Интеграл от осциллирующей функции - 3

Loading...

来自 National Research University Higher School of Economics 的课程

Введение в математические методы физики

7 个评分

National Research University Higher School of Economics

Введение в математические методы физики

7 个评分

Цель курса - дать слушателям начальные представления и навыки обращения с приближенными аналитическими вычислениями. Такие методы широко используются в практической работе физиков, но почти не излагаются в регулярных лекционных курсах, что препятствует включению студентов в исследовательский процесс. Большинство лекций также содержат в себе семинарскую часть с разбором задач. Важная часть курса – полноценные задачи для самостоятельного решения с целью закрепления практических навыков применения излагаемых методов вычислений. Предполагается, что слушатели знакомы с основами стандартных математических курсов: математического анализа, линейной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений.

从本节课中

Дифференцирование интеграла по параметру

В этом модуле рассматривается метод точного и приближенного вычисления определенных интегралов, который полагается на дифференцирование по параметру, входящему в подынтегральное выражение. Довольно часто такое дифференцирование позволяет свести вычисление сложного или громоздкого интеграла к использованию уже известных ответов, полученных для более простых интегралов. Отдельное внимание в модуле уделяется вопросу о регуляризации расходящихся интегралов, то есть выделении из них конечной части, содержащей в себе всю зависимость интеграла от параметра. В конце модуля Вас ждет контрольный тест.

Интегральное представление гамма-функции - 19:35

Интегральное представление гамма-функции - 25:41

Интегральный логарифм5:24

Интеграл от осциллирующей функции - 14:58

Интеграл от осциллирующей функции - 23:05

Интеграл от осциллирующей функции - 37:33

Интеграл от функций Бесселя - 110:52

Интеграл от функций Бесселя - 22:00

与讲师见面

Фоминов Яков Викторович
Доцент
Факультета физики НИУ ВШЭ
Фейгельман Михаил Викторович
Главный научный сотрудник
Международная лаборатория физики конденсированного состояния НИУ ВШЭ
Колоколов Игорь Валентинович
Профессор
Факультет физики НИУ ВШЭ
Бурмистров Игорь Сергеевич
Профессор
Факультет физики НИУ ВШЭ
Скворцов Михаил Андреевич
Профессор
Сколковский институт науки и технологий

[МУЗЫКА] Для закрепления того,

что мы с вами только что делали, давайте рассмотрим сходный и очень близкий пример,

тоже интеграл от осциллирующей функции.

Это будет пример 5.

Опять же у нас будет функция f (λ),

которую мы с вами будем искать и которая дается следующим ∫ от 0 до

∞ dt e в степени − λ t2 cos t

то есть у нас теперь вместо синуса косинус и вместо e в степени

− λt у нас e в степени − t Действовать будем точно так же.

Продифференцируем сначала функцию f (λ), тогда получим,

что она равна ∫ со знаком − от 0 до ∞ dt e

в степени − λ t2 t 2 cos t.

И теперь наша стратегия будет точно такая же,

с помощью интегрирования по частям вот этого

выражения двухкратного мы попробуем выразить производную

f′(λ) через саму себя и через функцию f.

Давайте это проделаем.

Начнем с функции f, так удобнее.

Значит, f (λ) запишем в виде ∫ от

0 до ∞ d sin t e в

степени − λ t 2 или,

что тоже самое, ∫ от 0 до ∞ со

знаком − dt sin

t e в степени − λ t 2 − 2 λ t.

Теперь продолжаем.

Записываем это как ∫ от 0 до

∞ d cos t e

в степени − λ t 2 −

− 2 λ t и опять берем по частям,

получаем − ∫ от 0 до ∞ dt cos t.

Дифференцируем сначала экспоненту,

будет − 2 λ t в квадрате e в степени

− λ t и дифференцируем предэкспоненту,

получаем − 2 λ e в степени − λ t И теперь мы видим,

что опять у нас получилось похожая ситуация, как и в прошлый раз.

Правая часть выражается достаточно сложным интегралом,

однако он похож на интеграл для функции f, вот здесь имеется член,

с t в нулевой степени и на интеграл

для функции f′, вот здесь имеется член t 2.

Поэтому мы можем записать следующее

соотношение: что наша функция f (λ)

= − 4 λ 2

f′ (λ) и знак +,

потому что f′ имеет − перед интегралом,

+ 2 λ f (λ) Соответственно,

этот член у нас пришел отсюда.

Давайте его подчеркнем.

А f(λ) пришла из второго члена подынтегрального выражения.

Теперь мы получили вместо опять же интеграла дифференциальное уравнение.

Давайте его перепишем в более стандартной форме,

а именно f′(λ) = 1 −

2 λ / 4 λ 2 f (λ)

Такое дифференциальное уравнение легко решается,

его решение можно записать в следующем виде: ln f

= − 1 / 4 λ

− 1 / 2 ln λ + С,

которую надо будет дальше определить.

Давайте здесь даже напишем ln C, так будет удобней,

тогда f (λ) = С

/ √ λ e в степени

− 1 / 4 λ Как найти неизвестную константу C,

очень просто, точно так же как в прошлый раз.

Нужно рассмотреть поведение нашей функции на больших значениях λ,

когда λ стремится к ∞, тогда этот интеграл

определяется, из-за того что здесь в экспоненте стоит λ,

областью малых t, и поэтому мы можем примерно написать,

что f (t) f (λ) это ∫ от 0

до ∞ dt e в степени − λ t 2,

а такой интеграл у нас уже встречался, это то же самое,

что 1 / √ λ Г (1 / 2)

или √ π / 2

√ λ Сравнивая вот эти два выражения, мы видим,

что константа C = √ π / 2 И соответственно,

ответ для нашей функции f (λ) записывается в следующем виде: √ π

/ 2 / √ λ e в степени − 1 / 4 λ.

Обращу внимание,

что здесь у нас получился ответ,

который ведет себя как λ совсем по-другому, на больших λ это 1 / √λ,

а в предыдущем примере у нас функция f (λ) вела

себя как 1 / λ 2 Такое различие связано с тем,

что поведение вот таких интегралов от

осциллирующих функций сильно зависит от того,

как и насколько быстро спадает подынтегральная функция при больших

значениях аргумента.

[МУЗЫКА]

[МУЗЫКА]

探索我们的目录

免费加入并获得个性化推荐、更新和优惠。

Coursera 致力于普及全世界最好的教育，它与全球一流大学和机构合作提供在线课程。

© 2019 Coursera Inc. 保留所有权利。

通过 App Store 下载

通过 Google Play 获取