[МУЗЫКА] Для закрепления того,
что мы с вами только что делали, давайте рассмотрим сходный и очень близкий пример,
тоже интеграл от осциллирующей функции.
Это будет пример 5.
Опять же у нас будет функция f (λ),
которую мы с вами будем искать и которая дается следующим ∫ от 0 до
∞ dt e в степени − λ t2 cos t
то есть у нас теперь вместо синуса косинус и вместо e в степени
− λt у нас e в степени − t Действовать будем точно так же.
Продифференцируем сначала функцию f (λ), тогда получим,
что она равна ∫ со знаком − от 0 до ∞ dt e
в степени − λ t2 t 2 cos t.
И теперь наша стратегия будет точно такая же,
с помощью интегрирования по частям вот этого
выражения двухкратного мы попробуем выразить производную
f′(λ) через саму себя и через функцию f.
Давайте это проделаем.
Начнем с функции f, так удобнее.
Значит, f (λ) запишем в виде ∫ от
0 до ∞ d sin t e в
степени − λ t 2 или,
что тоже самое, ∫ от 0 до ∞ со
знаком − dt sin
t e в степени − λ t 2 − 2 λ t.
Теперь продолжаем.
Записываем это как ∫ от 0 до
∞ d cos t e
в степени − λ t 2 −
− 2 λ t и опять берем по частям,
получаем − ∫ от 0 до ∞ dt cos t.
Дифференцируем сначала экспоненту,
будет − 2 λ t в квадрате e в степени
− λ t и дифференцируем предэкспоненту,
получаем − 2 λ e в степени − λ t И теперь мы видим,
что опять у нас получилось похожая ситуация, как и в прошлый раз.
Правая часть выражается достаточно сложным интегралом,
однако он похож на интеграл для функции f, вот здесь имеется член,
с t в нулевой степени и на интеграл
для функции f′, вот здесь имеется член t 2.
Поэтому мы можем записать следующее
соотношение: что наша функция f (λ)
= − 4 λ 2
f′ (λ) и знак +,
потому что f′ имеет − перед интегралом,
+ 2 λ f (λ) Соответственно,
этот член у нас пришел отсюда.
Давайте его подчеркнем.
А f(λ) пришла из второго члена подынтегрального выражения.
Теперь мы получили вместо опять же интеграла дифференциальное уравнение.
Давайте его перепишем в более стандартной форме,
а именно f′(λ) = 1 −
2 λ / 4 λ 2 f (λ)
Такое дифференциальное уравнение легко решается,
его решение можно записать в следующем виде: ln f
= − 1 / 4 λ
− 1 / 2 ln λ + С,
которую надо будет дальше определить.
Давайте здесь даже напишем ln C, так будет удобней,
тогда f (λ) = С
/ √ λ e в степени
− 1 / 4 λ Как найти неизвестную константу C,
очень просто, точно так же как в прошлый раз.
Нужно рассмотреть поведение нашей функции на больших значениях λ,
когда λ стремится к ∞, тогда этот интеграл
определяется, из-за того что здесь в экспоненте стоит λ,
областью малых t, и поэтому мы можем примерно написать,
что f (t) f (λ) это ∫ от 0
до ∞ dt e в степени − λ t 2,
а такой интеграл у нас уже встречался, это то же самое,
что 1 / √ λ Г (1 / 2)
или √ π / 2
√ λ Сравнивая вот эти два выражения, мы видим,
что константа C = √ π / 2 И соответственно,
ответ для нашей функции f (λ) записывается в следующем виде: √ π
/ 2 / √ λ e в степени − 1 / 4 λ.
Обращу внимание,
что здесь у нас получился ответ,
который ведет себя как λ совсем по-другому, на больших λ это 1 / √λ,
а в предыдущем примере у нас функция f (λ) вела
себя как 1 / λ 2 Такое различие связано с тем,
что поведение вот таких интегралов от
осциллирующих функций сильно зависит от того,
как и насколько быстро спадает подынтегральная функция при больших
значениях аргумента.
[МУЗЫКА]
[МУЗЫКА]