valeur principale de
1 sur x, testé sur une fonction test phi.
Par définition, c'est égal à la valeur principale
de 1 sur x, testé sur la fonction test x, phi de x.
Maintenant, j'utilise la définition de la valeur principale
de 1 sur x, c'est l'intégrale de zéro
à plus l’infini de phi de x moins phi de moins x, divisé par x, dx.
Donc, nous simplifions par x, en haut et en bas,
on arrange les signes, et on trouve intégrale de zéro
à plus l’infini de phi de x plus phi de moins x, dx.
Maintenant, nous effectuons un petit changement de
variable et on trouve bien sûr que ceci
est égal à l'intégrale de moins l’infini à plus l’infini de phi de x, dx.
Mais ceci n'est rien d'autre que la distribution constante
égale à 1, testé sur la fonction test, phi.
Cela veut dire que x multiplié par la valeur principale
de 1 sur x est égal à la distribution 1.
Donc, valeur principale de 1 sur x
est solution de l'équation, c'est une solution particulière.
Maintenant, au même titre que dans les équations différentielles,
nous obtenons la solution générale du problème non homogène x T égal à 1.
En additionnant
une solution particulière du problème non homogène, valeur
principale de 1 sur x, et la solution générale
du problème homogène, c'est-à-dire en ajoutant toutes les solutions
possibles du problème x T est égal à zéro.
Et donc, on trouve que l'ensemble des
solutions, c'est l'ensemble des distributions qui s'écrivent sous
la forme : valeur principale de 1 sur x plus lambda delta zéro, où lambda
est un scalaire.
Nous allons maintenant résoudre l'équation x T est égal à delta zéro.
Donc, comme tout à l'heure, nous allons trouver une solution particulière, et
rajouter ensuite la solution générale de x T est égal à zéro.
Donc, nous allons calculer le produit de x par la distribution delta zéro prime.
Donc, x, delta zéro prime, la dérivée de delta zéro au sens des distributions,
testé contre phi, est égal par définition à delta zéro prime, testé contre x phi.
Par définition de la dérivée, c'est égal à moins delta
zéro, testé sur la distribution x phi prime.
Cette fonction
test x phi prime se calcule facilement, nous obtenons phi plus x phi prime.
Appliqué en zéro, x phi prime fait zéro et
donc, nous obtenons, tout simplement, moins phi prime de zéro.
Nous allons maintenant résoudre l'équation x T est égal à delta zéro.
Nous allons procéder comme précédemment, en
cherchant une solution particulière de l'équation
x T égale delta zéro et en ajoutant ensuite la
solution générale du problème homogène x T est égal à zéro.
Donc, pour ceci, nous allons trouver, en utilisant des dérivées
de la masse de Dirac, une distribution qui vérifie cette équation.
Donc, calculons, dans un premier temps, x fois delta zéro prime.
X delta zéro prime,
testé contre une fonction test phi, est égal, par définition, à delta zéro
prime, appliqué à x phi, c'est la définition du produit.
Par définition de la dérivée, c'est égal à delta zéro, testé sur x phi prime.
Quand nous calculons x phi prime, il y a
la contribution, donc, quand on dérive x, ça fait
phi, et la contribution quand on dérive phi, ça fait x phi prime.
X phi prime, testé par la masse de Dirac, fait zéro, et donc,
nous trouvons moins phi de zéro.
Cela signifie que x, delta zéro prime, est égal
à moins delta zéro, la masse de Dirac en zéro.
Et donc, finalement, la distribution que nous cherchons, c'est tout
simplement moins delta zéro prime.
C'est une solution particulière du problème x T est égal à delta zéro.
Et donc, la solution générale du problème x T est égale à delta zéro est exactement
moins delta zéro prime plus la solution générale du problème
homogène lambda delta zéro, pour tout scalaire lambda.
